Teorema della divergenza e teoria della misura
Buonasera a tutti; in questo semestre ho iniziato a seguire due corsi sulle edp e su calcolo delle variazioni-teoria geometrica della misura. In entrambi si fa largo uso della seguente formula di integrazione per parti
Teorema
Sia $\Omega \subset RR^n$ un aperto, limitato e connesso con frontiera lipschitziana. Sia $f \in H^1(\Omega)$ e \( \pmb{v} \in H^1(\Omega; \mathbb{R}^n) \) allora
\[ \int_{\Omega} \nabla u \cdot \pmb{v} \,\,d\pmb{x} = -\int_{\Omega} u \,\text{div}(\pmb{v}) \,\, d\pmb{x} + \int_{\partial \Omega} u \pmb{v} \cdot \pmb{\nu} \,\,d\pmb{\sigma} \]
dove \( \pmb{\nu} \) è la normale uscente da \( \partial \Omega \) e nel terzo integrale $u$ e \( \pmb{v} \) sono da intendersi nel senso delle tracce.
Ora, mentre i primi due integrali sono integrali secondo Lebesgue che comprendo senza problemi, cosa è la terza cosa? Rispetto a che misura sto integrando? Non può essere quella di Lebesgue $n$-dimensionale perché \( \partial \Omega \) ha misura nulla.
La dimostrazione della formula si poggia sulla stessa formula nel caso di funzioni definite puntualmente. Esiste invece una dimostrazione che sfrutti gli strumenti di teoria della misura, teoria delle distribuzioni e compagnia bella?
Il fatto è che le dimostrazioni del teorema della divergenza come lo ho viste io in analisi 2 erano fatte sempre con domini e funzioni "bellissime" ed erano in ogni caso piuttosto approssimative... insomma mi hanno sempre lasciato insoddisfatto. Ora che sono "grande" e so un po' di cose in più mi piacerebbe avere qualche dimostrazione "pulita" di questi fatti con un punto di vista un po' superiore.
Teorema
Sia $\Omega \subset RR^n$ un aperto, limitato e connesso con frontiera lipschitziana. Sia $f \in H^1(\Omega)$ e \( \pmb{v} \in H^1(\Omega; \mathbb{R}^n) \) allora
\[ \int_{\Omega} \nabla u \cdot \pmb{v} \,\,d\pmb{x} = -\int_{\Omega} u \,\text{div}(\pmb{v}) \,\, d\pmb{x} + \int_{\partial \Omega} u \pmb{v} \cdot \pmb{\nu} \,\,d\pmb{\sigma} \]
dove \( \pmb{\nu} \) è la normale uscente da \( \partial \Omega \) e nel terzo integrale $u$ e \( \pmb{v} \) sono da intendersi nel senso delle tracce.
Ora, mentre i primi due integrali sono integrali secondo Lebesgue che comprendo senza problemi, cosa è la terza cosa? Rispetto a che misura sto integrando? Non può essere quella di Lebesgue $n$-dimensionale perché \( \partial \Omega \) ha misura nulla.
La dimostrazione della formula si poggia sulla stessa formula nel caso di funzioni definite puntualmente. Esiste invece una dimostrazione che sfrutti gli strumenti di teoria della misura, teoria delle distribuzioni e compagnia bella?
Il fatto è che le dimostrazioni del teorema della divergenza come lo ho viste io in analisi 2 erano fatte sempre con domini e funzioni "bellissime" ed erano in ogni caso piuttosto approssimative... insomma mi hanno sempre lasciato insoddisfatto. Ora che sono "grande" e so un po' di cose in più mi piacerebbe avere qualche dimostrazione "pulita" di questi fatti con un punto di vista un po' superiore.
Risposte
"Bremen000":
[...] Ora, mentre i primi due integrali sono integrali secondo Lebesgue che comprendo senza problemi, cosa è la terza cosa? [...]
E' una misura di superficie. Dei primi riferimenti possono essere la pagina di wiki e questo thread su math.se (altrimenti qualsiasi testo di Geometria Riemanniana, e forse anche Analisi Due di De Marco la definisce con tutti i crismi).
Ciao Delirium, ti ringrazio per la risposta. Ho letto pagina e thread! Dovrei fare qualcosa di geometria differenziale all'università ma, in ogni caso, volevo dare uno sguardo a un libro di questo tipo, come consigliavi. Hai qualche indicazione specifica in questo senso?
Se il bordo di $\Omega$ è sufficientemente regolare, allora $text{d}sigma$ è una misura di superficie che generalizza quella definita per le classiche superfici regolari in $RR^3$ (tecnicamente, e detto alla buona, si sfruttano le parametrizzazioni locali per costruirsi dei fattori di scala tipo $|N(u,v)|$ da infilare dentro gli integrali calcolati sui domini base delle parametrizzazioni).
Se il bordo non è troppo carino, invece, si sfruttano misure definite appositamente, tipo la misura di Hausdorff.
Su queste questioni potresti trovare utile il testo di Evans & Gariepy, “Measure Theory and Fine Properties of Functions”.
Se il bordo non è troppo carino, invece, si sfruttano misure definite appositamente, tipo la misura di Hausdorff.
Su queste questioni potresti trovare utile il testo di Evans & Gariepy, “Measure Theory and Fine Properties of Functions”.
Ciao gugo, grazie mille anche a te per la riposta. Vedrò di dare un'occhiata al testo di Evans (di cui ho già sfruttato "Partial differential equations")!
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