Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Ciao a tutti.
Avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio.
Es Per ogni spazio topologico $X$, denotiamo con $ \mathcal{B}(X) $ la sigma algebra di Borel su $X$.
Siano $ \lamda,\mu:\mathcal{B}([0,+\infty))\rightarrow[0,+\infty] $ le misure positive definite da
$ \mu(E)=\nu(E\cap [0,1))+\sum_{n\in E\cap\mathbb{Z}_{+}}n\qquad\qquad\text{e}\qquad\qquad\lambda(E)=\int_{E\cap [0,1)}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sum_{n\in E\cap\mathbb{Z}_{+}}\frac{1}{n^2} $
1. Dire se esiste in $L_1(\mu)$, e nel caso calcolarla, la derivata di Radon.Nikodym di $\lamda$ rispetto a $\mu$;
2. Dire se esiste in $L_1(\mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})})$, e nel caso calcolarla, la derivata di ...
Salve ragazzi,
mi sono imbattuto in questo esercizio che è differente dallo standard del mio prof, quindi mi trovo un pò spiazzato.
$x_0(t)=e^(jt u(t))sin(pi t)[u(t+2)-u(t-2)]$
Quel gradino all'esponenziale ha rovinato tutto perchè se non ci fosse stato, avrei applicato la proprietà(visto l'esponenziale) e poi derivato fino a far sparire i gradini...ma il gradino all'esponenziale non scomparirà mai in questo modo
Voi come lo impostereste? Vi ringrazio tanto
Salve ragazzi l'integrale in questione è:
$\int_{+delD} (sin(1/z)cos(1/(z-2)))/(z-5) dz$ dove $D={z in CC |z|<3}$
ovviamente la singolarità $z_0=5$ va esclusa...
Ed è qui che mi blocco...
Come dovrei continuare per applicare il teorema dei residui?
Devo considerare dove si annullano il seno e il coseno visto che il teorema dei residui non "chiede" i poli ma singolarità?
Salve ragazzi sto svolgendo questo integrale (tramite residui) ma quando vado a calcolare le radini n-esime ho un problema.
$\int_+delD 1/((z^5 + pi)(z-3)^2) dz $ con $D=|z|<2$
subito noto che andando a calcolare le singolarità, $z_0=3$ è un polo doppio ma non rientra in $delD$ quindi lo escludo. Il problema è quel $z^5+ pi =0$ che crea problemi perchè andando a calcolare le radici vengono valori strani.
Se applico la formula $ (root(n)(z) (cos( alpha_k) + i sin(alpha_k))$ mi ritrovoa calcolare valori tipo ...
Ciao a tutti! Sto studiando per un esame sui principali operatori alle derivate parziali e mi sono imbattuta in questo esercizio il cui testo dice:
Sia $L_a$ operatore definito da $$L_a = \sum_{i,j}=a^{ij} \partial ^2 _{ij}$$ con $A=(a^{ij})$ matrice simmetrica, definita positiva a coefficienti costanti. Sia $\Omega$ aperto di $\mathbb{R}^n$ e sia $u$ una funzione di classe $C^2(\Omega , \mathbb{R})$ soluzione di $L_a u(x)=f(x)$. ...
Buonasera a tutti. Dopo aver dimostrato che il sottoinsieme $C=\{ x=(x_k) \in l^2(\mathbb{N}): x_0+x_1+x_2=1 \}$ è non vuoto, chiuso e convesso, devo trovare la proiezione dell'elemento $0 \in \l ^2(\mathbb{N})$. Ho quindi scritto le condizioni $P_C 0 \in C$ e $(0-P_C 0, y-P_C 0) \leq 0$ per ogni $y \in C$. Chiaramente la proiezione $P_C 0 = (\alpha, \beta, 1-\alpha-\beta, ...)$ ma non riesco a determinarla sfruttando l'arbitrarietà degli elementi di $y \in C$. Ringrazio in anticipo chi mi vorrà aiutare!
Salve ragazzi, sto uscendo pazzo con questa trasformata di Laplace:
$cos(pi/4 (u(t-2)))$
Come prima cosa ho scritto il coseno in forma esponenziale, ottenendo :
$1/2[e^(i(pi/4(u(t-2)))) + e^(-i(pi/4(u(t-2))))]$
Ora il problema è che non so trasformare questo esponenziale
Ne ho provate di ogni.Perchè se non ci fosse la traslazione mi verrebbe (verficato su WolframAlpha ) ma quella traslazione all’esponente rovina tutto...
Con la semplice regola della $u(t-t_0)$ non mi viene
Salve a tutti. Come da titolo mi viene chiesto di determinare lo sviluppo di:
$f(z)=1/((z+2i)^2(2z+4i+1))$
centrata in $z=-2i$ che è polo di ordine 2.
Noi a lezione abbiamo visto qualche sviluppo riconducibile a serie geometrica o sviluppi di Taylor noti (funziono trigonometriche, esponenziali), ma non riesco proprio ad uscirne.
Ho provato diversi raccoglimenti per ricondurmi alla serie geometrica, ma senza risultato.
Potete darmi almeno un'idea per procedere?
Qual è o quali sono i ...
Salve ragazzi, stavo svolgendo questo integrale:
$\int_{+delD} (1-cosz)/((z+pi)^2 z^2 sinz) dz$ dove $D={z in CC |z+pi/2|<pi}$
Mi trovo che ho da calcolare 2 residui:
$z_0= 0$ polo singolo e $z_1= -pi$ polo doppio
il primo polo annulla tre volte il denomintaore e 2 volte il numeratore.
Il residuo calcolato in $z_0$ mi restituisce $1/(2pi^2)$ ma il secondo residuo mi restituisce $infty$ quindi non so come procedere.
Sicuramente ho mancato qualcosa di teoria...
Messo che i residui e le ...
Salve a tutti. Sto provando a dimostrare questo fatto: siano $\mu$ una misura esterna su $\mathbb{R}^n$, $E$ un sottoinsieme misurabile di $\mathbb{R}^n$ con $\mu(E) < +\infty $ e $1 \leq p \leq +\infty $. Se $f \in L^p (E)$ e $g \in L^{p'}(E) $ allora si ha che almeno una funzione tra $f^2$ e $g^2$ appartiene a $L^1 (E)$. Ho provato ad applicare la disuaglianza di Hölder in vari modi ma senza successo...
Salve ragazzi, ho l'esame orale di Metodi matematici per la fisica tra pochi giorni, e ho trovato alcune difficoltà nello svolgimento del compito scritto, in particolare per due esercizi, per i quali vi chiedo aiuto
Data la funzione del tipo $CC$ $rarr$ $CC$
$f(z)=1-cos(1/(sqrt(z)))$
-Determinarne il dominio di olomorfia e le singolarità isolate;
-Calcolare lo sviluppo in serie di Laurent nell'intorno dell'origine;
-Calcolare $\int f(z) dz $ lungo la ...
Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano con un integrale da risolvere con il teorema dei residui:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin x}{x^3+j}\ \text{d} x \]
Ho trovato i poli della funzione che sarebbero $ j $ , $ frac{-j+\sqrt{3}}{2} $ $ frac{-j-\sqrt{3}}{2}$
Ma ora non so quale dei poli prendere per effettuare i residui ed applicare il teorema.
Grazie in anticipo a chi mi risponderà
Buongiorno a tutti,
mi servirebbe un aiuto nel dimostrare che dati due spazi normati $X,Y$, con $Y$ di dimensione infinita e un operatore compatto $T: X \to Y$, allora l'immagine $T(X)$ non può essere densa in $Y$.
Grazie a chi mi vorrà dare un suggerimento!
Ciao a tutti, vorrei chiedervi una mano con questo esercizio:
trovare il limite, se esiste, della seguente successione di distribuzioni per n tendente ad infinito di
$n(\delta_{\frac{1}{n}}- \delta_{frac{-1}{n}})$
La cosa che mi disorienta è il meno della seconda delta, il risultato dovrebbe essere $-2\cdot\delta_0\prime$ ma a me viene di segno positivo. I calcoli che ho provato a svolgere sono questi:
$ \lim_ {n\to infty} {n\cdot (\phi(\frac{1}{n})-\phi(\frac{-1}{n}) )} =$
$frac{\phi(frac{1}{n})-\phi(frac{-1}{n}) -\phi(0)+\phi(0)} {\frac{1}{n}}=$
$\frac{\phi(frac{1}{n})-\phi(0)}{\frac{1}{n}}+ \frac{\phi(frac{-1}{n})-\phi(0)}{\frac{-1}{n}}= $
$ \lim_ {n\to infty}{\phi\prime(frac{1}{n}) - \phi\prime(frac{1}{n})} = 2\cdot\delta\prime_0$
Qualcuno può darmi una mano? Il problema è che ...
Ciao a tutti,
avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio.
Es Si consideri il sottoinsieme $ A=\{f\in C^1([-1\text{,}1]):\ f\text{ convessa },\ f(0)=0,f(1)=f(-1)=1\} $ di $C([-1\text{,}1])$ (spazio di Banach dotato con la norma infinito).
Dire se è relativamente compatto.
Quello che ho provato a fare io è stato considerare l'insieme $A'=\{f_n : n\in\mathbb{Z}_{+}\}$ dove $f_n(x)=x^{2n}$.
Tali funzioni sono definite da $[-1,1]$ in $[0,1]$ che sono due compatti.
Quello che cercherei di dire ora è che se $A'$ fosse equicontinuo ...
Salve a tutti,
nel caso in cui si parla di misurabilità di un insieme non limitato,allora,considerato $ E sub RR^(n) $ , interseco E con $ [-k,k]^(n) $ con intervalli di centro l'origine di $ RR^(n)$ e ottengo un insieme limitato. allora si pone $ |E|=Sup|E nnn [-k,k]^(n) $ .
Quello che non è chiaro:se ottengo un insieme limitato,allora perchè la misura di E può anche essere $ +infty $ ?
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con questo esempio che mi è stato mostrato in aula, scrivo per intero il testo sperando che gli appunti presi siano accurati.
$int_{-infty}^{infty}(senx)/xdx$
$f(z)=(senx)/x=(e^(ix)-e^(-ix))/(2ix)$
$int_{-infty}^{infty}(e^(ix)-e^(-ix))/(2ix)=1/(2i)[int_{-infty}^{infty}e^(ix)/xdx-int_{-infty}^{infty}e^(-ix)/xdx]$
$Res(e^(ix)/x,0)=lim_{z \to 0} e^(ix)=1 rArr int_{-infty}^{infty}e^(ix)/xdx=pii$
$Res(e^(-ix)/x,0)=lim_{z \to 0} e^(-ix)=1 rArr int_{-infty}^{infty}e^(-ix)/xdx=-pii$
$int_{-infty}^{infty}(senx)/xdx=(2pii)/(2i)=pi/2$ (dividiamo per due a causa del lemma di Jordan)
I passaggi che non mi sono chiari sono:
• $int_{-infty}^{infty}e^(-ix)/xdx=-pii \text( )$Perchè il risultato è negativo?
• $int_{-infty}^{infty}(senx)/xdx=pi/2\text( )$Secondo WolframAlpha il risultato corretto è ...
Ciao a tutti, volevo chiedervi una mano per questo esercizio:
Sia $D$ il disco unitario in $mathbb{C}$. Dire se le seguenti famiglie sono equicontinue o meno in $C(D)$:
a) $f_a = {e^{iaz}, a \in \mathbb{R}}$
b) $f_a = {e^{i \frac{z}{a}}, a \in \mathbb{R}}$
c) $f_a = {e^{iaz}, a \in \mathbb{R}, |a|<1}$
d) $f_a = {e^{iaz}, a \in \mathbb{R}, |a|>1}$
Per adesso io ho pensato a questo:
La prima famiglia sicuramente non è equicontinua. Infatti consideriamo la sottofamiglia: $f_n = {e^{imz}, m \in \mathbb{N}}$ e la successione $\lambda_m= \frac{\pi}{m}$. Allora in ...
Buondì, mi ritrovo a voler estendere il teorema di Radon-Nikoydm dal caso di misure finite a quello di misure $\sigma$-finite e volevo sapere se il mio tentativo è ok.
Innanzitutto il teorema per misure finite:
Teorema
Sia $(\Omega, \mathcal{M})$ uno spazio misurabile e siano $\mu$ e $\nu$ due misure (positive) finite su di esso. Se $\nu$ è assolutamente continua rispetto a $\mu$[nota]Diciamo che $\nu$ è assolutamente continua ...
Buongiorno a tutti,
per un esame universitario sto cercando di capire il funzionamento della DCT applicata alle immagini, tuttavia ho un forte dubbio:
\[ c_k = \alpha_{k} \sum_{i=0}^{N-1} y_{i} \cos(k \pi \frac{2i+1}{2N}) \]
quella che ho scritto è la formula con cui ricavo i coefficienti. So che l'indice "k" dei coefficienti deve andare da 0 a N-1, in questo modo si formerà una tabella N*N ma non ho capito perché mi devo fermare proprio a N-1. Se vado avanti dovrei ottenere una tabella più ...
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