Dimostrazione sviluppo in serie di Laurent, passaggio non chiaro

[siddy98]

Studiando la dimostrazione dello sviluppo in serie di Laurent che fa Gianni Gilardi nel suo Analisi 3, sono incorso in un passaggio che non riesco a giustificare. Riporto il testo:

Siano $\Omega \sube \mathbb{C} $ un aperto, $z_0$ un punto di $\Omega$, $f$ una funzione olomorfa in $\Omega -{z_0}$ e $R>0$ tale che il disco $B_R (z_0)$ sia incluso in $\Omega$. [...] si scelgano $r'$ e $r''$ tali che $0

(Con $C_r (a)$ si indica la circonferenza di raggio $r$ e centro $a$).

Non capisco da dove venga quella uguaglianza tra integrali. Cosa mi sfugge?

[Studente Anonimo]

Considerando l'immagine sottostante:

la funzione della variabile $\xi$:

$f(\xi)/(\xi-z)$

è, per ipotesi, olomorfa all'interno del cerchio di raggio r'' privato dei due cerchi interni. Quindi:

$\int_{C_(r'')}f(\xi)/(\xi-z)d\xi+\int_{C_(r')}f(\xi)/(\xi-z)d\xi+\int_{C_(\epsilon)}f(\xi)/(\xi-z)d\xi=0$

con la circonferenza di raggio r'' orientata in senso antiorario e le altre due in senso orario. Per questo motivo:

$\int_{C_(\epsilon)}f(\xi)/(\xi-z)d\xi=\int_{C_(r'')}f(\xi)/(\xi-z)d\xi-\int_{C_(r')}f(\xi)/(\xi-z)d\xi$

con le tre circonferenze orientate in senso antiorario.

[siddy98]

Ciao, ti ringrazio innanzitutto per la risposta, ma hai semplicemente ripetuto quello che era scritto sul libro, mentre a me manca il passaggio intermedio di cui non fa menzione. Non capisco da dove si ricavi quella uguaglianza. Ho capito che le funzioni sono olomorfe, e quindi? Come si deduce che quella somma di integrali dà 0?

[Studente Anonimo]

Si tratta della generalizzazione ai domini molteplicemente connessi del teorema integrale di Cauchy:

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_i ... _di_Cauchy

[dissonance]

"siddy98":Ciao, ti ringrazio innanzitutto per la risposta, ma hai semplicemente ripetuto quello che era scritto sul libro

Eh no, invece @anonymous_0b37e9 ha proprio centrato il punto, con una ottima risposta. Il fatto che l'integrale di una funzione olomorfa sul bordo del suo dominio si annulli è il fondamentale più fondamentale dell'analisi complessa. Tutti i teoremi gira e volta si riducono a quello.

[siddy98]

"dissonance":[quote="siddy98"]Ciao, ti ringrazio innanzitutto per la risposta, ma hai semplicemente ripetuto quello che era scritto sul libro

Eh no, invece @anonymous_0b37e9 ha proprio centrato il punto, con una ottima risposta. Il fatto che l'integrale di una funzione olomorfa sul bordo del suo dominio si annulli è il fondamentale più fondamentale dell'analisi complessa. Tutti i teoremi gira e volta si riducono a quello.[/quote]

Il mio dubbio sorgeva dal fatto che questo teorema sul Gilardi non c'è (o forse lo enuncia più avanti). Ha dimostrato che, per una funzione olomorfa su un aperto stellato, si annulla l'integrale di qualsiasi circuito contenuto contenuto in tale aperto. Un disco privato del centro non credo (sbaglio?) sia stellato.

[Studente Anonimo]

"siddy98":
Un disco privato del centro non credo sia stellato ...

Hai ragione, non è stellato.

"dissonance":
Il fatto che l'integrale di una funzione olomorfa sul bordo del suo dominio si annulli è il fondamentale più fondamentale dell'analisi complessa.

Così fondamentale che l'avevo dato per scontato.

[siddy98]

Dovrei aver risolto l'arcano comunque. Si trattava di dividere l'insieme incriminato in due pezzi A e B stellati, "tagliandolo" con la retta che congiunge i due centri. A questo punto l'integrale sul bordo eguaglia quello sull'unione dei bordi di A e B, che è nullo perché A e B sono appunto stellati.

[Studente Anonimo]

"siddy98":
... dividere l'insieme incriminato in due pezzi A e B stellati, "tagliandolo" con la retta che congiunge i due centri ...

Tuttavia, dimostrare che A e B sono stellati qualunque sia la posizione reciproca delle tre circonferenze non mi sembra così intuitivo.

[siddy98]

"anonymous_0b37e9":
Tuttavia, dimostrare che A e B sono stellati qualunque sia la posizione reciproca delle tre circonferenze non mi sembra così intuitivo.

Hai ragione; anzi mi sa che non sono stellati. Però graficamente si vede facilmente che sono inclusi in un insieme semplicemente connessi, e questo mi basterebbe.

Comunque, giusto per chiarezza aggiungo un'immagine che mostra cosa intendevo nell'intervento precedente:



A e B sono le porzioni a destra e a sinistra rispettivamente.

[Studente Anonimo]

"siddy98":
A e B sono le porzioni a destra e a sinistra rispettivamente.

Avevo capito a quali insiemi ti stessi riferendo.

"anonymous_0b37e9":
Però graficamente si vede facilmente che sono inclusi in un insieme semplicemente connesso ...

Su questo siamo d'accordo.