Valor principale e Trasformata di Fourier
Buongiorno,
non sono sicuro di aver compreso un'osservazione fatta da un Professore. Ve la illustro.
Si consideri la scrittura "valor principale" che abbrevierò in $v.p.$
$lim_(a->+oo) int_(-a)^(+a)f(x)dx = v.p. int_(-oo)^(+oo) f(x)dx$
E si consideri una funzione $f:RR->CC$ trasformabile secondo Fourier.
La trasformata di Fourier di $f$ sarà
$F(f)(omega)= v.p. int_(-oo)^(+oo) f(x)e^(-iomegax)dx$
L'osservazione è la seguente:
"se $f in L^1(RR)$ allora $f$ è integrabile su $RR$ e quindi nella definizione di trasformata non è necessario considerare il valor principale dell'integrale".
In parole povere:
devo scrivere $v.p.$ solo quando non sono sicuro che il primo integrale che ho scritto esiste finito.
Posso evitare di scrivere $v.p.$ quando sono sicuro che l'integrale esiste finito.
E' giusto?
non sono sicuro di aver compreso un'osservazione fatta da un Professore. Ve la illustro.
Si consideri la scrittura "valor principale" che abbrevierò in $v.p.$
$lim_(a->+oo) int_(-a)^(+a)f(x)dx = v.p. int_(-oo)^(+oo) f(x)dx$
E si consideri una funzione $f:RR->CC$ trasformabile secondo Fourier.
La trasformata di Fourier di $f$ sarà
$F(f)(omega)= v.p. int_(-oo)^(+oo) f(x)e^(-iomegax)dx$
L'osservazione è la seguente:
"se $f in L^1(RR)$ allora $f$ è integrabile su $RR$ e quindi nella definizione di trasformata non è necessario considerare il valor principale dell'integrale".
In parole povere:
devo scrivere $v.p.$ solo quando non sono sicuro che il primo integrale che ho scritto esiste finito.
Posso evitare di scrivere $v.p.$ quando sono sicuro che l'integrale esiste finito.
E' giusto?
Risposte
Si è corretto
Ni, invece…
Il problema è come considerare l’integrale al secondo membro, che non è -a rigore- un integrale di Riemann (di quelli da Analisi I, per intenderci).
Quello che si può fare è cercare di capire in quale senso è da intendersi la “convergenza” di quell’oggetto lì e ci sono almeno tre tipi di convergenza candidati a dar senso all’integrale:
[list=1][*:1wrl56fx] la convergenza nel senso dell’integrale in $L^1(RR)$, cioè per funzioni sommabili;
[/*:m:1wrl56fx]
[*:1wrl56fx] la convergenza come integrale improprio;
[/*:m:1wrl56fx]
[*:1wrl56fx] la convergenza nel senso del valore principale $text(V.P.)$.[/*:m:1wrl56fx][/list:o:1wrl56fx]
Della differenza tra i tre si è già detto molte volte, ad esempio qui.
Il problema è come considerare l’integrale al secondo membro, che non è -a rigore- un integrale di Riemann (di quelli da Analisi I, per intenderci).
Quello che si può fare è cercare di capire in quale senso è da intendersi la “convergenza” di quell’oggetto lì e ci sono almeno tre tipi di convergenza candidati a dar senso all’integrale:
[list=1][*:1wrl56fx] la convergenza nel senso dell’integrale in $L^1(RR)$, cioè per funzioni sommabili;
[/*:m:1wrl56fx]
[*:1wrl56fx] la convergenza come integrale improprio;
[/*:m:1wrl56fx]
[*:1wrl56fx] la convergenza nel senso del valore principale $text(V.P.)$.[/*:m:1wrl56fx][/list:o:1wrl56fx]
Della differenza tra i tre si è già detto molte volte, ad esempio qui.
Però se $f\in L^1(RR)$ allora ho convergenza come integrale improprio e quindi non è necessario mettere il valore principale no?
Piccola domanda mia, mi sapreste dire un controesempio di funzione $L^2$ per cui è necessario mettere il valore principale per calcolarne la trasformata?
Piccola domanda mia, mi sapreste dire un controesempio di funzione $L^2$ per cui è necessario mettere il valore principale per calcolarne la trasformata?
Forse ho trovato, se provo a valutare la trasformara di $x/(x^2+1)$ in 0 l'integrale non esiste se non ci metti il valore principale
"LoreT314":
Però se $f\in L^1(RR)$ allora ho convergenza come integrale improprio e quindi non è necessario mettere il valore principale no?
Stessa cosa che ho pensato io!
"LoreT314":
Forse ho trovato, se provo a valutare la trasformara di $x/(x^2+1)$ in 0 l'integrale non esiste se non ci metti il valore principale
In che senso "se non ci metti il valor principale"?
L'integrale improprio su $RR$ di quella funzione non esiste
Ah okay, giustamente se non scrivo $v.p.$ l'espressione non ha matematicamente senso.
Per quale scopo hai pensato a questo esempio, a questa funzione?
Per quale scopo hai pensato a questo esempio, a questa funzione?
Volevo solo trovare un esempio che mostrasse perché in $L^2$ fosse necessario aggiungere il valore principale, cosa che non è necessaria in $L^1$
okok capito
"LoreT314":
Però se $f\in L^1(RR)$ allora ho convergenza come integrale improprio e quindi non è necessario mettere il valore principale no?
Le tre convergenze le ho elencate da quella più forte a quella più debole (cioè la prima implica la seconda e la seconda implica la terza); quindi sì.
Il problema cui mi riferivo è l'uso di "esiste finito", che devi chiarire cosa significa prima di tutto il resto.
"LoreT314":
Piccola domanda mia, mi sapreste dire un controesempio di funzione $L^2$ per cui è necessario mettere il valore principale per calcolarne la trasformata?
La funzione che hai trovato, ossia $f(x) := x/(x^2 + 1)$ è in $L^p(RR)$ per ogni $p > 1$ ma non è $L^1(RR)$; quindi sì, il controesempio è corretto.
L'osservazione di LoreT314 è molto buona. La funzione $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ non è in L^1, come dice Gugo, quindi la sua trasformata di Fourier potrebbe non essere continua, e anzi non è neanche obbligata ad esistere ovunque. Quindi, oltre al problema un po' sottile del valore principale, c'è anche il problema MOLTO più concreto che l'integrale in certi punti non esiste proprio.
Si dimostra che in questi casi l'integrale, preso nel senso del valore principale, esiste "quasi sempre". Exercise 5 qui (link al blog di Terry Tao).
Questo è un problema incredibilmente sottile. In dimensione 2, per esempio, le cose si complicano; come prendere il valore principale, su quadrati o su dischi? I quadrati vanno bene ma i dischi no! Questo lo ha dimostrato Charlie Fefferman negli anni Settanta, qua si entra nell'analisi armonica avanzata. Di sicuro ne ha parlato Tao nel suo blog, ma non vorrei adesso approfondire.
Si dimostra che in questi casi l'integrale, preso nel senso del valore principale, esiste "quasi sempre". Exercise 5 qui (link al blog di Terry Tao).
Questo è un problema incredibilmente sottile. In dimensione 2, per esempio, le cose si complicano; come prendere il valore principale, su quadrati o su dischi? I quadrati vanno bene ma i dischi no! Questo lo ha dimostrato Charlie Fefferman negli anni Settanta, qua si entra nell'analisi armonica avanzata. Di sicuro ne ha parlato Tao nel suo blog, ma non vorrei adesso approfondire.
"dissonance":
L'osservazione di LoreT314 è molto buona. La funzione $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ non è in L^1, come dice Gugo, quindi la sua trasformata di Fourier potrebbe non essere continua, e anzi non è neanche obbligata ad esistere ovunque. Quindi, oltre al problema un po' sottile del valore principale, c'è anche il problema MOLTO più concreto che l'integrale in certi punti non esiste proprio.
Dato che...
*) $f(x)= x/(x^2+1)$ è localmente integrabile in $RR$
**) $forall omega in RR$ il seguente integrale esiste finito
$F(f)(omega)= int_(-oo)^(+oo) f(x)e^(-iomegax)dx$
... allora $f(x)= x/(x^2+1)$ è trasformabile secondo Fourier, giusto?
Sul fatto che la trasformata non sia necessariamente continua, sono d'accordo con te dissonance, dato che $f(x)$ non appartiene ad $L^1$.
Non ho invece compreso quando hai detto "non è obbligata ad esistere ovunque".
In che senso? L'integrale deve essere finito $forall omega in RR$, quindi E' obbligata ad esistere ovunque.
Mi sto sbagliando?
"impe":
*) $f(x)= x/(x^2+1)$ è localmente integrabile in $RR$
E grazie, è continua...
"impe":
**) $forall omega in RR$ il seguente integrale esiste finito
$F(f)(omega)= int_(-oo)^(+oo) f(x)e^(-iomegax)dx$
Ma anche no, se non specifichi il senso di "esiste finito"... Te l'avevo scritto su.
Il mio commento non è stato troppo felice e temo abbia creato confusione. Volevo solo segnalare che questo è l'inizio di una domanda difficile dell'analisi armonica, specialmente in dimensione 2 e superiore. Il resto, meglio ignorarlo, e tornare alle osservazioni precedenti di Gugo e di Lore.
"gugo82":
[quote="impe"]**) $forall omega in RR$ il seguente integrale esiste finito
$F(f)(omega)= int_(-oo)^(+oo) f(x)e^(-iomegax)dx$
Ma anche no, se non specifichi il senso di "esiste finito"... Te l'avevo scritto su.[/quote]
scusate ma..
"esiste finito per ogni $omega$ " non significa semplicemente che
il dominio di $F(f)(omega)$ è $RR$
e che $F(f)(omega)$ non "scappa" mai a $+oo$ o $-oo$ ?
Cosa succede quando trasformi la tua $f(x)$ con $omega=0$?
"gugo82":
Cosa succede quando trasformi la tua $f(x)$ con $omega=0$?
Houston, abbiamo un problema...
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