Analisi superiore

Ciao a tutti, approfitto ancora una volta della vostra generosità per questo esercizio: Sia $f_n:RR^2rarrRR$ la successione di funzioni definita da $nsin^2(pisqrt(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(3/2)chi_(E_n)$ dove $E_n={(x,y)inRR^2: n<=sqrt(x^2+y^2)<=n+1}$ Mi si chiede se è valida la relazione $lim_n int_(RR^2) f_ndxdy=int_(RR^2) lim_n f_n dxdy$, e se la funzione $F(x,y)=sum^(+oo) f_n$ è sommabile su $RR^2$. Allora, procedendo con il primo punto: mi sembra d'obbligo il passaggio alle coordinate polari, per cui l'integranda diventa $(nsin^2(pirho))/rho^3$, e le coppie ...

Ciao a tutti, non sono ancora sicuro che questa sia la sezione adatta per postare questo genere di esercizi, quindi mi affido ai moderatori per l'eventuale spostamento Detto questo, ho tra le mani un altro integrale: $lim_(nrarr+oo) int_0^(1/n^2) (n^(4/3)log(1+2x))/(x^(4/3)[1+n^(2n)(4x)^n])$ Il primo dubbio: al tendere di $n$ all'infinito, gli estremi dell'integrale tendono a sovrapporsi. Questo non dovrebbe implicarne l'annullamento? Inoltre, mi hanno insegnato che quando uno degli estremi dell'integrale dipende da ...

Buonasera a tutti! Volevo chiedere un aiuto a chi ne sa più di me. Devo affrontare l'esame di metodi matematici per l'ingegneria e, malgrado abbia capito la teoria, mi risulta veramente difficile affrontare gli esercizi. Volevo chiedervi se conoscete qualche dispensa/libro (anche in inglese) che affronti gli argomenti di metodi (serie e trasformate di fourier, trasformata di laplace , distribuzioni, distribuzioni temperate) con degli esercizi in modo chiaro, in modo da poter capire dove ...

Perchè se una funzione è dotata di primitive,allora è sicuramente olomorfa?

Salve a tutti, circa questo esercizio: $ y'-2y=-e^x $ con $y(0)=2$ Risolvendo mi è venuto $ L[y] = (2s-3)/((s-2)(s-1)) $ è corretto? Perchè successivamente $ y = 7/3e^(2t)+5/3e^t $ solo che il libro riporta la stessa soluzione ma con coefficienti uguali ad uno. Non riesco a capire quale sia il problema. I miei passaggi sono stati i seguenti: $ L[y']-2L[y]=-L[e^x]rarr sL[y]-2-2L[y]=-1/(s-1) rarr L[y] = (2s-3)/((s-2)(s-1))$ $ A/(s-2)+B/(s-1) $ con $ A=7/3 $ e $ B=5/3 $ Grazie.

Avrei bisogno di una mano per il seguente esercizio. Siano $ x_0 \in\[0,1] $, $ A=\{(1+i\alpha)\delta_{x_0}:\ \alphain[0,2]\} $. Stabilire se A è chiuso, debolmente chiuso, compatto, debolmente compatto. La mia idea sarebbe quello di utilizzare l'applicazione $ f:\ \mathbb{C}\rightarrowM\text{(}[0,1]\text{)} $ tale $f(c)=c\delta_{x_0}$ dove $M\text{(}[0,1]\text{)} $ denota lo spazio delle misure complesse sui boreliani di $[0,1]$. Questa applicazione è lineare. E' continua?? Spererei che sia un'isomorfismo isometrico. Se così fosse l'esercizio dovrei ...

Avendo la seguente eq. differenziale: $x''(t) - 4x'(t) + x(t) = 1 - H(t-1)$ con $x(0) = x'(0) = 0$ applico la trasformata di Laplace e ottengo: $p^2X(p) - 4X(p) + X(p) = 1/p - e^(-p)/p$ Quindi isolando $X(P)$ ottengo che per avere $x(t)$ facendo l'antitrasformata dovrò calcolare i Residui di: $e^(pt)/(p(p^2 - 4p + 1)) - (e^(pt)e^(-p))/(p(p^2 - 4p +1))$ che saranno in $(0, 2+sqrt(3), 2-sqrt(3))$ In 0 come si vede il residuo verrebbe zero e nelle altre due singolarità una certa "formula". Avendo la funzione gradino, io ho sempre fatto che "shiftavo" il risultato di ...

Problema. Per \( f \in L^\infty ([0,1]) \) provare che \[ \lim_{n \to \infty} (n+1) \int_0^1 t^n f(t) \, dt =0 \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{r \to 1^-} \frac{1}{1-r} \int_r^1 f(t) \, dt =0. \] La direzione "facile" dovrebbe essere \( \Longrightarrow \), ma non ho idea di come si faccia. Per funzioni \( C^1\) (o continue) sono facili entrambe le direzioni, ma se si passa ad approssimare \(f\) in \(L^p\) con una successione di funzioni regolari non si riesce a concludere. Sarei ...

Ciao a tutti! Sto facendo un esercizio (molto semplice) sulla trasformata di Fourier, dove secondo me la soluzione fornita dal docente non è corretta. Secondo voi quant'è il coeff a0 ? Grazie mille a tutti!

Ciao ragazzi, mi è capitato di incontrare questo esercizio, da risolvere con il calcolo dei residui. Mi viene chiesto di calcolare l'integrale curvilineo lungo la frontiera di una circonferenza con centro in 0 e di raggio r=4 della seguente funzione: $ (z*e^(1/(z^2-z-2)))/(z^2-25) $ Le singolarità in 5 e -5 non posso considerarle, poiché sono fuori dalla circonferenza. Ora considero l'esponente al numeratore, e trovo le due singolarità in -1 e 2, che risultano essere singolarità ESSENZIALI, e di ...

Come avrete notato in questi giorni sono alle prese con integrali e valor principale. Non sono certo della correttezza del seguente esercizio: Una volta calcolato $ int_(0)^(+infty) 1/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx $ , calcolare $ int_(0)^(+infty) log(x)/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx $ Svolgimento: Considero il logaritmo principale, definito da $log(z)=log(|z|) + i*Arg(z)$, con $Arg(z) \in [-pi,pi]$. Considero un circuito come in figura. NOTA: Il $C_r$ in figura lo chiamo $C_epsilon$ Per il teorema dei ...

Salve, vi scrivo per chiedervi una mano nella risoluzione del seguente esercizio Sia $ f(z)=1/((z^3-1)cos(pi /2z)) $ Calcolati i punti singolari che dovrebbero essere • $ z_1=1 $ polo del secondo ordine • $ z_2=(-1+-isqrt(3) )/2 $ poli del primo ordine • $ z_3=1+2k , kin mathbb(Z) ,k!= 0 $ poli del primo ordine A questo punto, sia $ gamma $ la frontiera del semicerchio con centro in 0 e raggio 4 contenuto nel semipiano $ \mathfrak(R) (z)>0 $ , l'esercizio richiede di calcolare l'integrale ...

Salve a tutti, sto cercando di risolvere il seguente esercizio di analisi complessa Calcolare, al variare di $w \in RR$, $int_{-infty}^{infty} cos(wx)/((x^2+9)(x−1))dx$ In che senso è da intendersi tale integrale? Il mio dubbio, oltre alla correttezza dell'esercizio, è anche su come lasciare i risultati per ogni caso: vanno bene così oppure conviene cercare la parte reale (che è effettivamente il risultato)? Svolgimento: Tale integrale, vista la presenza di poli semplici, è da ...

Ciao ragazzi, la prof ha assegnato il seguente come esercizio banale: Dimostrare che ogni aperto non vuoto di $ R^n $ ha misura esterna maggiore di zero. Ci sto sopra da qualche giorno e ancora non sono riuscito a trovare una strada. Ho provato sia per assurdo che tramite ricoprimenti ad hoc, sempre sfruttando la proprietà che in un aperto ogni punto è interno.. però, niente, non ci sono riuscito. Qualcuno può darmi una mano?

Dovrei risolvere questo integrale con il metodo dei residui: $\int_{0}^{2\pi} 1/(5-3*cosx)^2 dx$ Cerchiamo di vederlo su $S^1$ $z=e^(it)=cost+i*sent$ $\bar z=e^(-it)=1/z$ $cost=Re(z)=1/2*Re(z+\bar z)=1/2*(z+1/z)=(z^2+1)/(2z)$ $dt=-i*1/z dz$ Quindi posso vedere l'integrale come: $\int_{\gamma} 1/(5-(3z^2+3)/(2z))^2*(-i)*1/z dz$ dove $\gamma={e^(i\theta), \theta in [0,2pi]}$ $=\int_{\gamma} (4z^2)/(10z-3z^2-3)^2*(-i)*1/z dz = -i \int_{\gamma} (4z)/(3z^2-10z+3)^2 dz$ Il denominatore ha due zeri, entrambi di ordine 2: $z_1=1/3$ (interno alla curva), $z_2=3$ (esterno alla curva) $(4z)/(3z^2-10z+3)^2=1/(z-1/3)^2*(4z)/(z-3)^2$ Il secondo fattore è una funzione olomorfa intorno a ...

Sia $f(z)=z^2/(z^2+1)$ a) Determinare la seie di Laurent di $f$ intorno al punto $z=i$ b)Determinare il tipo di singolarità di $f$ all'$oo$ Vorrei una conferma su questo esercizio se è possibile. a)$1/(z+i)=1/(2i+z-i)=1/(2i(1-(-(z-i)/(2i))))=1/(2i)\sum_{n=0}^oo (-1)^n((z-i)/(2i))^n$ $f(z)=1-1/(z^2+1)=1-1/((z-i)(z+i))=$ $=1+\sum_{n=0}^oo (-1)^(n+1)(z-i)^(n-1)/(2i)^(n+1)=1-(z-i)^(-1)/(2i)+1/(2i)+\sum_{n=0}^oo (-1)^(n+1)(z-i)^(n+1)/(2i)^(n+3)=$ $=-(z-i)^(-1)/(2i)+1-i/2+\sum_{n=0}^oo (-1)^(n+1)(z-i)^(n+1)/(2i)^(n+3)$ Mi puzza un po' il fatto del termine $a_0$...non dovrebbe venire $i/2$? Però almeno il fatto che il punto $z=i$ è un polo di ordine 1 mi ...

Buongiorno ragazzi, in pratica l'integrale in questione è : $\int_(+deltaD) [(z)sen(1/z)cos(1/(z-1))]/(z-3) dz$ dove D è il rettangolo: $D={(-1-i),(-1+i),(2-i),(2+i)}$ Ora quando vado a considerare le singolarità, ottengo $z_0 = 3$ polo del primo ordine che però non rientra nella regione di piano. Come procedo? Calcolo le singolarità essenziali del numeratore e applico il secondo teorema dei residui(res.infinito + res.al finito)? In questo caso quando vado a calcolare il residuo all'infinito $Res(f(z), infty)=Res(g(omega),0)$ con ...

Ciao ragazzi, ho bisogno del vostro aiuto. Non riesco a impostare il seguente integrale, qualcuno può aiutarmi? $ int_{+delD}z/sin^3(z/2) dz $ dove $ D={zinC : |z|<=1} $ Ho difficoltà del capire come "semplificare" quel seno per poterne calcolare i poli.

Buon pomeriggio a tutti, sto affrontando lo studio dei punti di ramificazione e il calcolo di integrali in presenza di tali punti. Avrei bisogni di sapere se il mio ragionamento nel calcolo di tali integrali è corretto. Gli esercizi e la teoria sono del libro Complex Analysis - Mathews, Howell. "Exercise": Compute the following integral using residues: $ int_(0)^(infty) dx/(x^(2/3)*(1+x)) $ Nel libro c'è una formula per questa specie di integrali, tuttavia a lezione non l'abbiamo mai ...

Salve a tutti, la mia problematica riguarda la correttezza o meno di un ragionamento che vado ora ad esporre. Siano $x=(x_n)_(n\in\mathbb{N})\in l_p$ e $y=(y_n)_(n\in\mathbb{N})\in l_q$ con $p$ e $q$ esponenti coniugati. Supponiamo che $\sum_{n=1}^{+infty}\abs{x_i}^p=1=\sum_{n=1}^{+infty}\abs{y_i}^q$. Ora, sappiamo che vale la seguente disuguaglianza $\foralln\in\mathbb{N}$ \[ |x_{n}y_{n}|\le\frac{|x_n|^p}{p}+\frac{|y_n|^q}{q}. \] Sui libri di testo, a questo punto della trattazione, si trova la seguente ...