Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Buondì, recentemente mi sono andato a ripescare la dimostrazione del fatto che
Teorema:
Sia \( (\mathcal{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle) \) uno spazio di Hilbert reale e sia \( V \subset \mathcal{H} \) chiuso e convesso. Allora \(V\) è sequenzialmente debolmente chiuso.
che si basa sul seguente
Lemma:
Sia \(\mathcal{H} \) uno spazio di Hilbert reale e sia \( V \subset \mathcal{H} \) chiuso e convesso. Sia \(x \in \mathcal{H} \), denoto con $P_Vx$ la proiezione ortogonale di ...
Ciao, dovrei risolvere il seguente esercizio :
Trova la parte reale e immaginaria del cos(z).
Ho provato a risolvere l'esercizio usando la formula di eulero e sostituendo z con x+jy, ma non riesco a capire come separare la parte reale e immaginaria...qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Ciao a tutti, ho un dubbio sui seguenti esercizi. La consegna è di indicare se i seguenti insiemi sono aperti o chiusi e dire qual è la frontiera.
1) $\gamma={z in CC : |z=1/n+j/n^2|, n in NN , n>0}$
2) $\gamma={z in CC : z!=3-j}$
Ho capito che il primo insieme non è aperto, però non capisco perchè non è chiuso e perchè la frontiera è gamma U {0}.
Mentre nel secondo ho capito che gamma è un insieme aperto, ma perchè la frontiera è {3-j}? Il punto 3-j non dovrebbe appartenere a gamma, come fa ad essere la sua frontiera??
Grazie in ...
Ciao ragazzi , ho iniziato a studiare analisi complessa da qualche giorno per l'università; Sto però trovando alcuni dubbi tra i poli gli zeri , le singolarità e i residui.
Nel mio quaderno di appunti trvo scritto che gli zeri del denominatore sono poli.
se non che non capisco quelli del numeratore cosa sono e che già sappiamo che quelli del denominatore sono poli a che ci serve classificare le singolarità
per singolairtà si intendono i punti dove il dominio non è definito ?
grazie a tutti ...
Propongo il seguente esercizio di analisi funzionale che mi ha stupito per le diverse dimostrazioni (3) che ne ho viste fare, magari ne salta fuori una quarta! Se è un fatto arcinoto o banale non vogliatemene: non lo sapevo!
Proposizione
Sia $H$ uno spazio di Hilbert infinito dimensionale reale e sia $T$ un operatore lineare da tutto $H$ in $H$.
Se $T$ è simmetrico, ovvero soddisfa
\[ \langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty ...
Dato un $RR$-spazio vettoriale topologico $V$ si sa che i funzionali lineari non sono sempre continui (https://en.wikipedia.org/wiki/Discontinuous_linear_map), ma quello che io mi stavo chiedendo era come si comportavano i funzionali lineari semicontinui, nel senso, esistono sia funzionali lineari che non sono semicontinui? A quel punto credo sia equivalente che non lo è in nessun punto a non esserlo in un punto.
Esistono funzionali lineari semicontinui ma non continui?
P.S. Io ho detto che ...
Salve, volevo avere qualche informazione sugli spazi funzionali, mi spiego meglio.
Cominciando a studiare un po' di analisi funzionale mi sono imbattuto in molti tipi di spazi funzionali, o meglio, spazi vettoriali in cui è definita una topologia compatibile con le operazioni algebriche, ma di solito esempi di tali spazi hanno come elementi funzioni, per questo io mi riferisco ad essi come spazi funzionali.
Quello che volevo è un quadro generale delle varie tipologie di tali spazi, e le ...
Devo risolvere questo integrale (1)
\[\int_{0}^{\infty }\frac{logx^3}{8+x^3}\]
Per risolverlo parto da
(2) \[\int_{0}^{\infty }\frac{log^2z^3}{8+x^3}\]
e, considerando che\[logz=logx+2\pi i\] ottengo \[-36 \pi(\int_{0}^{\infty }\frac{-\pi+ilog(x)}{8+x^3}dx)\]
A questo punto risolvo con i residui \[ \int_{0}^{\infty }\frac{1}{8+x^3} \] e se non sbaglio, applicando Jordan ottengo
\[\frac{\pi^2}{6}+\pi \frac{\sqrt{3}-1}{12}\]
In teoria ora, sostituendo questo risultato con l’equazione prima ...
Ciao a tutti!
Ho dei dubbi riguardo la serie di potenze e serie di Laurent.
La funzione $e^(1/z)$ ha una singolarità in $z_0=0$ per cui provo a scrivere la serie laurent in $z_0$.
La prima cosa che mi verrebbe in mente di fare è di riportarmi alla serie di Taylor dell'esponenziale, tuttavia rimango perpresso: per utilizzare la serie di taylor $(1/z)->0$ ergo $z->\infty$. Cosa mi permette di poter utilizzare la serie di taylor in un punto diverso da ...
Salve a tutti,
prima della domanda introduciamo una serie di concetti:
Sia $\mathcal{F}$ un'algebra di insiemi e sia $\mu_{0}$ una misura finita e $\sigma$- additiva.
Denotiamo con $\mathcal{F_\sigma}$ la famiglia di tutte le unioni numerabili di insiemi di $\mathcal{F}$ e con $\mathcal{F_\delta}$ la famiglia di tutte le intersezioni numerabili di insiemi di $\mathcal{F}$.
Estendiamo $\mu_{0}$ alle due famiglie $\mathcal{F\sigma}$ and $\mathcal{F}_{\delta}$ nel ...
Salve, avrei bisogno di un chiarimento per il seguente esercizio:
Dopo aver classificato le singolarità al finito della funzione complessa di variabile complessa $f(z) = \frac {z^2-1}{(z-2)^4 (4z-1) (1+cos (pi z))} $, si calcoli l’integrale di linea $ \oint_{\Gamma} f(z) dz$ dove $ \Gamma = {z \in CC :\abs z = 1 }$
Si ha un polo di 4° ordine in $z=2$ -che non verrà preso in considerazione nel calcolo dell'integrale in quanto al di fuori della circonferenza data- e un polo di 1° ordine in $z=1/4$.
Inoltre, $(1+cos (pi z) )$ si ...
a) Sia $d in (0,∞]$, costruire un insieme non misurabile e illimitato $A_d ⊂ R$ con $|A_d|e = d$ (misura esterna)
b)Dire se $QQ xx A_(oo)$ è misurabile in $RR^2$
Non so bene dove mettere le mani
Per quanto riguarda b) mi verrebbe da dire no. Se $ A_(oo)$ non è misurabile, perchè dovrebbe esserlo $QQxxA_(oo)$?
Per a) volevo costruirmi $A_d$ come insieme di Vitali, ma invece che prendere il classico insieme $[0,1]$ dove ...
$ int_(0)^(2pi) (sin(mx)sin(nx))/(1-cos(x)) dx $, al variare di $ m,n in Z $
Qualche idea su come risolverlo?
Con la classica sostituzione $ z=e^(ix) $ si incontra qualche problemino nel calcolo dei residui.
Credo bisogni riscrivere il numeratore in una qualche forma più semplice.
Per esempio $ int_(0)^(2pi) (cos(nx))/(1-cos(x)) dx $ lo si risolve osservando che è la parte reale dell'integrale $ int_(0)^(2pi) (e^(i nx))/(1-cos(x)) dx $.
Ciao,
devo risolvere il seguente integrale
\[\int_{0}^{2\pi }\frac{dx}{a+sinx}\] con \[\left | a \right |>1\]
se sostituisco z=e^ix trovo, dopo qualche passaggio,
\[\int_{-\infty }^{\infty }\frac{2dz}{z^2+2aix-1}\]
Cercando gli zeri del denominatore trovo
\[z=-ia+-\sqrt{1-a^2}\] come trovo il risultato? Poi continuo con i residui?
Grazie
Ciao a tutti,
ho svolto un esercizio di processi stocastici (che per la verità altro non è che teoria della misura, ed è il motivo per cui ho postato qui) che mi sembra fin troppo semplice.
Eccolo:
Dato uno spazio probabilizzato $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ e una sub-sigma algebra $\mathcal{D} \subset \mathcal{F}$, consideriamo la sequenza ${Y_n}_{n \geq 0}$ di variabili aleatorie definite su $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ e tali che $Y_n \uarr Y \text{ q.c.}$, con $Y$ tale che $\mathbb{E}[Y] < + \infty$.
Provare che ...
Ciao a tutti,
Mi trovo alle prese con un sistema del 2 ordine con 2 poli e due zeri.
I giorni dell'università sono lontani e devo affidarmi alle tabelle per antitrasformare ....
Ho trovato che l'antitrasformata di:
$\frac{s^2 + h*s + k} {s*(s+a)*(s+b)}$
è:
$\frac{k}{a*b} + frac{a^2-h*a+k}{a*(a-b)}*e^-{a*t} + frac{b^2-h*b+k}{b*(a-b)}*e^-{b*t}$
perfetto, ma cosa succede all'antitrasformata se ho un "fattore di scala" ?
Tipo:
$\frac{s^2 + h*s + k} {M*s*(s+a)*(s+b)}$
Grazie in anticipo per l'aiuto
Ciao a tutti Ho questi due esercizi sulla trasformata di Fourier e non capisco alcuni passaggi:
Non riesco a capire perchè per il primo applichi la regola di derivazione in quel modo e nel secondo non mi è chiaro l'ultimo passaggio ossia:
$ 1/2[Delta(j(omega -1))+Delta(j(omega+1))]=1/2(1+1)=1 $
Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano?
Salve a tutti,
di questa funzione mi viene richiesto di calcolare il residuo in z=0
$ f(z)= (e^(1/z)-e^z)/(z^2-1) $ .
MI è venuto in mente che posso sviluppare gli esponenziali ed il denominatore in serie di potenze (con lo sviluppo dell'esponenziale in 0 e con la serie geometrica di ragione -z^2). Però ora non saprei come proseguire: ho provato ad usare la formula per il prodotto di due sommatorie, ma senza risultati.
Grazie
Buongiorno, avrei un dubbio sul criterio per dire se una serie di Fourier converge o meno. Fino adesso ho utilizzato i seguenti criteri:
La serie di Fourier converge puntualmente a f in I, se:
1) f é continua e monotona in I
2) f é continua e regolare a tratti in I
Queste due ipotesi non possono andare in contrasto? Per esempio, se ho una funzione che é continua e monotona ma che non é regolare a tratti (per esempio ha una cuspide) la serie converge puntualmente a f?
Ciao a tutti,
ho la seguente serie in campo complesso:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n} $$
Il raggio di convergenza dovrebbe essere $R=1$. Come posso trovare esempi di punti sulla frontiera ($z$ tali per cui $\abs(z)=1$) dove la serie converge puntualmente?
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