Calcolo di un integrale con delta di Dirac
Buonasera a tutti,
avevo precedentemente postato questa domanda in un'altra sezione del forum ma, vista la mancanza di risposte, preferisco ora spostarla in questa sezione (probabilmente più appriopriata). Avrei la necessità di calcolare il seguente integrale
$ \int_{4 \pi} I_{ex}(\theta^{'},\phi^{'}) \cos\theta^{'}\text{d}\omega^{'} $
dove $\omega^{'}$ indica l'angolo solido, $ \theta $ è misurata dal semiasse positivo di $ z $, $ \phi $ è misurata dal semiasse positivo di $ x $, ed infine $ I_{ex}(\theta,\phi) = I_0 \delta(\theta) \delta(\phi) $. Come prima cosa ho proceduto a riscrivere l'integrale come segue
$ \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} I_{ex}(\theta^{'},\phi^{'}) \cos\theta^{'} sin\theta^{'} \text{d}\theta^{'} \text{d}\phi^{'} $
Sostituendo l'espressione di $I_{ex}$ dentro questo integrale dovrei ottenere
$ \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} I_0 \delta(\theta^{'}) \delta(\phi^{'}) \cos\theta^{'} \sin\theta^{'} \text{d}\theta^{'} \text{d}\phi^{'} = I_0 \int_{0}^{\pi} \delta(\theta^{'}) \cos\theta^{'} \sin\theta^{'} \text{d}\theta^{'} = \cos(0) \sin(0) = 0 $
Su alcuni appunti ho però trovato un approccio diverso che mi lascia un po' perplesso. In questo approccio, si effettua il cambio di variabile $ \mu^{'} = \cos\theta^{'} $, che comporta $ \text{d}\mu^{'} = - \sin\theta^{'} \text{d}\theta^{'} $ e quindi $ \text{d}\theta^{'} = -\frac{\text{d}\mu^{'}}{sin\theta^{'}} $, riscrivendo così l'integrale come segue
$ \int_{0}^{2 \pi} \int_{-1}^{1} I_{ex}(\mu^{'},\phi^{'}) \mu^{'} \sin\theta^{'} \frac{\text{d}\mu^{'}}{\sin\theta^{'}} d\phi^{'} = \int_{0}^{2 \pi} \int_{-1}^{1} I_{ex}(\mu^{'},\phi^{'}) \mu^{'} \text{d}\mu^{'} \text{d}\phi^{'} = \int_{-1}^{1} I_0 \delta(\mu^{'} - 1) \mu^{'} \text{d}\mu^{'} = I_0 $
Credo che in questi passaggi si utilizzi la convenzione
$ \int_{-a}^{a} f(x) \delta(x - a) \text{d}x = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{-a - \epsilon}^{a + \epsilon} f(x) \delta(x - a) \text{d}x = f(a) $
Quello che mi sconcerta di questo approccio, oltre ovviamente al fatto che conduce ad un risultato diverso dal mio, è che compare $ sin(\theta^{'}) $ al denominatore, il quale si annulla per $ \mu = 1 $, cioè quando $ \theta = 0 $. Potete aiutarmi a fare chiarezza? Grazie
avevo precedentemente postato questa domanda in un'altra sezione del forum ma, vista la mancanza di risposte, preferisco ora spostarla in questa sezione (probabilmente più appriopriata). Avrei la necessità di calcolare il seguente integrale
$ \int_{4 \pi} I_{ex}(\theta^{'},\phi^{'}) \cos\theta^{'}\text{d}\omega^{'} $
dove $\omega^{'}$ indica l'angolo solido, $ \theta $ è misurata dal semiasse positivo di $ z $, $ \phi $ è misurata dal semiasse positivo di $ x $, ed infine $ I_{ex}(\theta,\phi) = I_0 \delta(\theta) \delta(\phi) $. Come prima cosa ho proceduto a riscrivere l'integrale come segue
$ \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} I_{ex}(\theta^{'},\phi^{'}) \cos\theta^{'} sin\theta^{'} \text{d}\theta^{'} \text{d}\phi^{'} $
Sostituendo l'espressione di $I_{ex}$ dentro questo integrale dovrei ottenere
$ \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} I_0 \delta(\theta^{'}) \delta(\phi^{'}) \cos\theta^{'} \sin\theta^{'} \text{d}\theta^{'} \text{d}\phi^{'} = I_0 \int_{0}^{\pi} \delta(\theta^{'}) \cos\theta^{'} \sin\theta^{'} \text{d}\theta^{'} = \cos(0) \sin(0) = 0 $
Su alcuni appunti ho però trovato un approccio diverso che mi lascia un po' perplesso. In questo approccio, si effettua il cambio di variabile $ \mu^{'} = \cos\theta^{'} $, che comporta $ \text{d}\mu^{'} = - \sin\theta^{'} \text{d}\theta^{'} $ e quindi $ \text{d}\theta^{'} = -\frac{\text{d}\mu^{'}}{sin\theta^{'}} $, riscrivendo così l'integrale come segue
$ \int_{0}^{2 \pi} \int_{-1}^{1} I_{ex}(\mu^{'},\phi^{'}) \mu^{'} \sin\theta^{'} \frac{\text{d}\mu^{'}}{\sin\theta^{'}} d\phi^{'} = \int_{0}^{2 \pi} \int_{-1}^{1} I_{ex}(\mu^{'},\phi^{'}) \mu^{'} \text{d}\mu^{'} \text{d}\phi^{'} = \int_{-1}^{1} I_0 \delta(\mu^{'} - 1) \mu^{'} \text{d}\mu^{'} = I_0 $
Credo che in questi passaggi si utilizzi la convenzione
$ \int_{-a}^{a} f(x) \delta(x - a) \text{d}x = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{-a - \epsilon}^{a + \epsilon} f(x) \delta(x - a) \text{d}x = f(a) $
Quello che mi sconcerta di questo approccio, oltre ovviamente al fatto che conduce ad un risultato diverso dal mio, è che compare $ sin(\theta^{'}) $ al denominatore, il quale si annulla per $ \mu = 1 $, cioè quando $ \theta = 0 $. Potete aiutarmi a fare chiarezza? Grazie
Risposte
A parte la notazione un po' infelice (da dove viene? Roba di Fisica o Ingegneria?), intuitivamente mi trovo col conto degli appunti.
Hai una distribuzione del tipo $delta$ centrata nel polo nord della superficie sferica di centro $O = (0,0,0)$ e raggio $r = 1$, cioè nel punto $N = (0,0,1)$; la funzione $f(theta^\prime , phi^\prime) = cos theta^\prime$ contro cui stai integrando la $delta$ espressa in coordinate cartesiane è, fondamentalmente, $f(x,y,z) = z$; quindi il tuo integrale dovrebbe essere uguale a:
$int_S I_0 delta(x,y,z-1) z\ "d" omega^\prime = I_0$.
Hai una distribuzione del tipo $delta$ centrata nel polo nord della superficie sferica di centro $O = (0,0,0)$ e raggio $r = 1$, cioè nel punto $N = (0,0,1)$; la funzione $f(theta^\prime , phi^\prime) = cos theta^\prime$ contro cui stai integrando la $delta$ espressa in coordinate cartesiane è, fondamentalmente, $f(x,y,z) = z$; quindi il tuo integrale dovrebbe essere uguale a:
$int_S I_0 delta(x,y,z-1) z\ "d" omega^\prime = I_0$.
Grazie per la risposta tempestiva. Con il tuo approccio, cioè lavorando in coordinate cartesiane, si riesce ad evitare quel $ sin \theta^{'} $ al denominatore che mi preoccupava. A questo punto non capisco come mai gli appunti insistano su quella variabile $ \mu $. Tra l'altro lo stesso accade anche nel famoso testo sul trasferimento radiativo di Chandrasekhar "Radiative Transfer", dove però in effetti non esplicita il passaggio alla variabile $ \mu $ come negli appunti che ho trovato, quindi forse quello che è errato negli appunti è il modo in cui si introduce tale variabile. Posso chiederti perché ritieni che la notazione sia un po' infelice (viene da Fisica)? Forse perché le delta sono definite su coordinate angolari e/o per la convenzione $ \int_{-a}^{a} f(x) \delta(x-a) dx = lim_{\epsilon rarr 0} \int_{-a - \epsilon}^{a + \epsilon} f(x) \delta(x-a) dx = f(a) $ ?
"BullDummy":
Grazie per la risposta tempestiva.
Prego, figurati.
"BullDummy":
Con il tuo approccio, cioè lavorando in coordinate cartesiane, si riesce ad evitare quel $ sin \theta^{'} $ al denominatore che mi preoccupava. A questo punto non capisco come mai gli appunti insistano su quella variabile $ \mu $. Tra l'altro lo stesso accade anche nel famoso testo sul trasferimento radiativo di Chandrasekhar "Radiative Transfer", dove però in effetti non esplicita il passaggio alla variabile $ \mu $ come negli appunti che ho trovato, quindi forse quello che è errato negli appunti è il modo in cui si introduce tale variabile.
In realtà, quella che gli appunti chiamano $mu$ è proprio la $z$. Quello che viene fatto negli appunti è esplicitare (casomai non proprio come te lo racconto qui di seguito, ma questo lo lascio decidere a te) il passaggio di coordinate "inverso" da polari a cartesiane, il cui jacobiano in modulo sulla superficie sferica unitaria è proprio $J^(-1) = 1/sin theta^\prime$ (reciproco di $J=sin theta^\prime$ del cambiamento da cartesiane a polari).
"BullDummy":
Posso chiederti perché ritieni che la notazione sia un po' infelice (viene da Fisica)? Forse perché le delta sono definite su coordinate angolari e/o per la convenzione $ \int_{-a}^{a} f(x) \delta(x-a) dx = lim_{\epsilon rarr 0} \int_{-a - \epsilon}^{a + \epsilon} f(x) \delta(x-a) dx = f(a) $ ?
Innanzitutto, gli apici... A scriverne tanti ogni volta è dura.
Poi, l'integrale esteso ad un numero ($4pi$) anziché ad una superficie.
Ancora, l'uso delle coordinate polari quando è più intuitivo usare le coordinate cartesiane.
Infine, l'uso allegro del teorema di cambiamento di variabile per "integrali finti" come sono quelli che si usano -per mera comodità notazionale- per valutare una distribuzione di tipo singolare su un test (si può usare? Sì. Ma perché?)
Grazie mille. Adesso è tutto chiaro
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