Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Oggi ho sentito parlare di un concetto interessante, si parte da un insieme $E$ misurabile secondo Lebesgue contenuto in un qualche $[a,b]\subRR$ a questo punto si può considerare la funzione $m_E:[a,b]->RR$ con $m_E(x)=\int_{a}^x\chi_Ed\mu$ dove l'integrale in questione è di Lebesgue, questa funzione si chiama mensurale di $E$ (non ho ben capito se sia un nome maschile o femminile), però ho provato a cercare su internet ma non ho trovato niente, per caso sapete se sia ...
In un corso di metodi matematici (faccio ingegneria) hanno nominato gli spazi di Hilbert e, tra questi, lo spazio $ l^2 $. Spulciando un po' in giro e su qualche libro in biblioteca mi si è aperto un mondo davvero affascinante che non mi spiacerebbe tentare di esplorare un po'. Subito però mi sono trovato alle prese con il significato "concreto" di questi spazi $ l^2 $. La dimostrazione del perché sono completi, per dire, credo di averla afferrata, ma concretamente non ...
Vorrei chiedervi come risolvereste questo esercizio:
Sia $\Omega=(-1,0)\cup(0,1)$ e sia
\[
u(x):=
\begin{cases}
1 \quad x>0\\
0 \quad x
Buongiorno a tutti, cercavo di descrivere l'analiticità della funzione
$ f(z)=1/(z(z-1)sin(pi/z) $
In particolare nel punto z = 0. So che in questo punto la funzione $ sin(pi/z) $ ha una singolarità essenziale, ma come si riflette questo sulla funzione f(z) iniziale? Ho sviluppato in serie di potenze il denominatore ottenendo
$ z(z-1)sin(pi/z)=(z^2-z)sin(pi/z)=(z^2-z)sum_(k = \0)^(oo )(-1)^kpi^(2k+1)/((2k+1)!)(1/z)^(2k+1) $
ma quando inserisco questo in f(z) non riesco comunque a capire il comportamento della funzione. Ho pensato allora che avrei dovuto calcolare ...
Salve a tutti, avrei bisogno di sapere se è vero quello che è riportato di seguito e, in caso affermativo, vorrei capire come ci si arriva:
$ Z[x(n+1)]=z*X(z)-z*X(0) $
e
$ Z[x(n+2)]=z^2*X(z)-z^2*X(0)-z*X(1) $
I miei dubbi originano dal fatto che dalle mie ricerche so soltanto che:
$ Z[x(n-n0)]=z^(-no)*X(z) $
in quanto
$n-n0=m$
$ sum_(n = 0) z^(-n)x(n-no)=sum_(m = \-n0) x(m)z^(-m-n0)=z^(-no)sum_(m = 0) x(m)z^(-m)=z^(-no)*X(z) $
Pertanto non riesco a capire perché risulti ciò che ho scritto all'inizio (ammesso che sia vero) e sarei molto grato se qualcuno potesse darmi dei chiarimenti.
Buongiorno a tutti.
Mi trovo a dover affrontare questo problema (PDE da risolvere con il metodo della separazione delle variabili).
${ ( (partial^2 u)/(partial t^2)-(partial^2 u)/(partial x^2) =0 ),( u(x,0)=x(pi^2-x^2 )),( (partialu)/(partial t)(x,0)=3cos(3/2 x) ),( u(-pi,t)=u(pi,t)=0 ):}$
Con $x \in (-pi,pi)$ e $t\ge0$.
Ho iniziato a cercare le soluzioni nella forma:
$U(x,t)=X(x)T(t)$
Ed imponendo le condizioni al contorno fornite ottengo:
$U(-pi,t)=X(-pi)T(t)=0$
$U(pi,t)=X(pi)T(t)=0$
Ovviamente, per evitare la soluzione banale ($T(t)=0$), applicando la legge di annullamento del prodotto ...
Salve, come da titolo, vorrei chiarire dei dubbi circa l'equazione di Dirichlet nel cerchio
$ { ( Delta u=0 ),( u=g):} $
La prima equazione vale su $B={z \in \mathbb{C}: |z| <1}$, mentre la seconda vale su $partialB$.
Indicherò tra parentesi quadre [ ] ciò che mi "turba".
Il problema di Dirichlet è ben posto
Se $u$ è soluzione del problema, allora deve essere necessariamente $u \in C^2(B) \cap C^{0}(\bar(B_1))$, cioè al bordo deve essere almeno continua. Inoltre, per definizione, $u$ è una funzione ...
Come si dimostra che, data una funzione $f:RR->RR$ (debolmente) crescente, l'insieme dei suoi punti di non derivabilità ha misura nulla (secondo Lebesgue)? (se è vero; mi sembra di averlo letto da qualche parte, ma potrei sbagliarmi)
So dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità è al più numerabile, e quindi in particolare ha misura nulla, ma non penso c'entri molto.
Sia $A ⊂ RR^n$ misurabile. Mostrare che $∀a ∈ [0, |A|]$ esiste un boreliano $B_a ⊂ A$ tale che $|B_a| = a$
Chi è in grado di insegnarmi qualche trucco su come lavorare formalmente con questo tipo di esercizi? Non ho soluzioni. Non so come prenderci la mano.
In questo caso, lo vedo che esiste il boreliano: posso sempre prendere un aperto contenuto in $A$ di qualsiasi misura compresa tra 0 e la misura di A (prendo A stesso in questo caso). Sembra così ovvio, ...
Mi si richiede si calcolare la trasformata di Laplace, dei seguenti:
\( L[(t^2+1)^2] \) ;
\( L[(cost-sent)^2] \) .
Insomma, vorrei capire quale sarebbe il teorema da applicare affinché possa risolvere in generale \( L[F(t)^n] \) .
Grazie.
Salve a tutti, sto riscontrando qualche problema con la risoluzione di questo integrale:
$ oint_(D) (e^z-1)/((z^5+2z^3+z)sinz)dz $ con $ D={z:|z-1/2j|<1} $
Passiamo direttamente al punto in cui mi sono bloccato. Uno dei punti singolari della funzione risulta essere $ j $ , che dovrebbe essere un polo di ordine 2.
Dunque per calcolarne il residuo dovrei risolvere il seguente limite:
$ lim_(z -> j) d/dz[(e^z-1)/((z^5+2z^3+z)sinz)(z-j)^2] $ -----> $ lim_(z -> j) d/dz[(e^z-1)/(z(z-j)^2(z+j)^2sinz)(z-j)^2] $
Ora, se il ragionamento è corretto, e se non ho commesso errori, la ...
Salve a tutti,
nel teorema di caratterizzazione dei punti singolari di una funzione olomorfa,
nel dimostrare che "se zo è un punto regolare di f,allora f converge in zo",
ho un dubbio:
f(z) sarà sviluppabile in serie di laurent nel disco bucato privato di zo di raggio Ro e la parte singolare è assente,
quindi $f(z)=\sum_{n=1}^infty an(z-zo)^n$
Adesso il libro dice che il raggio di convergenza della serie di potenze a destra è >= di Ro,ma il motivo quale sarebbe?
Ciao ciao, vi scrivo alcuni dubbi che mi sono venuti iniziando a studiare calcolo delle variazioni nella speranza che qualcuno possa chiarirmeli.
Indico con
\[
A:=\{u\in W^{1,q}\ : u=g \text{ su } \partial \Omega \text{ in senso traccia }\}.
\]
Sia $(u_k)$ una successione in $A$ e (per la coercività del funzionale energia) $(u_k)$ appartengono anche a una palla di centro $0$ e raggio opportuno $r$ (cioè ...
domanda:
lo spazio l2 è uno spazio di hilbert, ma in esso ci sono sempre infiniti elementi e quindi ha sempre dimensione infinita ?
Buongiorno, sto svolgendo un esercizio di analisi complessa ma alla richiesta del residuo all'infinito mi sono bloccata poiché non so come gestire la dipendenza dal parametro alfa. La funzione complessa è
$ f(z) = 1/(z(1+z)^alpha $ alpha appartiene a C
Inizialmente ho sviluppato in serie di Laurent per calcolare il residuo in 0, ottenendo
$ f(z) = sum(( (-alpha), (k) )z^(k-1) ) $
Da cui il residuo in 0 è 1
Per quello all'infinito ho provato a cambiare variabile con 1\u ed espandere in serie di Laurent attorno u=0 ...
Salve vi scrivo sperando possiate aiutarmi a risolvere il seguente esercizio:
L'esercizio richiede di calcolare la trasformata di Fourier della funzione
$ h(x)=xe^(-x^2/2) $
Dunque avevo pensato di applicare la proprietà della trasformata di Fourier per la quale
$ \mathcal(F) [x^hf(x)](omega)=i^hhat(f) ^((h))(omega ) $
Dove nel caso in esame risulta
$ \mathcal(F) [xf(x)](omega)=ihat(f)'(omega ) $ con $ f(x)=e^(-x^2/2) $
A questo punto ho difficoltà a calcolare
$ hat(f)'(omega)= int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2/2-iomega x) dx $
E poi, risolto l'integrale, integrare $ hat(f)'(omega) $ per ottenere ...
[strike]Se $M$ è una varietà differenziale, e si prendono due curve $C^\infty$ di stessi estremi, omotope tra loro, può esserci tra loro una omotopia che è solo $C^{<\infty}$ (diciamo C1, per dire), o devono essere tutte lisce quanto le curve?[/strike]
In realtà, però, non era questa la domanda. La domanda era:
Se $M$ è una varietà differenziale, e si prendono due curve $C^\infty$ di stessi estremi, omotope tra loro mediante una ...
Ciao a tutti, approfitto ancora una volta della vostra generosità per questo esercizio:
Sia $f_n:RR^2rarrRR$ la successione di funzioni definita da $nsin^2(pisqrt(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(3/2)chi_(E_n)$ dove $E_n={(x,y)inRR^2: n<=sqrt(x^2+y^2)<=n+1}$
Mi si chiede se è valida la relazione $lim_n int_(RR^2) f_ndxdy=int_(RR^2) lim_n f_n dxdy$, e se la funzione $F(x,y)=sum^(+oo) f_n$ è sommabile su $RR^2$.
Allora, procedendo con il primo punto: mi sembra d'obbligo il passaggio alle coordinate polari, per cui l'integranda diventa $(nsin^2(pirho))/rho^3$, e le coppie ...
Ciao a tutti, non sono ancora sicuro che questa sia la sezione adatta per postare questo genere di esercizi, quindi mi affido ai moderatori per l'eventuale spostamento
Detto questo, ho tra le mani un altro integrale:
$lim_(nrarr+oo) int_0^(1/n^2) (n^(4/3)log(1+2x))/(x^(4/3)[1+n^(2n)(4x)^n])$
Il primo dubbio: al tendere di $n$ all'infinito, gli estremi dell'integrale tendono a sovrapporsi. Questo non dovrebbe implicarne l'annullamento? Inoltre, mi hanno insegnato che quando uno degli estremi dell'integrale dipende da ...
Buonasera a tutti! Volevo chiedere un aiuto a chi ne sa più di me. Devo affrontare l'esame di metodi matematici per l'ingegneria e, malgrado abbia capito la teoria, mi risulta veramente difficile affrontare gli esercizi. Volevo chiedervi se conoscete qualche dispensa/libro (anche in inglese) che affronti gli argomenti di metodi (serie e trasformate di fourier, trasformata di laplace , distribuzioni, distribuzioni temperate) con degli esercizi in modo chiaro, in modo da poter capire dove ...
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