Metrizzabilità della topologia debole
Salve a tutti, ho un dubbio in un passaggio di una dimostrazione che afferma
"in ogni spazio di Banach separabile in cui le successioni di Cauchy deboli non convergono debolmente ad elementi dello spazio, allora la topologia debole non è metrizzabile."
Io riesco solo a capire (ovviamente) che la topologia debole non è debolmente completa, ma non che non è metrizzabile!
Non è che magari vale un teorema di questo tipo?
"Se (E.||-||) è uno spazio di Banach separabile, allora lo spazio metrico (E,d) è completo, per ogni metrica d la cui topologia è meno fine di quella indotta da ||-|| "
"in ogni spazio di Banach separabile in cui le successioni di Cauchy deboli non convergono debolmente ad elementi dello spazio, allora la topologia debole non è metrizzabile."
Io riesco solo a capire (ovviamente) che la topologia debole non è debolmente completa, ma non che non è metrizzabile!
Non è che magari vale un teorema di questo tipo?
"Se (E.||-||) è uno spazio di Banach separabile, allora lo spazio metrico (E,d) è completo, per ogni metrica d la cui topologia è meno fine di quella indotta da ||-|| "
Risposte
Che significa "debolmente completa"? Una topologia non può essere "completa", in generale. Sono le metriche ad essere complete.
che se la topologia debole fosse metrizzabile, sicuramente tale metrica non è completa, ho lasciato un pezzo.
Aggiungo un'altra cosa, visto che l'osservazione di dissonance mi ha fatto riflettere, in realtà nemmeno le successioni di Cauchy sarebbero definite per spazi topologici, ma necessiterebbero di un concetto di spazio metrico, tuttavia per la topologia debole si definisce successione di Cauchy debole una successione $(x_n)_n\in E$ tale che $\lim_{n,m\to\infty} f(x_n)-f(x_m)=0$ $\forall f\in E'$ quindi magari con completezza debole si intende che ogni successione di Cauchy debole converge all'immagine tramite $f$ di un $x\in E$.
Non è che vale una sorta di proposizione che mi dice che se $(E,d)$ e $(E^{\prime},d^{\prime})$ sono spazi metrici allora per ogni successione $(x_n)_n\in E$ e per ogni $f\in E'$ tale che $lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x)$ $\Rightarrow$ $x\inE$? Perchè se questa cosa vale allora il gioco è fatto, perchè supponendo per assurdo che la topologia debole sia metrizzabile, allora dovrebbe valere l'asserto sopra menzionato, che però so non valere nell'esempio che ho citato nel primo post.
PS la cosa sottostante non vale, ho trovato un controesempio
Non è che vale una sorta di proposizione che mi dice che se $(E,d)$ e $(E^{\prime},d^{\prime})$ sono spazi metrici allora per ogni successione $(x_n)_n\in E$ e per ogni $f\in E'$ tale che $lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x)$ $\Rightarrow$ $x\inE$? Perchè se questa cosa vale allora il gioco è fatto, perchè supponendo per assurdo che la topologia debole sia metrizzabile, allora dovrebbe valere l'asserto sopra menzionato, che però so non valere nell'esempio che ho citato nel primo post.
PS la cosa sottostante non vale, ho trovato un controesempio
"materia":
Salve a tutti, ho un dubbio in un passaggio di una dimostrazione che afferma
"in ogni spazio di Banach separabile in cui le successioni di Cauchy deboli non convergono debolmente ad elementi dello spazio, allora la topologia debole non è metrizzabile."
Io riesco solo a capire (ovviamente) che la topologia debole non è debolmente completa, ma non che non è metrizzabile!
Non è che magari vale un teorema di questo tipo?
"Se (E.||-||) è uno spazio di Banach separabile, allora lo spazio metrico (E,d) è completo, per ogni metrica d la cui topologia è meno fine di quella indotta da ||-|| "
Comunque la topologia debole non è mai metrizzabile, salvo nei casi banali degli spazi di dimensione finita. Ma invece di ragionare su queste categorie astratte, come peraltro facevo pure io da studente, è meglio considerare esempi concreti. Se una topologia è metrizzabile allora le chiusure sequenziali coincidono con le chiusure topologiche, ovvero, tutti i punti della chiusura topologica di un insieme sono limiti di qualche successione di elementi dell'insieme stesso. (Questa è la proprietà delle topologie metrizzabili che più si usa in analisi, secondo la mia esperienza). Ma, almeno in \(L^2([0, 2\pi])\) con la topologia debole, questa proprietà non è verificata a causa dell'esempio di von Neumann (clic). Questo esempio si può generalizzare abbastanza facilmente a tutti gli spazi di Hilbert. E se le cose vanno male già negli spazi di Hilbert, non c'è nessun motivo di credere che miglioreranno passando a maggiore generalità.
Finalmente, quesito risolto
???
Intanto non capisco come tu possa dare credito a quella roba. È un commentino senza uno straccio di riferimento o dimostrazione. Inoltre è privo di senso, cosa sarebbe il duale di uno spazio metrico? E infine, se quella roba risponde alla tua domanda allora io non ho proprio capito quale sarebbe la tua domanda.
Intanto non capisco come tu possa dare credito a quella roba. È un commentino senza uno straccio di riferimento o dimostrazione. Inoltre è privo di senso, cosa sarebbe il duale di uno spazio metrico? E infine, se quella roba risponde alla tua domanda allora io non ho proprio capito quale sarebbe la tua domanda.
Ho evitato di modificare il topic perché non aveva risposto nessuno, ma avevo letto il commento di sfuggita durante la pausa a lezione e mi ero fatto un viaggio mentale col fatto che in qualche modo il principio di uniforme limitatezza, alias Banach Steinhaus mi dicesse una cosa del tipo che "la continuità e la continuità sequenziale su uno spazio metrico devono essere la stessa cosa". Tuttavia io non ho l'ipotesi di spazio normato e quindi quel teorema non può dirmi nulla, non avendolo sotto occhio avevo confuso la sua ipotesi di spazio di Banach con quella del Lemma di Baire in cui si ha solo che lo spazio è metrico. 
Poi però riguardando la teoria ho visto che non c'entrava una mazza e ho lasciato perdere per chiarire una volta per tutte a ricevimento. Anche se forse la mia intuizione potrebbe essere vera, ma non riesco a visualizzarne il motivo. Inoltre se si vuol essere pignoli ho anche commesso l'errore nel postulare l'enunciato: se $f\in E'$ è ovvio che se ottengo convergenza a $f(x)$ allora $x\in E$, avrei dovuto dire che $f$ è un funzionale lineare con dominio uno spazio metrico contenente $E$.
Non capisco il tuo dubbio sulla dualità di uno spazio metrico... Perché non avrebbe senso parlarne?
Poi però riguardando la teoria ho visto che non c'entrava una mazza e ho lasciato perdere per chiarire una volta per tutte a ricevimento. Anche se forse la mia intuizione potrebbe essere vera, ma non riesco a visualizzarne il motivo. Inoltre se si vuol essere pignoli ho anche commesso l'errore nel postulare l'enunciato: se $f\in E'$ è ovvio che se ottengo convergenza a $f(x)$ allora $x\in E$, avrei dovuto dire che $f$ è un funzionale lineare con dominio uno spazio metrico contenente $E$.
Non capisco il tuo dubbio sulla dualità di uno spazio metrico... Perché non avrebbe senso parlarne?
"materia":??? Non capisco nulla di questo pezzo e non capisco neanche cosa c'entri con la tua domanda. Ma come dicevo prima, qual è la tua domanda?
Ho evitato di modificare il topic perché non aveva risposto nessuno, ma avevo letto il commento di sfuggita durante la pausa a lezione e mi ero fatto un viaggio mentale col fatto che in qualche modo il principio di uniforme limitatezza, alias Banach Steinhaus mi dicesse una cosa del tipo che "la continuità e la continuità sequenziale su uno spazio metrico devono essere la stessa cosa". Tuttavia io non ho l'ipotesi di spazio normato e quindi quel teorema non può dirmi nulla, non avendolo sotto occhio avevo confuso la sua ipotesi di spazio di Banach con quella del Lemma di Baire in cui si ha solo che lo spazio è metrico.
Poi però riguardando la teoria ho visto che non c'entrava una mazza e ho lasciato perdere per chiarire una volta per tutte a ricevimento. Anche se forse la mia intuizione potrebbe essere vera, ma non riesco a visualizzarne il motivo. Inoltre se si vuol essere pignoli ho anche commesso l'errore nel postulare l'enunciato: se $f\in E'$ è ovvio che se ottengo convergenza a $f(x)$ allora $x\in E$, avrei dovuto dire che $f$ è un funzionale lineare con dominio uno spazio metrico contenente $E$.
Non capisco il tuo dubbio sulla dualità di uno spazio metrico... Perché non avrebbe senso parlarne?
Che cosa sarebbe il duale di uno spazio metrico?
In generale, prova a rileggere quello che hai scritto, e se ci capisci qualcosa allora alzo le mani e mi ritiro. Io non ho capito pressoché nulla dei tuoi post.
La mia domanda è:
perché vale questo asserto
"in ogni spazio di Banach separabile in cui le successioni di Cauchy deboli non convergono debolmente ad elementi dello spazio, allora la topologia debole non è metrizzabile."
che la mia Prof ha citato in un esempio senza motivarlo?
Successivamente mi sono chiesto, non è che vale un risultato di questo tipo:
$ (E,d) $ e $ (E^{\prime},d^{\prime}) $ sono spazi metrici allora per ogni successione $ (x_n)_n\in E $ e per ogni $ f\in E' $ tale che $ lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x) $ $ \Rightarrow $ $ x\inE $?
Perché se valesse allora riuscirei a spiegarmi la validità del precedente.
Tuttavia la mia domanda è molto simile a quella che ti sei posto anni fa:
dire che una successione $(x_k)_k$ è di Cauchy debole significa che per ogni funzionale $f\inE'$, $f(x_k)$ definisce una successione numerica di Cauchy sui reali, e che quindi per la completezza dei reali, so che essa converge ad un certo $f(x).$
Anzi, la nostra domanda in soldoni è la stessa cosa.
Tuttavia le successioni di Cauchy deboli mi danno informazioni sulla convergenza debole solo se la topologia debole è metrizzabile, perché nelle topologie metrizzabili si ha che continuità e continuità sequenziale coincidono, perché la topologia è determinata dalle successioni (risposta che mi ha dato oggi la mia Docente).
Per spazio duale topologico nella definizione è richiesta solo la struttura di spazio vettoriale e di spazio topologico, quindi non vedo perché non avrebbe senso parlare di duale topologico di uno spazio metrico.
I funzionali lineari continui ce li hai su uno spazio metrico, e in più per la completezza dei reali hai anche definita la norma duale.
perché vale questo asserto
"in ogni spazio di Banach separabile in cui le successioni di Cauchy deboli non convergono debolmente ad elementi dello spazio, allora la topologia debole non è metrizzabile."
che la mia Prof ha citato in un esempio senza motivarlo?
Successivamente mi sono chiesto, non è che vale un risultato di questo tipo:
$ (E,d) $ e $ (E^{\prime},d^{\prime}) $ sono spazi metrici allora per ogni successione $ (x_n)_n\in E $ e per ogni $ f\in E' $ tale che $ lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x) $ $ \Rightarrow $ $ x\inE $?
Perché se valesse allora riuscirei a spiegarmi la validità del precedente.
Tuttavia la mia domanda è molto simile a quella che ti sei posto anni fa:
dire che una successione $(x_k)_k$ è di Cauchy debole significa che per ogni funzionale $f\inE'$, $f(x_k)$ definisce una successione numerica di Cauchy sui reali, e che quindi per la completezza dei reali, so che essa converge ad un certo $f(x).$
Anzi, la nostra domanda in soldoni è la stessa cosa.
Tuttavia le successioni di Cauchy deboli mi danno informazioni sulla convergenza debole solo se la topologia debole è metrizzabile, perché nelle topologie metrizzabili si ha che continuità e continuità sequenziale coincidono, perché la topologia è determinata dalle successioni (risposta che mi ha dato oggi la mia Docente).
Per spazio duale topologico nella definizione è richiesta solo la struttura di spazio vettoriale e di spazio topologico, quindi non vedo perché non avrebbe senso parlare di duale topologico di uno spazio metrico.
I funzionali lineari continui ce li hai su uno spazio metrico, e in più per la completezza dei reali hai anche definita la norma duale.
"materia":A questo ho già risposto qua: viewtopic.php?p=8344592#p8344592
La mia domanda è:
perché vale questo asserto
"in ogni spazio di Banach separabile in cui le successioni di Cauchy deboli non convergono debolmente ad elementi dello spazio, allora la topologia debole non è metrizzabile."
In breve: la topologia debole non è MAI metrizzabile.
Successivamente mi sono chiesto, non è che vale un risultato di questo tipo:
$ (E,d) $ e $ (E^{\prime},d^{\prime}) $ sono spazi metrici allora per ogni successione $ (x_n)_n\in E $ e per ogni $ f\in E' $ tale che $ lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x) $ $ \Rightarrow $ $ x\inE $?
Il duale di uno spazio metrico non esiste. Come tu stesso hai detto, per definire il "duale" hai bisogno della struttura vettoriale e di quella topologica. In uno spazio metrico non c'è la struttura vettoriale.
-------
PS: Non è che la professoressa si riferisce *alla sfera unitaria* di uno spazio di Banach? Con certe ipotesi, la sfera unitaria munita della topologia debole è metrizzabile. ATTENZIONE! Per "sfera unitaria munita della topologia debole" intendo: "la sfera unitaria $S$ di uno spazio di Banach $E$ ne è un sottoinsieme, e dunque tutte le topologie su $E$ inducono una topologia su $S$."
Nota che per indurre la topologia debole su $S$, che NON è uno spazio vettoriale, abbiamo dovuto usare la struttura di spazio vettoriale di $E$.
Allora, l'esempio in cui è stata tirata fuori in ballo la frase
"in ogni spazio di Banach separabile in cui le successioni di Cauchy deboli non convergono debolmente ad elementi dello spazio, allora la topologia debole non è metrizzabile"
era riferita allo spazio $c_0=\{(x_k)_k\in l^\infty|\lim_{k\to\infty}x_k=0\}$ che ovviamente so non essere metrizzabile con la topologia debole perché ha dimensione infinita, tuttavia questa cosa la Prof l'ha dimostrata 2 lezioni dopo aver fatto questo esempio, e a me più che un teorema che mi garantisce la metrizzabilità della topologia debole, mi interessava sapere, seguento il filo cronologico dei miei appunti, come potevo dar senso a quella frase che ho citato, ergo sapere se si poteva dedurre la non metrizzabilità della topologia debole anche con altre condizioni.
La correzione che non avevi capito perchè non ho adeguatamente motivato, ossia questa:
"Inoltre se si vuol essere pignoli ho anche commesso l'errore nel postulare l'enunciato: se $f∈E'$ è ovvio che se ottengo convergenza a $f(x)$ allora $x∈E$, avrei dovuto dire che $f$ è un funzionale lineare con dominio uno spazio metrico contenente $E$"
era riferita al fatto che nell'esempio in questione (sopracitato) osservavo che $\forall f\in c_0'$ e fissata la successione $(x_k)_k=(1,...,1,0,...)$ con $k$ volte $1$, $\lim_{k\to\infty} f(x_k)$ converge a $f(x)$ con $x=(1,...,1)$
(per vedere tale convergenza si usa la scrittura in base di Schauder e il fatto che la $l^1\cong c_0'$)
tuttavia $x\in l^\infty\backslash c_0$, quindi ho trovato una successione di Cauchy debole, ma che non converge debolmente ad un elemento dello spazio $c_0$ che è di Banach e separabile
(e qui la mia docente ha formulato la famosa frase che non ho capito, ossia che questo mi implica che $c_0$ non è debolmente completo.
-in realtà il lato interessante di questo controesempio è che mi dice anche che non posso indebolire la condizione sufficiente per la convergenza debole, cioè che non basta sapere che $f(x_k)$, vista come successione numerica converge, ma che deve convergere a $f(x)$ con $x$ appartenente allo spazio, questo lo dico solo per curiosità-).
Quindi nella correzione intendevo dire che avrei dovuto aggiustare le ipotesi richiedendo che $f\in A'$ con $A$ spazio metrico vettoriale contenente lo spazio metrico vettoriale $E$, altrimenti dire che presa $f\in E'$ e $(x_k)_k$ in $E$, l'ipotesi $f(x_k)$ converge a $f(x)$ implica che $x\in E$ non ha molto senso, perché devo sapere che $f$ è un funzionale definito in uno spazio più grande di $E$, ergo che $x$ può non appartenere ad $E$.
Infine mi scuso per la mancata ipotesi di spazio vettoriale, ma davo per scontato che si avesse questa ipotesi.
PS: per la cosa che hai scritto infondo su $S$, riesco ad indurre una topologia di sottospazio su $S$, partendo da quella debole su $E$, tuttavia tale topologia indotta su $S$ non è una topologia debole, perché $S$ non è uno spazio vettoriale, quindi non può essere munito di topologia debole perché la topologia debole è la topologia meno fine che rende continui gli elementi del duale, ma se $S$ non ha duale allora che topologia è quella che ci induco? C'entra qualcosa la continuità delle restrizioni ad $S$ dei funzionali di $E'$?
NOTA: Ho riletto il tuo commento, non penso abbia senso chiamare quella topologia, topologia debole su $S$ per le osservazioni che ti ho fatto.
Non sarebbe meglio considerarla come la topologia meno fine su $S$ che rende continui i funzionali di $S$ (non lineari perché senza spazio vettoriale non si può parlare di linearità) che ammettono un'estensione continua ad $E$???
"in ogni spazio di Banach separabile in cui le successioni di Cauchy deboli non convergono debolmente ad elementi dello spazio, allora la topologia debole non è metrizzabile"
era riferita allo spazio $c_0=\{(x_k)_k\in l^\infty|\lim_{k\to\infty}x_k=0\}$ che ovviamente so non essere metrizzabile con la topologia debole perché ha dimensione infinita, tuttavia questa cosa la Prof l'ha dimostrata 2 lezioni dopo aver fatto questo esempio, e a me più che un teorema che mi garantisce la metrizzabilità della topologia debole, mi interessava sapere, seguento il filo cronologico dei miei appunti, come potevo dar senso a quella frase che ho citato, ergo sapere se si poteva dedurre la non metrizzabilità della topologia debole anche con altre condizioni.
La correzione che non avevi capito perchè non ho adeguatamente motivato, ossia questa:
"Inoltre se si vuol essere pignoli ho anche commesso l'errore nel postulare l'enunciato: se $f∈E'$ è ovvio che se ottengo convergenza a $f(x)$ allora $x∈E$, avrei dovuto dire che $f$ è un funzionale lineare con dominio uno spazio metrico contenente $E$"
era riferita al fatto che nell'esempio in questione (sopracitato) osservavo che $\forall f\in c_0'$ e fissata la successione $(x_k)_k=(1,...,1,0,...)$ con $k$ volte $1$, $\lim_{k\to\infty} f(x_k)$ converge a $f(x)$ con $x=(1,...,1)$
(per vedere tale convergenza si usa la scrittura in base di Schauder e il fatto che la $l^1\cong c_0'$)
tuttavia $x\in l^\infty\backslash c_0$, quindi ho trovato una successione di Cauchy debole, ma che non converge debolmente ad un elemento dello spazio $c_0$ che è di Banach e separabile
(e qui la mia docente ha formulato la famosa frase che non ho capito, ossia che questo mi implica che $c_0$ non è debolmente completo.
-in realtà il lato interessante di questo controesempio è che mi dice anche che non posso indebolire la condizione sufficiente per la convergenza debole, cioè che non basta sapere che $f(x_k)$, vista come successione numerica converge, ma che deve convergere a $f(x)$ con $x$ appartenente allo spazio, questo lo dico solo per curiosità-).
Quindi nella correzione intendevo dire che avrei dovuto aggiustare le ipotesi richiedendo che $f\in A'$ con $A$ spazio metrico vettoriale contenente lo spazio metrico vettoriale $E$, altrimenti dire che presa $f\in E'$ e $(x_k)_k$ in $E$, l'ipotesi $f(x_k)$ converge a $f(x)$ implica che $x\in E$ non ha molto senso, perché devo sapere che $f$ è un funzionale definito in uno spazio più grande di $E$, ergo che $x$ può non appartenere ad $E$.
Infine mi scuso per la mancata ipotesi di spazio vettoriale, ma davo per scontato che si avesse questa ipotesi.
PS: per la cosa che hai scritto infondo su $S$, riesco ad indurre una topologia di sottospazio su $S$, partendo da quella debole su $E$, tuttavia tale topologia indotta su $S$ non è una topologia debole, perché $S$ non è uno spazio vettoriale, quindi non può essere munito di topologia debole perché la topologia debole è la topologia meno fine che rende continui gli elementi del duale, ma se $S$ non ha duale allora che topologia è quella che ci induco? C'entra qualcosa la continuità delle restrizioni ad $S$ dei funzionali di $E'$?
NOTA: Ho riletto il tuo commento, non penso abbia senso chiamare quella topologia, topologia debole su $S$ per le osservazioni che ti ho fatto.
Non sarebbe meglio considerarla come la topologia meno fine su $S$ che rende continui i funzionali di $S$ (non lineari perché senza spazio vettoriale non si può parlare di linearità) che ammettono un'estensione continua ad $E$???
Guarda, ti dico la verità, non risponderò a questo tuo post. È scritto in modo troppo confuso per capirci qualcosa, dovrei fare una opera di decifrazione e non ne ho né il tempo né la voglia. Se formuli una domanda concisa e precisa ci posso ragionare su, ma su un flusso di coscienza come questo che hai scritto, no.
In realtà non ho nessuna domanda, doveva essere un post di chiarimento per farti capire da dove era nato il mio dubbio (che ieri ho risolto), e anche per mostrare un controesempio interessante.
Dalla tua risposta non penso di essere riuscito nel mio intento.
L'unica cosa che ho da dirti è questa:
Non penso abbia senso chiamare topologia debole, la topologia di sottospazio di $S$ indotta dalla topologia debole di $E$, perché per definizione, la topologia debole su uno spazio normato/vettoriale è la topologia meno fine che rende continui gli elementi del duale, ed in $S$, non essendo spazio vettoriale, non ha senso parlare di spazio duale.
Tuttavia considererei tale topologia come la meno fine su S che rende continui i funzionali di questo insieme $\{f:S\to\mathbb{R}|f\text{ ammette un'estensione continua e lineare ad }E\}.$
Dalla tua risposta non penso di essere riuscito nel mio intento.
L'unica cosa che ho da dirti è questa:
Non penso abbia senso chiamare topologia debole, la topologia di sottospazio di $S$ indotta dalla topologia debole di $E$, perché per definizione, la topologia debole su uno spazio normato/vettoriale è la topologia meno fine che rende continui gli elementi del duale, ed in $S$, non essendo spazio vettoriale, non ha senso parlare di spazio duale.
Tuttavia considererei tale topologia come la meno fine su S che rende continui i funzionali di questo insieme $\{f:S\to\mathbb{R}|f\text{ ammette un'estensione continua e lineare ad }E\}.$
Sono d'accordo, sarebbe meglio parlare di "topologia debole indotta" o qualcosa del genere. Ma non è che sia super importante.
In bocca al lupo con l'analisi funzionale e non ti fissare troppo su quella affermazione della docente, mi pare un po' infelice.
In bocca al lupo con l'analisi funzionale e non ti fissare troppo su quella affermazione della docente, mi pare un po' infelice.
Crepi! Ma difatti non mi ci sono fissato troppo, era più una curiosità personale, anche perché all'esame motiverei il tutto con la risposta che mi hai suggerito tu.
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