Notazione poco chiara integrale secondo Lebesgue e misura

[impe1]

Ciao a tutti,

non comprendo una notazione utilizzata da un docente per spiegare l'integrale secondo Lebesgue per funzioni semplici.
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Innanzitutto vi presento il caso che sto trattando:

[*:16nrxjha]Si consideri un insieme $X$. Si consideri l'insieme delle parti $P(X)$.
[/*:m:16nrxjha]
[*:16nrxjha]Si consideri una sigma algebra $\alpha sub P(X)$.
[/*:m:16nrxjha]
[*:16nrxjha]Si consideri la misura $\mu : \alpha rarr [0,+oo)$
[/*:m:16nrxjha]
[*:16nrxjha]Si consideri una funzione semplice non negativa $f: X -> bar(RR)$ . Essendo $f$ una funzione semplice, è anche misurabile.
Dato che è una funzione semplice, posso scrivere $f$ come

$f(x)= \sum_(i=1)^n a_i bar(1)_(A_i)(x)$
$ \forall x in X$


[*:16nrxjha]$a_i in bar(RR)$
[/*:m:16nrxjha]
[*:16nrxjha]i vari $A_i$ appartengono ad $\alpha$ e sono una sua partizione.
[/*:m:16nrxjha]
[*:16nrxjha]$bar(1)_(A_i)$ è la funzione indicatrice dell'insieme $A_i$.[/*:m:16nrxjha][/list:u:16nrxjha][/*:m:16nrxjha][/list:u:16nrxjha]

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Ora vi presento la notazione che non mi è chiara


Si consideri un insieme $A_z in \alpha$.
Si definisce l'integrale di Lebesgue di $f$ rispetto a $mu$ su $A_z$ il seguente integrale:

$ int_(A_z) f dmu = int_(X) f bar(1)_(A_z) dmu= int_(X)(\sum_(i=1)^n a_i bar(1)_(A_i)) bar(1)_(A_z) dmu $

$= int_(X)(\sum_(i=1)^n a_i bar(1)_(A_i nn A_z))dmu $

Al di là del risultato a cui si può giungere a seguito dell'ultima espressione, ciò che non capisco è la notazione.
$mu$ è una misura, che senso ha dire che la variabile rispetto alla quale sto integrando è...una misura?


Sto studiando questa materia da pochissimo e magari mi sfugge qualcosa. Grazie mille a chiunque mi sappia aiutare

[otta96]

"impe":Essendo $f$ una funzione semplice, è anche misurabile.

Non è detto, è misurabile se e solo se tuttti gli $A_i$ appartengono ad $\alpha$.

$mu$ è una misura, che senso ha dire che la variabile rispetto alla quale sto integrando è...una misura?

Non devi pensarla così, pensala piuttosto che stai integrando rispetto alla misura, infatti se ci fai caso non scrivi $f(x)$, ma $f$ e basta perchè la variabile è sottintesa. Nel caso ci sia il bisogno di specificarla (per esempio perchè la funzione è in 2 variabili e si vuole integrare solo in una) si scrive $\int_RRf(x,y)d\mu(x)$, per esempio.

[impe1]

"otta96":[quote="impe"]Essendo $f$ una funzione semplice, è anche misurabile.

Non è detto, è misurabile se e solo se tuttti gli $A_i$ appartengono ad $\alpha$.

"impe":

[*:3jtb9ivb]i vari $ A_i $ appartengono ad $ \alpha $ e sono una sua partizione.[/*:m:3jtb9ivb][/list:u:3jtb9ivb]

[/quote]

"otta96":

$mu$ è una misura, che senso ha dire che la variabile rispetto alla quale sto integrando è...una misura?

Non devi pensarla così, pensala piuttosto che stai integrando rispetto alla misura, infatti se ci fai caso non scrivi $f(x)$, ma $f$ e basta perchè la variabile è sottintesa. Nel caso ci sia il bisogno di specificarla (per esempio perchè la funzione è in 2 variabili e si vuole integrare solo in una) si scrive $\int_RRf(x,y)d\mu(x)$, per esempio.

Ti ringrazio per questo chiarimento otta. Quindi il significato della notazione

$ int_(X) f dmu $

è
"integrare $f$ nell'insieme $X$ rispetto alla misura $mu$, ovvero integrare $f$ nell'insieme $X$ utilizzando la misura $mu$"

giusto?

[otta96]

Si.

[impe1]

grazie!