Funzione Hermitiana
Buon pomeriggio
Ho un paio di problemi con dei teoremi riguardo le funzioni Hermitiane.
Devo dimostrare che, data una funzione olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse dei reali, una funzione è Hermitiana se e solo se è reale sull'asse dei reali. Durante la dimostrazione, ad un certo punto, ho bisogno di poter essere certa che l'intersezione tra l'aperto in cui è definita la funzione e $R$ sia aperta e non vuota, per poter dire che ha punti di accumulazione: posso dire che l'intersezione è aperta poiché intersezione finita di aperti e che è non vuota perché l'aperto è simmetrico rispetto all'asse dei reali, quindi contiene reali?
Caratterizzazione :se una funzione olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse reale è Hermitiana, allora anche la sua derivata è Hermitiana. Poiché, in un aperto connesso, se si conosce la derivata di una funzione, si conosce anche la funzione a meno di una costante additiva, si può invertire il risultato della caratterizzazione, provando qualcosa di simile?
Grazie in anticipo
Ho un paio di problemi con dei teoremi riguardo le funzioni Hermitiane.
Devo dimostrare che, data una funzione olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse dei reali, una funzione è Hermitiana se e solo se è reale sull'asse dei reali. Durante la dimostrazione, ad un certo punto, ho bisogno di poter essere certa che l'intersezione tra l'aperto in cui è definita la funzione e $R$ sia aperta e non vuota, per poter dire che ha punti di accumulazione: posso dire che l'intersezione è aperta poiché intersezione finita di aperti e che è non vuota perché l'aperto è simmetrico rispetto all'asse dei reali, quindi contiene reali?
Caratterizzazione :se una funzione olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse reale è Hermitiana, allora anche la sua derivata è Hermitiana. Poiché, in un aperto connesso, se si conosce la derivata di una funzione, si conosce anche la funzione a meno di una costante additiva, si può invertire il risultato della caratterizzazione, provando qualcosa di simile?
Grazie in anticipo
Risposte
Se ho capito bene, dovresti dimostrare le due implicazioni sottostanti:
Ti informo che puoi trovare del materiale utile in rete cercando Principio di riflessione di Schwarz.
Implicazione 1
Ipotesi
1. $f(z)$ olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse reale
2. $f(z)$ reale sull'asse reale
Tesi
$f(z)=bar(f(barz))$
Implicazione 2
Ipotesi
1. $f(z)$ olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse reale
2. $f(z)=bar(f(barz))$
Tesi
$f(z)$ reale sull'asse reale
Ti informo che puoi trovare del materiale utile in rete cercando Principio di riflessione di Schwarz.
Ok, grazie
Ho cercato informazioni riguardo il principio di Schwarz ma non ho trovato le risposte che sto cercando.
Riguardo il primo punto, penso sia corretto quello che ho scritto, essendo $R$ sia aperto che chiuso ed essendo l'insieme aperto considerato simmetrico rispetto all'asse reale.
Non ho idee, però, riguardo il secondo punto: quale ipotesi devo aggiungere o cosa devo modificare in
"se una funzione olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse reale è Hermitiana, allora lo è anche la sua derivata"
per poterlo invertire?
Grazie in anticipo
Riguardo il primo punto, penso sia corretto quello che ho scritto, essendo $R$ sia aperto che chiuso ed essendo l'insieme aperto considerato simmetrico rispetto all'asse reale.
Non ho idee, però, riguardo il secondo punto: quale ipotesi devo aggiungere o cosa devo modificare in
"se una funzione olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse reale è Hermitiana, allora lo è anche la sua derivata"
per poterlo invertire?
Grazie in anticipo
Almeno per quanto riguarda la seconda implicazione:
si può concludere in modo elementare osservando che:
e calcolando il limite di cui sopra lungo le due restrizioni sottostanti:
In questo modo:
Invece, per quanto riguarda la prima implicazione, anche se non credo sia possibile procedere in modo elementare, si può senz'altro concludere mediante la teoria del prolungamento analitico e il principio di riflessione di Schwarz.
A prescindere dalla domanda specifica, sarebbe meglio che tu chiarissi come intendevi procedere.
Ipotesi
1. $f(z)$ olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse reale
2. $f(z)=bar(f(barz))$
Tesi
$f(z)$ reale sull'asse reale
si può concludere in modo elementare osservando che:
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
$AA (x,y) in A EE (x,-y) in A :$
1. $v(x,y)=-v(x,-y)$
2. $lim_((x,y)->(x_0,0))v(x,y)=v(x_0,0)$
e calcolando il limite di cui sopra lungo le due restrizioni sottostanti:
Restrizione 1. $lim_(y->0^+)v(x_0,y)=v(x_0,0)$
Restrizione 2. $lim_(y->0^-)v(x_0,y)=-lim_(y->0^-)v(x_0,-y)=-lim_(t->0^+)v(x_0,t)=-v(x_0,0)$
In questo modo:
$v(x_0,0)=-v(x_0,0) rarr v(x_0,0)=0$
Invece, per quanto riguarda la prima implicazione, anche se non credo sia possibile procedere in modo elementare, si può senz'altro concludere mediante la teoria del prolungamento analitico e il principio di riflessione di Schwarz.
"Ianya":
... ho bisogno di poter essere certa che ...
A prescindere dalla domanda specifica, sarebbe meglio che tu chiarissi come intendevi procedere.
Riguardo questo
"l'intersezione tra l'aperto in cui è definita la funzione e R sia aperta e non vuota",
ho scritto nel primo messaggio che giustificherei questa cosa dicendo che
"l'intersezione è aperta poiché intersezione finita di aperti" ovvero intersezione dell'aperto considerato e di R, che è sia aperto che chiuso, e "che è non vuota perché l'aperto è simmetrico rispetto all'asse dei reali, quindi contiene reali"
Vorrei sapere se è corretto
Riguardo l'altra cosa, vorrei sapere se e sotto quali ipotesi si può dimostrare che, se la derivata di una funzione è Hermitiana, allora lo è anche la funzione o qualcosa di simile
"l'intersezione tra l'aperto in cui è definita la funzione e R sia aperta e non vuota",
ho scritto nel primo messaggio che giustificherei questa cosa dicendo che
"l'intersezione è aperta poiché intersezione finita di aperti" ovvero intersezione dell'aperto considerato e di R, che è sia aperto che chiuso, e "che è non vuota perché l'aperto è simmetrico rispetto all'asse dei reali, quindi contiene reali"
Vorrei sapere se è corretto
Riguardo l'altra cosa, vorrei sapere se e sotto quali ipotesi si può dimostrare che, se la derivata di una funzione è Hermitiana, allora lo è anche la funzione o qualcosa di simile
"Ianya":
Vorrei sapere se è corretto.
Direi che può bastare.
"Ianya":
Se una funzione olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse reale è Hermitiana, allora anche la sua derivata è Hermitiana.
Ipotesi
1. $f(z)$ olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse reale
2. $f(z_0)=bar(f(barz_0))$
Tesi
$(df)/(dz)(z_0)=bar[(df)/(dz)(barz_0)]$
Dimostrazione
$bar[(df)/(dz)(barz_0)]=bar(lim_(z->barz_0)(f(z)-f(barz_0))/(z-barz_0))=lim_(z->barz_0)bar[[(f(z)-f(barz_0))/(z-barz_0)]]=lim_(z->barz_0)bar(f(z)-f(barz_0))/bar(z-barz_0)=$
$=lim_(z->barz_0)(barf(z)-barf(barz_0))/(barz-barbarz_0)=lim_(z->barz_0)(f(barz)-f(z_0))/(barz-z_0)=lim_(w->z_0)(f(w)-f(z_0))/(w-z_0)=(df)/(dz)(z_0)$
(avendo operato la sostituzione $[barz=w]$ nel penultimo passaggio)
Grazie
Però quello che vorrei sapere è se e sotto quali ipotesi si può dire il contrario
Però quello che vorrei sapere è se e sotto quali ipotesi si può dire il contrario
Anche considerando il dominio convesso più semplice:
Insomma, la questione è più sottile e non credo valga la pena approfondire.
$F(z)=\int_{OA}f(z)dz=\int_{OA}(u+iv)(dx+idy)=\int_{OA}(udx-vdy)+i(vdx+udy)$
$F(barz)=\int_{OB}f(z)dz=\int_{OA}(u-iv)(dx-idy)=\int_{OA}(udx-vdy)-i(vdx+udy)$
$F(z)=bar(F(barz))$
$F_1(z)=\int_{O_1A}f(z)dz=\int_{O_1O}f(z)dz+\int_{OA}f(z)dz=\int_{O_1O}f(z)dz+F(z)$
$F_1(barz)=\int_{O_1B}f(z)dz=\int_{O_1O}f(z)dz+\int_{OB}f(z)dz=\int_{O_1O}f(z)dz+F(barz)$
$[\int_{O_1O}f(z)dz ne bar(\int_{O_1O}f(z)dz)] rarr [F_1(z) ne bar(F_1(barz))]$
Insomma, la questione è più sottile e non credo valga la pena approfondire.
@anonymous_0b37e9: 
@ dissonance
Grazie di cuore.
Grazie di cuore.
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