Sviluppo in serie di Laurent

[borto97]

Ciao a tutti, mi viene chiesto di determinare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $$f(x) = \dfrac{1}{z^3 +1}$$ per $0<|z+1|<\sqrt{3}$. Ho cercato di rimaneggiare la funzione in modo da centrarla in $z+1$ ma per ora non ho trovato niente di soddisfacente. Ho provato anche a scriverla come somma di frazioni ma la funzione diventa abbastanza brutta.
Forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua... qualcuno saprebbe darmi una mano? Grazie in anticipo.

[killing_buddha]

Vale che
\[
g(t)=\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k t^k
\] ed $f(z)=g(z^3)$. Questo ti aiuta.

[borto97]

Grazie per la risposta,
tuttavia quello che hai scritto vale se $|t|<1$ , la mia condizione è diversa. Se mi fosse stato detto che il modulo di z è minore di 1 allora avrei potuto usare il tuo suggerimento, ma in questo caso seguendo le linee di risoluzione di altri esercizi simili dovrei dividere la funzione in frazioni dove posso raccogliere la radice di 3 in modo che venga divisa a $z+1$: in questo modo so che $$\dfrac{|z+1|}{|\sqrt{3}|}<1$$ e posso usare lo sviluppo della serie geometrica. Non so se sono riuscito a spiegarmi bene, spero si capisca cosa intendo.

[dissonance]

Comincia scomponendo $z^3+1=(z+1)(...)$.

[borto97]

Comincia scomponendo $z^3+1=(z+1)(...)$.

Ho scomposto e poi ho portato anche la funzione nella forma di somma di frazioni $$f(z) = \dfrac{1}{(z+1)(z^2 - z +1)} = \dfrac{2-z}{3(z^2 - z+1)} + \dfrac{1}{3(z+1)}$$

Il secondo termine è già sistemato ma se scompongo il denominatore del primo non ottengo un risultato utile

[anonymous_0b37e9]

"shot22":
... ma se scompongo il denominatore del primo non ottengo un risultato utile ...

Veramente, con un po' di pazienza:

$1/(z^3+1)=$

$=1/((z+1)(z-1/2-isqrt3/2)(z-1/2+isqrt3/2))=$

$=1/3 1/(z+1)-(1+isqrt3)/6 1/(z-1/2-isqrt3/2)-(1-isqrt3)/6 1/(z-1/2+isqrt3/2)=$

$=1/3 1/(z+1)-(1+isqrt3)/6 1/(-3/2-isqrt3/2+z+1)-(1-isqrt3)/6 1/(-3/2+isqrt3/2+z+1)=$

$=1/3 1/(z+1)-(1+isqrt3)/6 1/((-3/2-isqrt3/2)(1-(z+1)/(3/2+isqrt3/2)))-(1-isqrt3)/6 1/((-3/2+isqrt3/2)(1-(z+1)/(3/2-isqrt3/2)))=$

$=1/3 1/(z+1)-(1+isqrt3)/6 (1/3(-3/2+isqrt3/2))/(1-(z+1)/(3/2+isqrt3/2))-(1-isqrt3)/6 (1/3(-3/2-isqrt3/2))/(1-(z+1)/(3/2-isqrt3/2))=$

$=1/3 1/(z+1)+(3+isqrt3)/18 1/(1-(z+1)/(3/2+isqrt3/2))+(3-isqrt3)/18 1/(1-(z+1)/(3/2-isqrt3/2))$

Inoltre, come hai giustamente osservato, le condizioni affinché sia possibile lo sviluppo sono:

$|(z+1)/(3/2+isqrt3/2)| lt 1 rarr |z+1|/|3/2+isqrt3/2| lt 1 rarr |z+1| lt |3/2+isqrt3/2| rarr |z+1| lt sqrt3$

$|(z+1)/(3/2-isqrt3/2)| lt 1 rarr |z+1|/|3/2-isqrt3/2| lt 1 rarr |z+1| lt |3/2-isqrt3/2| rarr |z+1| lt sqrt3$

visto che i poli $[z=1/2+-isqrt3/2]$ hanno la stessa distanza $sqrt3$ dal polo $[z=-1]$.