Esercizio sull'olomorfia coseno iperbolico
Ciao a tutti, mi sono imbattuto in quest'esercizio sulla valutazione dell'olomorfia di:
$ |i*cosh(z)| $
riporto, quindi, lo svolgimento che ho seguito:
in primis ho riscritto la funzione come $|i*(cos(y)cosh(x)+isinh(x)sin(y))|$ ponendo quindi in evidenza parte reale ed immaginaria della stessa per verificare più agevolmente le condizioni di Cauchy-Riemann...svolgendo le moltiplicazioni...
$ |icos(y)cosh(x)-sinh(x)sin(y)|$
a questo punto ho applicato la definizione del modulo come $sqrt [(Re)^2+(Im)^2]$
qui ho concluso che la funzione data non è olomorfa in quanto considerate le condizioni di Cauchy-Riemann mi troverei sempre le derivate parziali della parte immaginaria pari a zero e quindi non uguali a quelle della parte reale...
il mio svolgimento è corretto?
ho notato, inoltre, che spesso il modulo "rende" le funzioni non olomorfe: è valida questa deduzione?
Grazie in anticipo...
$ |i*cosh(z)| $
riporto, quindi, lo svolgimento che ho seguito:
in primis ho riscritto la funzione come $|i*(cos(y)cosh(x)+isinh(x)sin(y))|$ ponendo quindi in evidenza parte reale ed immaginaria della stessa per verificare più agevolmente le condizioni di Cauchy-Riemann...svolgendo le moltiplicazioni...
$ |icos(y)cosh(x)-sinh(x)sin(y)|$
a questo punto ho applicato la definizione del modulo come $sqrt [(Re)^2+(Im)^2]$
qui ho concluso che la funzione data non è olomorfa in quanto considerate le condizioni di Cauchy-Riemann mi troverei sempre le derivate parziali della parte immaginaria pari a zero e quindi non uguali a quelle della parte reale...
il mio svolgimento è corretto?

ho notato, inoltre, che spesso il modulo "rende" le funzioni non olomorfe: è valida questa deduzione?

Grazie in anticipo...


Risposte
Prima di affrontare il problema per altra via, visto che $e^z$ è sicuramente olomorfa, non si comprende perché non dovrebbe esserlo $i/2(e^z+e^(-z))$.
In realtà mediante le condizioni di Cauchy-Riemann riesco agevolmente a valutare che $icosh(z)$ è olomorfa...
la formula per il coseno iperbolico che mi proponevi è quella da cui sono partito per considerare il $cosh(z)=cos(y)cosh(x)+isinh(x)sin(y)$ esplicitandone quindi in maniera più chiara parte reale ed immaginaria...ad ogni modo però mi resta il "problema" del modulo e le valutazioni che ho tratto a riguardo
la formula per il coseno iperbolico che mi proponevi è quella da cui sono partito per considerare il $cosh(z)=cos(y)cosh(x)+isinh(x)sin(y)$ esplicitandone quindi in maniera più chiara parte reale ed immaginaria...ad ogni modo però mi resta il "problema" del modulo e le valutazioni che ho tratto a riguardo

Pensavo dovessi dimostrare che:
è olomorfa, non:
Ad ogni modo, esiste il seguente teorema:

facilmente dimostrabile utilizzando proprio le condizioni di Cauchy–Riemann.
$i/2(e^z+e^(-z))$
è olomorfa, non:
$|i/2(e^z+e^(-z))|$
Ad ogni modo, esiste il seguente teorema:

facilmente dimostrabile utilizzando proprio le condizioni di Cauchy–Riemann.
Interessante
a questo punto il modulo mi impone, quindi, che $v(x,y)$ sarà identicamente nullo e di conseguenza le condizioni di Cauchy-Riemann non potranno verificarsi poichè svolgendo le relative derivate parziali non avrò:
ergo funzione complessa non olomorfa...
corretto il ragionamento?

a questo punto il modulo mi impone, quindi, che $v(x,y)$ sarà identicamente nullo e di conseguenza le condizioni di Cauchy-Riemann non potranno verificarsi poichè svolgendo le relative derivate parziali non avrò:
$u_x=v_y$
$u_y=-v_x$
$u_y=-v_x$
ergo funzione complessa non olomorfa...
corretto il ragionamento?

"Blitz87":
... corretto il ragionamento ...
Non mi pare. Riepilogando:
Ipotesi 1
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ olomorfa su una regione $\Omega$
Ipotesi 2
$v(x,y)=0$
Tesi
$u(x,y)=C$
Dimostrazione
$[(delu)/(delx)=(delv)/(dely)=0] ^^ [(delu)/(dely)=-(delv)/(delx)=0] rarr [u(x,y)=C]$
Tuttavia, per dimostrare che:
$f(z)=|i/2(e^z+e^(-z))|$
non è olomorfa, si deve considerare il teorema inverso:
Ipotesi
$u(x,y) ne C$
Tesi
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ non è olomorfa su una regione $\Omega$
oppure
$v(x,y) ne 0$
Poiché, nel caso in esame:
$f(z)=|i/2(e^z+e^(-z))|=u(x,y)+iv(x,y)$
si ha $[u(x,y) ne C]$ e $[v(x,y)=0]$, $f(z)$ non può essere olomorfa su una regione $\Omega$.
Concordo con il tuo ragionamento e ti ringrazio anche per il tempo che stai dedicando
quindi $|icosh(z)|$ non è olomorfa nonostante $icosh(z)$ lo è...
è possibile generalizzare questo concetto?
In molti esercizi che ho svolto si verifica di sovente che la funzione complessa sotto modulo non è olomorfa (ad esempio $|z|$, $|z^2|$ o anche $sen(|z|)$)...

quindi $|icosh(z)|$ non è olomorfa nonostante $icosh(z)$ lo è...
è possibile generalizzare questo concetto?

Le funzioni \(|z|, |z|^2, \sin|z|\) hanno tutte valori reali, e per essere olomorfe (cioè per soddisfare le condizioni di Cauchy-Riemann) dovrebbero essere costanti. Non lo sono, palesemente.
"killing_buddha":
Le funzioni ...
Ottima sintesi.
Beh, lo avevi detto tu, io l'ho solo sottolineato

Ora la questione mi è molto più chiara
vi ringrazio

vi ringrazio

"Blitz87":
quindi $|icosh(z)|$ non è olomorfa nonostante $icosh(z)$ lo è...
è possibile generalizzare questo concetto?In molti esercizi che ho svolto si verifica di sovente che la funzione complessa sotto modulo non è olomorfa (ad esempio $|z|$, $|z^2|$ o anche $sen(|z|)$)...
Questo teoremino è uno dei primi che di studiano sulle funzioni olomorfa e fa intuire quanto esse siano "rigide". Te lo lascio come esercizio di teoria.
***
Esercizio:
Siano $Omega subseteq CC$ un aperto, $f:Omega -> CC$ una funzione olomorfa in $Omega$ con parte reale $u$ e coefficiente dell'immaginario $v$ e $Phi:RR^2->RR$ una funzione di classe $C^1$.
1. Se risulta:
\[
\Phi\Big( u(z), v(z)\Big) = 0
\]
per ogni $z in Omega$, allora $f$ è costante in $Omega$.
2. In particolare, se $f$ assume solo valori reali, o solo valori immaginari puri, oppure valori su una retta del piano complesso ovvero su una circonferenza del piano complesso, allora $f$ è costante in $Omega$.