Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Data proprietà di campionamento della delta di Dirac
$ int_(-∞)^(∞) δ(x−a)f(x)dx=f(a) $
ovvero data una funzione f(x), per ricavare il valore che assume per x=a moltiplico la funzione per l'impulso centrato in a e integro sul volume.
Qualcuno sa dirmi come fa il mio professore di campi ad utilizzarla nel seguente modo?
$ int_(-∞)^(∞) δ(x−a)f(a)dx=f(x) $
ovvero la funzione f(x) si ricava dal valore che assume in x=a.
Qualcuno può aiutarmi?
salve ragazzi, ripeto in vista dell esame e ho notato una cosa che mi ha suscitato un dubbio: dimostriamo la validità delle formule di lagrange per sistemi dinamici lineari e tempo-invarianti attraverso il metodo induttivo, in particolare arrivo al passaggio
$ x(t) = e^(A(t-t_0))*c + int_(t_0)^(t) e^(A(t-tau))*B*u(tau) d tau $ .
Per dimostrare che
$ c = x(t_0) $
il prof particolarizza la funzione $x(t)$ in $t_0$, dunque la matrice esponenziale che moltiplica $c$ diventa la matrice identità ( ...
buongiorno a tutti,
vi propongo un integrale (da risolvere con i residui) che non riesco a risolvere.
$\int_{\mathbb{R}}\frac{x^2}{x^4+1} dx$
Le ho provate tutte:
$\int\frac{z^2}{(z^2+i)(z^2-i)}dz\,$ è quel \((z^2\pm i)\) al denominatore che mi mette a disagio.
Ho provato anche per sostituzione per abbassare il grado del denominatore ponendo \(t=x^2\) e ovviamente \(dt=2xdx\) ma non mi viene.
Ho fatto integrali molto più difficili di questo (con poli al secondo ordine e chi più ne ha più ne metta), ma questo non mi va giù.
Ho ...
Ciao a tutti,
vorrei proporre il seguente integrale su cui ho delle domande da farvi:
$\int_{\infty}^{\infty} sqrt(x) / {x^2 + 1} dx$
Allora, vorrei risolverlo col metodo dei residui per cui andrò a considerare un opportuno percorso di integrazione.
Essendoci una radice quadrata applichero un taglio tra i due punti di diramazione(zero e infinito) e quindi il percorso di integrazione sarà il seguente:
In sostanza dovrei dimostrare che l'integrazione della curva esterna tende a zero per ...
Salve a tutti.
Vi scrivo per dei dubbi in merito allo svolgimento di un esercizio ove si richiede il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier di un segnale (ovviamente periodico).
In particolare io so che la trasformata di Fourier definita dalla seguente espressione:
$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i 2 \pi f t} dt$
Se calcolata per per una certa frequenza $f$ restituisce il coefficiente relativo all'armonica di frequenza $f$.
Questo è il legame tra la Trasformata di Fourier e la i ...
$ f(x)={ ( 1 rarr pi/2<|x|<pi ),( 0rarr "altrove"):} $
Ho un problema nella soluzione della $ g(alpha ) $
la soluzione finale $ f(x)=int_(-oo )^(+oo ) (sinalpha pi-sin alpha pi/2 )/(alpha pi) e^(ialpha x) dx $
La $ g(alpha ) $ la calcolo come $ g(alpha )=1/(2pi)(int_(-pi/2)^(-pi) e^(-ialphax ) dx+int_(pi/2)^(pi) e^(-ialphax ) dx ) $
E' giusto la formula che uso o sbaglio dal principio?
Non ho capito alcune cose di una dimostrazione della seguente proposizione
Sia \( U \) un aperto semplicemente connesso che non contiene zero, con \( a \in U \). Allora \( L: U \to \mathbb{C} \)
\[ L(z) = \omega + \int_{a}^{z} \frac{1}{\xi} d\xi \]
definisce una determinazione del logaritmo nel senso che \( \exp(L(z))=z \), per tutti i \( z \in U \), se \( e^{\omega} =a \).
Dimostrazione:
Siccome \( U \) è semplicemente connesso la funzione \( L \) è ben definita.
Abbiamo inoltre che \( ...
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Studente Anonimo
15 ott 2019, 19:10
Salve, mi blocco nel punto (3) di questo esercizio
Sia \( f \) analitica in \( D(0,1+\epsilon) \) per qualche \( \epsilon \).
(1) Dimostra che
\[ f(z) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}}{e^{it}- z} f(e^{it}) dt;\]
(2) Dimostra che per tutti \( z \in D(0,1) \)
\[ f(0) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt;\]
(3) Dedurre la formula integrale di Schwarz, con \( z \in D(0,1) \).
\[ f(z) = i \Im (f(0)) +\frac{1}{2\pi } ...
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Studente Anonimo
14 ott 2019, 18:40
In $H=L^2[-\pi,\pi]$ è definito $Tf(x)=g(x)$ dove $g(x)=cos(x)f(-x)+sin(x)f(x)$ . Mostrare che T è limitato e trovarne la norma.
Quindi se ho capito, calcolo la norma e vedo se è limitato oppure no. CIoè calcolo
$||Tf||^2=\int_(-\pi)^(+\pi)(cos^2x|f(-x)|^2+sin^2x|f(x)|^2+sinx cosx (f(x)f^** (-x)+f(-x)f^**(x))) text(d) x$
(il + in apice sarebbe l'asterisco di complesso coniugato, non riuscivo a metterlo) . E...qua mi fermo Sono almeno partito bene? Qualche aiuto?
Sia \( \{a_j\}_{j \in \mathbb{N} } \subset \mathbb{C} \) tale che
\[ \sum\limits_{n=2}^{\infty} n \left| a_n \right| < 1 \]
1) Dimostra che
\[ f(z) = z + \sum\limits_{n=2}^{\infty} a_n z^n \]
è olomorpha nel disco unitario aperto \( \mathbb{D} \).
2) Calcola \( f'(z) \) dentro \( \mathbb{D} \)
3) Dimostra che \( f \) è iniettiva su \( \mathbb{D} \)
Avrei una chiarimento da chiedere per il punto 1) e invece mi blocco nel punto 3).
1) L'assistente mi ha suggerito che se se la funzione è bornata ...
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Studente Anonimo
11 ott 2019, 14:15
Ciao!
Ho dimostrato la seguente cosa
siano $A$ un aperto non vuoto di $CC$, $gamma_1,gamma_2:[0,1]->A$ curve $C^1$ linearmente omotope in $A$ relativamente a ${0,1}$ e $f:A->CC$ una funzione olomorfa in $A$
allora $int_(gamma_1)f(z)dz=int_(gamma_2)f(z)dz$
con linearmente omotope intendo che l'omotopia $varphi(s,t)=sgamma_1(t)+(1-s)gamma_2(t)$ è tale che $varphi([0,1]^2)subsetA$
con relativamente a ${0,1}$(in questo caso) si intende semplicemente che ...
buongiorno a tutti, è un esercizio molto semplice ma non riesco ad eseguire le sostituzioni necessarie per proseguire. Vi propongo prima l'esercizio e poi dove sono arrivato io e dove dovrei arrivare.
Calcolare l' integrale \( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2+\sin{(x)}+\cos{(x)}} \,dx \) facendo uso del teorema dei residui.
Note le formule di Eulero, parametrizzo la funzione sulla circonferenza \(\gamma\) percorsa in senso antiorario \(0\leq ...
Sia \( H \in (0,\infty ) \) e siano \( \gamma_1,\gamma_2 : [0,1] \to \mathbb{C} \) due cammini parametrizzati da
\[ \gamma_1(t) = H(1+i)t \]
\[\gamma_2(t) = \left\{\begin{matrix}
2Ht & \text{se} & t\in [0,1/2]\\
2Hti(t-1/2)+H& \text{se} & t\in [1/2,1]
\end{matrix}\right. \]
(1) Discutere se i valori degli integrali
\[ \int_{\gamma_j} e^{iz^2}dz \]
per \( j=1,2 \) sono uguali. (2) Comparando i due integrali precedenti e utilizzando il fatto che \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}dx = ...
1
Studente Anonimo
9 ott 2019, 01:12
Trovare la funzione analitica \( f(z) = u(x,y) + i v(x,y) \) a partire da
\[ u(x,y)= e^x(x \cos y - y \sin y) + 2 \sin x \sinh y + x^3 -3xy^3 + y \]
Allora siccome dev'essere analitca, ergo olomorfa, deve soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann pertanto
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} ; \ \ \ \frac{\partial u}{\partial y} =- \frac{\partial v}{\partial x} \]
Dunque abbiamo che
\[\frac{\partial u}{\partial x}=e^x(x \cos y - y \sin y + \cos y) + 2 \cos x \sinh ...
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Studente Anonimo
30 set 2019, 22:39
buongiorno a tutti, ho un paio di dubbi su questo esercizio, potete aiutarmi?
Sia \(f(x): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) e \(f(x)=e^{-|x|}\)
a) Calcolare la trasformata di Fourier \(f(x)\)
b) Dal risultato precedente calcolare la trasformata di Fourier di:
\(g(x)=f(x)+xf(X)\)
\(h(x)= f(x)\cos{(x)}\)
Risoluzione:
a) \( \widetilde{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x) e^{-i\omega x}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-|x|} e^{-i\omega x}dx=\)
dato che è una funzione ...
Buon pomeriggio
Ho un problema con un esempio del teorema della convergenza dominata di Lebesgue perché, ad un certo punto, mi ritrovo con il limite di un integrale che, per essere calcolato, si basa sul fatto che la funzione $f(x) =1/(x^n - 1)$ sia integrabile a valor principale in $(0, +infty) $ ma non capisco perché lo sia.
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo
Salve a tutti gli utenti del forum,
studio da qualche lezione metodi matematici nella mia università (cdl fisica) e trovo un dubbio su un esempio che mi ero fatto di quadrato sommabilità. In particolare vorrei capire se una funzione $e^(i(mx-nt))$ di questo tipo sia quadrato sommabile (con m,n parametri), ma non capisco come svolgere la faccenda.
Un enorme grazie
Sia \( p(z) = \sum\limits_{n=0}^{N} a_nz^n \) un polinomio complesso tale che \( \begin{vmatrix} p(z) \end{vmatrix} \leq 1 \) nel disco unitario \( \overline{D(0,1)} \) dimostra che
\[ \begin{vmatrix} a_n \end{vmatrix} \leq 1; \ \ \ \ \forall n \in \{ 0,\ldots,N\}. \]
Sia \( f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nz^n \) una funzione analitica che converge nel disco unitario \( D(0,1) \) e tale che \( \begin{vmatrix} f(z) \end{vmatrix} \leq 1 \) per ogni \(z \in D(0,1) \) dimostra che
\[ ...
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Studente Anonimo
4 ott 2019, 20:40
Salve,
Nel corso di analisi 3 che sto seguendo abbiamo introdotto la misura di Lebesgue.
Riassumo i punti fondamentali della costruzione che abbiamo fatto:
Ci mettiamo in $RR^n$.
1.Definisco rettangolo un prodotto di intervalli $R=I_1\times...\times I_n$ (intervalli aperti o chiusi è indifferente).
2.Definisco $\mathcal{L}^n(R)$ nella maniera naturale (prodotto delle ampiezze degli intervalli).
3.Definisco plurirettanglo qualsiasi unione finita disgiunta di rettangoli ...
Ciao a tutti,
stavo rivedendo delle esercitazioni fatte in classe in cui si proponeva di studiare il seguente problema di Cauchy:
\begin{equation*}\begin{cases}u_t-u_x=f(x) & (x,t)\in A=\mathbb{R} \times (0,+\infty)\\u(x,0)=0 & x\in \mathbb{R}\end{cases}\end{equation*}
dove
\begin{equation*}f(x)=\begin{cases}1 & x>0\\0 & x\leq 0\end{cases}\end{equation*}
Le soluzioni ricavate applicando il metodo delle caratteristiche sono:
\begin{equation*}u(x,t)=\begin{cases}0 &x< -t\\x+t&-t\leq x \leq 0\\
t ...
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