Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Salve a tutti, dovrei trasformare la seguente successione:
$ Zu[cos(npi/2)^4] $
Il libro porta che il risultato deve essere $ z^2/(z^2-1) $ ma non riesco a trovarmi. Ho provato a fare i seguenti calcoli:
$ Zu[cos(npi/2)^4]=1/16Zu[(e^(jnpi/2)+e^(-jnpi/2))^4]=1/16Zu[(e^(jnpi)+e^(-jnpi)+2)^2] $
Sviluppando il quadrato di questo trinomio ottengo:
$ Zu[e^(2npi)]+Zu[e^(-j2npi)]+6Zu[1]+4Zu[e^-(jnpi)]+4Zu[(e^(jnpi)] $ e applicando la proprietà di riscalamento mi viene un termine z che non dovrebbe esserci e la trasformata di uno.
Salve a tutti,non capisco come risolvere questa anti trasformata di Z:
$ Zu^-1[d/dz(z+1)/(z^2+z+1)] $
Grazie a tutti in anticipo!
Salve, sto studiando analisi complessa dal libro: "A Guide to Mathematical Methods for Physicists: With Problems and Solutions", M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni, World Scientific.
Quest'ultimo afferma che una funzione di variabile complessa è differenziabile se esiste il limite del rapporto incrementale. Dunque in campo complesso derivabilità = differenziabilità? Ma una funzione di variabile complessa $z = x +iy$ non è una $f(z)= f(x,y)$ e quindi una funzione di 2 ...
Buongiorno e buone vacanze a tutti!
Sono bloccato sul seguente esercizio:
Prendo $f(z)=\frac{1}{z^2(z^2+a^2)}$ e scelgo $\epsilon <a$. La funzione $f(z)\cot(\pi z)$ ha dunque residui in $\pm ia$ e su tutti i numeri interi. In particolare mi interessano il residuo in 0, che vale $\pi/a^2$ (uso lo sviluppo in serie di Taylor di sinz e cosz),
e i residui in $\pm k$, $k$ naturale, che valgono (qua uso L'Hopital) $\frac{1}{k^2(k^2+a^2)}$.
Dunque ...
Ciao a tutti,
non comprendo una notazione utilizzata da un docente per spiegare l'integrale secondo Lebesgue per funzioni semplici.
.............
Innanzitutto vi presento il caso che sto trattando:
[*:16nrxjha]Si consideri un insieme $X$. Si consideri l'insieme delle parti $P(X)$.
[/*:m:16nrxjha]
[*:16nrxjha]Si consideri una sigma algebra $\alpha sub P(X)$.
[/*:m:16nrxjha]
[*:16nrxjha]Si consideri la misura $\mu : \alpha rarr [0,+oo)$
[/*:m:16nrxjha]
[*:16nrxjha]Si ...
Ciao a tutti, vi chiedo una conferma.
Consideriamo un'algebra $\alpha$ di parti di un insieme $X$
Consideriamo una funzione
$mu : \alpha -> [0,+oo)$
tale che
$mu(O/)=0$
Mi confermate che la seguente frase è Vera?
"Anche nel caso in cui $\alpha$ non fosse una sigma-algebra, $mu$ potrebbe comunque essere sigma-additiva"
Grazie a tutti
Ciao, ho qualche problema con un esercizio.
"Consideriamo l'insieme dei numeri naturali $NN$.
E' un insieme infinito e numerabile.
Consideriamo l'insieme delle parti dei numeri naturali $P(NN)$.
Definiamo un insieme $\alpha$ come l'insieme degli elementi $A$ siffatti:
$\alpha= {A in P(NN) : A $ finito oppure $A^C$ finito $}$
$\alpha$ è un'algebra.
Dimostare che $\alpha$ non è una sigma-algebra."
Come ...
Salve a tutti, ho iniziato a studiare la z trasformazione da poco e ho queste due diciamo spiegazioni del libro che non riesco ad afferrare completamente. Inizio dalla prima.
Il libro fa la trasformata di :
$ Zu^-1[z^2/(z-1)^3]=((n+1)n)/2*u(n-1) $
Ed ho capito come fa la antitrasformata. Il problema è che lui scrive che questa quantità è uguale a :
$ Zu^-1[z^2/(z-1)^3]=((n+1)n)/2*u(n) $
E qui non capisco il motivo. Perchè u(n-1)=u(n) in questo caso?
Il secondo dubbio ve lo riporto mediante la foto.
Ad un ...
Il teorema di Liouville afferma che se una funzione \(f\) è intera e limitata allora è costante. Ma ponendo \( f(z)= \cos(z) + i \sin(z) \) abbiamo che certamente \(f\) è intera poiché \( \cos \) e \( \sin \) lo sono. Inoltre calcolando la norma di \(f\) abbiamo che
\[ \sqrt{ f(z) \overline{f(z)} } = \sqrt{ ( \cos(z) + i \sin(z) )( \cos(z) - i \sin(z))} = \sqrt{ \cos^2(z) + \sin^2(z)} = 1 \]
dunque è limitata, e per Liouville è costante. Ma chiaramente non lo è.
Dove sta l'errore? ...
Ciao a tutti, sto provando a risolvere questo esercizio
non sono riuscito a fare molto: ho verificato che $\phi(0)$ deve essere 0 (per continuità del segno) ma poi applicando il teorema di linearizzazione non sono riuscito a concludere essendo $\phi'$ incognita. il punto 1 sospetto non sia complicato ma non ho idea. nel punto 3 infine ho fatto la verifica che viene suggerita ma non so come applicarla per risolvere il punto
Grazie dell'aiuto!
Calcolare $ I_1 = \int_{0}^{\infty} log(x)/(x^(1/3)(x+1)) dx $ sapendo che: $ I_0 = \int_{0}^{\infty} dx/(x^(1/3)(x+1)) = (2pi)/\sqrt(3) $
Ho considerato la funzione complessa $f(z) = log^2(z)/(z^(1/3)(z+1))$ ed il seguente cammino $\Gamma$ alla "pacman"
in cui il taglio va da 0 a $\infty$ e $z^(1/3)$ e $log(z)$ sono entrambi reali per z reali positivi al di sopra del taglio. A questo punto, nel limite in cui il raggio del cerchio che circonda lo 0 va a 0 e quello del cerchio grande va ad infinito:
$ \int_{\Gamma} f(z) dz = (-4 \pi i I_1 + 4 pi^2 I_0) e^(-2/3 pi i) = 2 \pi i Res_{z = -1} f(z) = -2 \pi^3 i e^(-pi/3 i) $
Da cui ...
Un esercizio di Analisi Funzionale, tanto per gradire.
Non sono sicuro se l'ho già postato millenni fa, ma non mi pare. Nel caso, mi scuso per il repost.
***
Esercizio:
Sia \(\mathbf{a} = (a_n) \in \ell^\infty (\mathbb{C})\). Definiamo un operatore \(A\) ponendo:
$Amathbf(x) := (a_1x_1, a_2x_2,... , a_nx_n, ...)$
per ogni \(\mathbf{x}=(x_n) \in \ell^2(\mathbb{C})\).
0. Mostrare che $A$ è un operatore lineare limitato di \(\ell^2 (\mathbb{C})\) in sé e calcolarne (o stimarne) la norma operatoriale.
1. ...
Buonasera a tutti,
avevo precedentemente postato questa domanda in un'altra sezione del forum ma, vista la mancanza di risposte, preferisco ora spostarla in questa sezione (probabilmente più appriopriata). Avrei la necessità di calcolare il seguente integrale
$ \int_{4 \pi} I_{ex}(\theta^{'},\phi^{'}) \cos\theta^{'}\text{d}\omega^{'} $
dove $\omega^{'}$ indica l'angolo solido, $ \theta $ è misurata dal semiasse positivo di $ z $, $ \phi $ è misurata dal semiasse positivo di $ x $, ed infine $ I_{ex}(\theta,\phi) = I_0 \delta(\theta) \delta(\phi) $. ...
Buongiorno,
non sono sicuro di aver compreso un'osservazione fatta da un Professore. Ve la illustro.
Si consideri la scrittura "valor principale" che abbrevierò in $v.p.$
$lim_(a->+oo) int_(-a)^(+a)f(x)dx = v.p. int_(-oo)^(+oo) f(x)dx$
E si consideri una funzione $f:RR->CC$ trasformabile secondo Fourier.
La trasformata di Fourier di $f$ sarà
$F(f)(omega)= v.p. int_(-oo)^(+oo) f(x)e^(-iomegax)dx$
L'osservazione è la seguente:
"se $f in L^1(RR)$ allora $f$ è integrabile su $RR$ e quindi nella definizione di ...
Buongiorno!
la serie di Fourier di una funzione (resa periodica) è una sua rappresentazione utilizzando i polinomi trigonometrici (o, equivalentemente, utilizzando l'esponenziale sfruttando l'identità di Eulero).
È un modo alternativo di scrivere la funzione (se valgono alcune condizioni ovviamente).
Detto ciò, vi vorrei fare due domande:
1) cosa rappresentano, intuitivamente, le trasformate di Fourier e di Laplace? Il loro significato a livello intuitivo mi sfugge. Mi sembra più ...
Ciao!
Considerate il seguente problema di Dirichlet per una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine lineare:
$ { ( p_0(x)y''+p_1(x)y'+(p_2(x)+lambdap_3(x))y =b(x)),( y(a)=k_1 ),( y(b)=k_2 ):} $
$p_0, p_1, p_2, p_3, b in C^0$
$lambda, a,b,k_1,k_2 in RR$
$x in [a,b]$
Scrivendo ciò sto chiaramente cercando una funzione che soddisfi la equazione differenziale e che nei punti $a$ e $b$ assuma rispettivamente i valori $k_1$ e $k_2$
Domanda:
Il problema è di Dirichlet anche se le funzioni $p_0, p_1, p_2, p_3, b$ non ...
Buongiorno,
Non riesco a comprendere la seguente uguaglianza, detta uguaglianza di Parseval.
Data $f:RR->RR$, tale che
$f in L^2((-pi;+pi))$
$f$ è $2pi-$periodica
Allora, considerando coefficienti di Fourier di $f$, ovvero $a_0, a_n$ e $b_n$, vale la seguente uguaglianza:
$int_(-pi)^(+pi) f^2(x)dx= pi (a_0^2)/2 + sum_(n=1)^(+oo)a_n^2+b_n^2= sum_(n=0)^(+oo)c_n^2$
Che fine fanno i seni ed i coseni della serie di Fourier?
Da dove spunta fuori quel $pi$ che moltiplica $(a_0^2)/2$?
Buongiorno,
Sto studiando l'equazione del calore e ho un dubbio specifico riguardo un passaggio.
$ { ( u_t=ku_(x x) ),( u_x(0,t)=u(1,t)=0 ),( u(x,0)=u_0(x)=1-x ) ,( x in (0,1)) , (t>0):} $
$k in RR, k>0$
La soluzione $u(x,t)$ rappresenta la temperatura nel punto $x$ al tempo $t$ di una sbarra di metallo di lunghezza $1$.
La soluzione è del tipo
$u(x,t)= X_n(x) T_n(t)$
Salto tutti i passaggi che mi hanno portato a trovare $X$ e $T$ in quanto sono sicuro del fatto che siano ...
Buongiorno a tutti, non capisco la notazione utilizzata in un libro.
Vi presento il problema, sperando che qualcuno mi possa aiutare. Riguarda la soluzione dell'equazione alle derivate parziali di Laplace su un insieme circolare.
" Sia $phi: RR->RR$ continua e $2pi-$ periodica
Sia $Omega= {(x,y): x^2+y^2<r^2}$
Allora il problema:
$ { ( u_(x x)+u_(yy)=0 if text(in) Omega),( u=phi if text(su) partial Omega ):} $
ha una ed una sola soluzione di classe $C^2(Omega)$ e continua in $bar(Omega)$. "
Cosa significa "in $bar(Omega)$" ? Si ...
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