Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Perchè se una funzione è dotata di primitive,allora è sicuramente olomorfa?
Salve a tutti,
circa questo esercizio:
$ y'-2y=-e^x $ con $y(0)=2$
Risolvendo mi è venuto $ L[y] = (2s-3)/((s-2)(s-1)) $ è corretto?
Perchè successivamente $ y = 7/3e^(2t)+5/3e^t $ solo che il libro riporta la stessa soluzione ma con coefficienti uguali ad uno.
Non riesco a capire quale sia il problema.
I miei passaggi sono stati i seguenti:
$ L[y']-2L[y]=-L[e^x]rarr sL[y]-2-2L[y]=-1/(s-1) rarr L[y] = (2s-3)/((s-2)(s-1))$
$ A/(s-2)+B/(s-1) $ con $ A=7/3 $ e $ B=5/3 $
Grazie.
Avrei bisogno di una mano per il seguente esercizio.
Siano $ x_0 \in\[0,1] $, $ A=\{(1+i\alpha)\delta_{x_0}:\ \alphain[0,2]\} $. Stabilire se A è chiuso, debolmente chiuso, compatto, debolmente compatto.
La mia idea sarebbe quello di utilizzare l'applicazione $ f:\ \mathbb{C}\rightarrowM\text{(}[0,1]\text{)} $ tale $f(c)=c\delta_{x_0}$ dove $M\text{(}[0,1]\text{)} $ denota lo spazio delle misure complesse sui boreliani di $[0,1]$.
Questa applicazione è lineare. E' continua??
Spererei che sia un'isomorfismo isometrico.
Se così fosse l'esercizio dovrei ...
Avendo la seguente eq. differenziale: $x''(t) - 4x'(t) + x(t) = 1 - H(t-1)$ con $x(0) = x'(0) = 0$
applico la trasformata di Laplace e ottengo: $p^2X(p) - 4X(p) + X(p) = 1/p - e^(-p)/p$
Quindi isolando $X(P)$ ottengo che per avere $x(t)$ facendo l'antitrasformata dovrò calcolare i Residui di:
$e^(pt)/(p(p^2 - 4p + 1)) - (e^(pt)e^(-p))/(p(p^2 - 4p +1))$ che saranno in $(0, 2+sqrt(3), 2-sqrt(3))$
In 0 come si vede il residuo verrebbe zero e nelle altre due singolarità una certa "formula".
Avendo la funzione gradino, io ho sempre fatto che "shiftavo" il risultato di ...
Problema. Per \( f \in L^\infty ([0,1]) \) provare che \[ \lim_{n \to \infty} (n+1) \int_0^1 t^n f(t) \, dt =0 \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{r \to 1^-} \frac{1}{1-r} \int_r^1 f(t) \, dt =0. \]
La direzione "facile" dovrebbe essere \( \Longrightarrow \), ma non ho idea di come si faccia. Per funzioni \( C^1\) (o continue) sono facili entrambe le direzioni, ma se si passa ad approssimare \(f\) in \(L^p\) con una successione di funzioni regolari non si riesce a concludere. Sarei ...
Ciao ragazzi, mi è capitato di incontrare questo esercizio, da risolvere con il calcolo dei residui.
Mi viene chiesto di calcolare l'integrale curvilineo lungo la frontiera di una circonferenza con centro in 0 e di raggio r=4 della seguente funzione:
$ (z*e^(1/(z^2-z-2)))/(z^2-25) $
Le singolarità in 5 e -5 non posso considerarle, poiché sono fuori dalla circonferenza.
Ora considero l'esponente al numeratore, e trovo le due singolarità in -1 e 2, che risultano essere singolarità ESSENZIALI, e di ...
Come avrete notato in questi giorni sono alle prese con integrali e valor principale. Non sono certo della correttezza del seguente esercizio:
Una volta calcolato $ int_(0)^(+infty) 1/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx $ , calcolare
$ int_(0)^(+infty) log(x)/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx $
Svolgimento:
Considero il logaritmo principale, definito da $log(z)=log(|z|) + i*Arg(z)$, con $Arg(z) \in [-pi,pi]$.
Considero un circuito come in figura. NOTA: Il $C_r$ in figura lo chiamo $C_epsilon$
Per il teorema dei ...
Salve, vi scrivo per chiedervi una mano nella risoluzione del seguente esercizio
Sia $ f(z)=1/((z^3-1)cos(pi /2z)) $
Calcolati i punti singolari che dovrebbero essere
• $ z_1=1 $ polo del secondo ordine
• $ z_2=(-1+-isqrt(3) )/2 $ poli del primo ordine
• $ z_3=1+2k , kin mathbb(Z) ,k!= 0 $ poli del primo ordine
A questo punto, sia $ gamma $ la frontiera del semicerchio con centro in 0 e raggio 4 contenuto nel semipiano $ \mathfrak(R) (z)>0 $ , l'esercizio richiede di calcolare l'integrale ...
Salve a tutti, sto cercando di risolvere il seguente esercizio di analisi complessa
Calcolare, al variare di $w \in RR$,
$int_{-infty}^{infty} cos(wx)/((x^2+9)(x−1))dx$
In che senso è da intendersi tale integrale?
Il mio dubbio, oltre alla correttezza dell'esercizio, è anche su come lasciare i risultati per ogni caso: vanno bene così oppure conviene cercare la parte reale (che è effettivamente il risultato)?
Svolgimento:
Tale integrale, vista la presenza di poli semplici, è da ...
Ciao ragazzi, la prof ha assegnato il seguente come esercizio banale:
Dimostrare che ogni aperto non vuoto di $ R^n $ ha misura esterna maggiore di zero.
Ci sto sopra da qualche giorno e ancora non sono riuscito a trovare una strada.
Ho provato sia per assurdo che tramite ricoprimenti ad hoc, sempre sfruttando la proprietà che in un aperto ogni punto è interno.. però, niente, non ci sono riuscito. Qualcuno può darmi una mano?
Dovrei risolvere questo integrale con il metodo dei residui:
$\int_{0}^{2\pi} 1/(5-3*cosx)^2 dx$
Cerchiamo di vederlo su $S^1$
$z=e^(it)=cost+i*sent$
$\bar z=e^(-it)=1/z$
$cost=Re(z)=1/2*Re(z+\bar z)=1/2*(z+1/z)=(z^2+1)/(2z)$
$dt=-i*1/z dz$
Quindi posso vedere l'integrale come:
$\int_{\gamma} 1/(5-(3z^2+3)/(2z))^2*(-i)*1/z dz$ dove $\gamma={e^(i\theta), \theta in [0,2pi]}$
$=\int_{\gamma} (4z^2)/(10z-3z^2-3)^2*(-i)*1/z dz = -i \int_{\gamma} (4z)/(3z^2-10z+3)^2 dz$
Il denominatore ha due zeri, entrambi di ordine 2: $z_1=1/3$ (interno alla curva), $z_2=3$ (esterno alla curva)
$(4z)/(3z^2-10z+3)^2=1/(z-1/3)^2*(4z)/(z-3)^2$
Il secondo fattore è una funzione olomorfa intorno a ...
Sia $f(z)=z^2/(z^2+1)$
a) Determinare la seie di Laurent di $f$ intorno al punto $z=i$
b)Determinare il tipo di singolarità di $f$ all'$oo$
Vorrei una conferma su questo esercizio se è possibile.
a)$1/(z+i)=1/(2i+z-i)=1/(2i(1-(-(z-i)/(2i))))=1/(2i)\sum_{n=0}^oo (-1)^n((z-i)/(2i))^n$
$f(z)=1-1/(z^2+1)=1-1/((z-i)(z+i))=$
$=1+\sum_{n=0}^oo (-1)^(n+1)(z-i)^(n-1)/(2i)^(n+1)=1-(z-i)^(-1)/(2i)+1/(2i)+\sum_{n=0}^oo (-1)^(n+1)(z-i)^(n+1)/(2i)^(n+3)=$
$=-(z-i)^(-1)/(2i)+1-i/2+\sum_{n=0}^oo (-1)^(n+1)(z-i)^(n+1)/(2i)^(n+3)$
Mi puzza un po' il fatto del termine $a_0$...non dovrebbe venire $i/2$? Però almeno il fatto che il punto $z=i$ è un polo di ordine 1 mi ...
Buongiorno ragazzi, in pratica l'integrale in questione è :
$\int_(+deltaD) [(z)sen(1/z)cos(1/(z-1))]/(z-3) dz$ dove D è il rettangolo: $D={(-1-i),(-1+i),(2-i),(2+i)}$
Ora quando vado a considerare le singolarità, ottengo $z_0 = 3$ polo del primo ordine che però non rientra nella regione di piano.
Come procedo?
Calcolo le singolarità essenziali del numeratore e applico il secondo teorema dei residui(res.infinito + res.al finito)?
In questo caso quando vado a calcolare il residuo all'infinito $Res(f(z), infty)=Res(g(omega),0)$ con ...
Ciao ragazzi, ho bisogno del vostro aiuto. Non riesco a impostare il seguente integrale, qualcuno può aiutarmi?
$ int_{+delD}z/sin^3(z/2) dz $
dove $ D={zinC : |z|<=1} $
Ho difficoltà del capire come "semplificare" quel seno per poterne calcolare i poli.
Buon pomeriggio a tutti,
sto affrontando lo studio dei punti di ramificazione e il calcolo di integrali in presenza di tali punti. Avrei bisogni di sapere se il mio ragionamento nel calcolo di tali integrali è corretto. Gli esercizi e la teoria sono del libro Complex Analysis - Mathews, Howell.
"Exercise":
Compute the following integral using residues:
$ int_(0)^(infty) dx/(x^(2/3)*(1+x)) $
Nel libro c'è una formula per questa specie di integrali, tuttavia a lezione non l'abbiamo mai ...
Salve a tutti, la mia problematica riguarda la correttezza o meno di un ragionamento che vado ora ad esporre.
Siano $x=(x_n)_(n\in\mathbb{N})\in l_p$ e $y=(y_n)_(n\in\mathbb{N})\in l_q$ con $p$ e $q$ esponenti coniugati.
Supponiamo che $\sum_{n=1}^{+infty}\abs{x_i}^p=1=\sum_{n=1}^{+infty}\abs{y_i}^q$.
Ora, sappiamo che vale la seguente disuguaglianza $\foralln\in\mathbb{N}$
\[
|x_{n}y_{n}|\le\frac{|x_n|^p}{p}+\frac{|y_n|^q}{q}.
\]
Sui libri di testo, a questo punto della trattazione, si trova la seguente ...
Pochi giorni fa ho dato l'esame di Analisi II e mi sono imbattuta in questo esercizio, che non avevo mai visto e subito infatti mi sono bloccata :
Si verichi che $sin(mx)$, $cos(nx)$ e le funzioni costanti sono ortogonali tra di loro in $L^2(-\pi,\pi)$, per ogni n,m $in$ $NN$.
L'unica cosa che mi viene da pensare è che potrei fare un prodotto scalare tra le due funzioni visto che mi chiede l'ortogonalità, ma non credo che sia questa la soluzione...
Buon pomeriggio a tutti,
ho svolto il seguente esercizio, spero con profitto.
Classificare le singolarità isolate sulla sfera di Riemann $\mathbb{C} \cup {\infty}$ della funzione $f(z)=(e^(1/z) - e)/(z^3 - z^2)$, e calcolarne i residui corrispondenti
Svolgimento:
Ho pensato fosse opportuno scrivere la funzione come $f(z)=(e^(1/z))/(z^3-z^2) - (e)/(z^3-z^2)=g(z)-h(z)$ e usare il fatto che il residuo della differenza è la differenze del residuo .
Tratto prima la $g(z)$ e poi la $h(z)$.
La ...
Salve vi scrivo per dei chiarimenti riguardanti il seguente esercizio:
Dunque l'esercizio si divide in due parti, nella prima si richiede di calcolare la trasformata di Laplace della soluzione del problema di Cauchy
$ { ( u''-u=e^tchi _([0;1])(t) rArr t>=0),( u(0)=0),( u'(0)=1 ):} $
Se ho effettuato correttamente i calcoli il risultato dovrebbe essere
$ \mathcal(L) <span class="b-underline">(z)= (e^(1-z)-z)/((1-z)(z^2-1)) $
A questo punto la seconda parte dell'esercizio richiede di scrivere l'espressione di u
Quindi procedo nell'antitrasformare la funzione ottenuta, per farlo procedo nella ...
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