Analisi superiore

un esercizio mi chiede di dimostrare che l'operatore lineare $ T:H->H $ la cui azione sugli elementi del sistema ortonormale completo $ {e^((n))}_{n=1}^oo $ è $ T(e^((n)))=(e^((2n-1))+e^((2n)))/(√2) $, non è unitario. dovrei riuscire a spiegare che non è unitario perchè non è invertibile, dal momento che i vettori $ e^((2n-1))-e^((2n)) $ sono ortogonali a tutti i vettori di $ Im(T) $. so che l'ortogonalità, in generale, è soddisfatta se il prodotto scalare tra due qualsiasi vettori (diversi) del sistema ...

Salve a tutti, studiando metodi matematici, mi sono imbattuto nella convoluzione. Tutto mi è abbastanza chiaro, tranne quando espone queste due proprietà senza però alcun passaggio algebrico: -$ u(t)*u(t)=tu(t) $ - $ x*u(t)=int_(-oo )^(+oo ) x(s)u(t-s) ds=int_(-oo )^(t) x(s)ds $ P.S Dove ho messo il per si tratta di convoluzione, non sono riuscito a trovare il simbolo.

Per questo esercizio avrei una domanda sul "remark" che fa. Dimostra che per ogni \( N \in \mathbb{N} \) abbiamo \[ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{\log x} \sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(\log x)^n} + O_N \left( \frac{x}{(\log x)^{N+1}} \right) \] Remark: Questo dimostra che non è vero che \( \pi(x) = \frac{x}{\log x} + O\left( \frac{x}{(\log x)^A} \right) \) con \( A > 2 \). Ora non capisco bene come possa l'esercizio dimostrare il remark. In primo luogo se \(N=1 \) abbiamo che \[ ...

in un esercizio in cui $ F[g] $ è la trasformata di Fourier della funzione theta di heaviside $ g(t)=theta(T_2-|t|) $ ho appuntato che $ omega^kF[g](omega) $ per $ k=1 $ non è una trasformata di Fourier perchè non tende a 0 nel limite $ omega->oo $ volevo chiedervi se è corretto quello che ho scritto

ho la funzione $ f(z)=(z^3sin(π/z))/(z^3+1 $ di cui voglio calcolarne le singolarità. ho questi dubbi: facendo lo sviluppo di Laurent di $ sin(π/z) $ ho infinite potenze negative di $ z $ . allora $ z=0 $ è una singolarità essenziale. confermate? altro dubbio: non riesco a studiare la singolarità a $ z=oo $ , potete spiegarmi per favore come si fa? il mio prof dice che poichè a $ z=oo $ lo sviluppo ha solo potenze negative, non c'è singolarità a ...

devo calcolare le singolarità di $ f(z)=z^2/sinz $ $ z=0 $ è una singolarità eliminabile perchè $ lim_(z -> 0)f(z)=0 $ $ z=kpi,k∈Z $ sono anch'esse delle singolarità eliminabili perchè il risultato del limite è sempre 0 è giusto?

Vi propongo questo esercizio che trovo molto affascinante (non ho la soluzione, cioè ho la mia soluzione, sono abbastanza sicuro sia giusta) Esercizio: Sia \(M\) una superficie di Riemann, sia \(f \in \mathcal{H}(M)\) e \( g \in \mathcal{M}(M) \), dimostra che se \(M\) è compatto allora \(f\) è costante e \(g\) è suriettiva. Ricordo le seguenti definizioni Definizione 1: Una superficie di Riemann \(M\) è una varietà topologica bidimensionale, connessa, di Hausdorff con una base numerabile ...

Non capisco come mai un funzionale che definisce sia ben definito in una parte della dimostrazione del teorema. Enunciato: Sia \(V\) uno spazio vettoriale reale, e \( p : V \to \mathbb{R} \) un funzionale sotto-lineare. Supponiamo il dominio di \(f\), \( D(f) \subset V \) sia un sotto-spazio vettoriale, e \( f: D(f) \to \mathbb{R} \) sia un funzionale lineare. Se \( f(x) \leq p (x) \) per ogni \( x \in D(f) \) allora esiste un funzionale lineare \( F: V \to \mathbb{R} \) tale che \[ F ...

si vuole dimostrare che l'operatore $ i*d/dx $ su $ L^2(RR) $ è autoaggiunto. la dimostrazione, che ho capito, dimostra che $ (d/dx)^+=-d/(dx $ avendo indicato col simbolo $ + $ l'aggiunto dell'operatore. da ciò si conclude che $ (i*d/(dx))^+=i*d/dx $ ma non riesco a capire perchè, nell'ultimo passaggio, non ci sia più il segno meno...

Le note mi dicono che \[ \sum_{\rho } \frac{1}{\left| \rho \right|^{\sigma} } < \infty \] per \( \sigma > 1 \), dove \( \rho \) sono gli zeri non banali della zeta di Riemann. Ed è banale perché segue dal fatto che se \(f\) è una funzione intera è di ordine \( \alpha \) allora per ogni \(R \geq 1 \) risulta che \[ \sum_{ \left| \rho \right| \leq R} 1 \ll R^{\alpha + \epsilon } \] per ogni \( \epsilon >0 \) e dove \(\rho \) sono gli zeri di \(f\) (contati con la loro molteplicità). Allora io mi ...

Sono un poco confuso dal seguente esercizio... Dimostra che \( \Gamma(s) \) può essere scritto, per \( \Re(s) > 0 \), come integrale, \[ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^s \frac{dt}{t} \] Ora vado nelle note del corso. Capitolo 7: La funzione zeta 7.1 La funzione Gamma Definizione: La funzione Gamma \(\Gamma(s) \) è definita inizialmente ponendo \[ \Gamma(s) := \int_0^{\infty} e^{-t} t^{s-1} dt \] l'integrale converge assolutamente nel semipiano \( \Re(s) > 0 \), dunque definisce una ...

Per le serie di potenze complesse abbiamo che la convergenza normale è equivalente alla convergenza uniforme su tutti compatti. Una direzione non riesco a farla, l'altra forse, secondo voi va bene? Per alleggerire la notazione invece di scrivere \( \sum\limits_{k} a_k (z - z_0)^k \) suppongo \(z_0 =0 \). Infatti basta fare un ricentraggio della serie di potenze. Una serie converge uniformemente su un insieme \( K \) se converge e se \[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - ...

Buongiorno, sono alle prese con una dimostrazione di fisica. Ma il mio problema è di natura matematica e riguarda il seguente integrale improprio (ho omesso il termine numerico che moltiplica l'integrale): $ psi (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi (k) e^(ikx) dk $ voglio scrivere il complesso coniugato della funzione psi e capire sotto quali condizioni essa appartiene ai reali. Per cui: $ psi^(** ) (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi^(**)(k) e^(-ikx) dk $ a questo punto, seguendo le dispense, si compie un cambio di variabile, $krarr -k$ e il testo aggiunge che il cambio ...

Salve, devo calcolare un certo integrale della soluzione fondamentale dell'eq. di Laplace ma non so bene come fare. Ricordo che la soluzione fondamentale è definita su $RR^n\setminus {0}$ con $n>=3$ come $\Phi(x)=c|x|^(2-n)$ per una opportuna costante $c$. L'integrale da calcolare è (fissato $x\in RR^n\setminus {0}$) $\Psi_\Phi(r)=\int_{\partial B_r(x)}\Phi(y)dS_y$ con l'ovvio significato dei simboli, quindi fondamentalmente $\int_{\partial B_r(x)}\|y|^(2-n)dS_y$. Ora, se $r<|x|$, si ha $\bar{B}_r(x)\subseteq RR^n\setminus {0}$ e ...

Sia \( \epsilon > 0 \). Dimostra che per \( \left| \arg s \right| \leq \pi - \epsilon \) risulta che \[ \frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)} = \log s - \frac{1}{2s} + O \left( \frac{1}{\left| s \right|^2 } \right) \] Hint: One may try to use Cauchy's integral formula. Allora le soluzioni dicono questo, nello step 2 ho un dubbio soltanto nell'ultimo passaggio. E nella conclusione non capisco un paio di disuguaglianze che fa. Step 1: Dimostriamo che per \( \left| \arg ( s) \right| \leq \pi - ...

Vero o falso? Se vero dimostra se falso controesempio. 1) Sia \(n \in \mathbb{N} \), non esiste alcuna funzione olomorfa \( f: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} \) tale che \( \{ f = 0 \} = \partial B_1^n(0 ) \), dove \( B_1^{n}(0) \subseteq \mathbb{C}^n \) denota la palla unitaria rispetto alla norma euclidea 2) Esiste un unica funzione olomorfa \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) tale che \( \{ f= 0 \} = \{ 1 +ni : n \in \mathbb{N} \} \) e \( f(0)=1\). Direi che 1) è falso perché considero \( f ...

Supponiamo che la serie di Dirichlet \( f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s} \) converge assolutamente per \( \Re(s)>1 \). Sia \( A(\xi)= \sum_{n \leq \xi} a_n \). Inoltre per qualche \(b > 1 \) sia \( B(b) = \int_1^{\infty} \frac{ \left| A(\xi) \right|}{\xi^{b+1}}d \xi \). Per \( x \geq 1 \) e \( T \geq 2 \) dimostra che \[ \int_1^x A(\xi)d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{b-iT}^{b+iT} \frac{f(s)}{s(s+1)} x^{s+1} ds + R \] dove \[ \left| R \right| \leq C_0 \left( B(b) \frac{x^{b+1}}{T} + 2^b ...

Ciao avrei bisogno di aiuto per questo esercizio. Si determini la funzione f tale che la funzione: $ hat(f(k)) = e^(ik\cdot y)/((2pi)^(3/2)|k|^2) $ è la sua trasformata, dove $ k in R^3, y in R^3 $ . Da quello che ho capito bisognerebbe usare la trasformata di Fourier di una distribuzione e la proprietà che: $ <hat (f), phi> = <f, hat(phi)> $ quindi parto dicendo che: $ int dk hat (f(k)) phi(k) = int dk hatf(k) *1/(2pi)^(3/2)intdx e^(ik*x)hat(phi(x)) $ da qui dovrei risolvere fino ad arrivare a una cosa della forma $ int dx f(x)hat(phi(x)) $ da cui ho f per la proprietà che ho detto all'inzio. Vorrei intanto sapere ...

Trova un'estensione meromorfa della \( \zeta \) su \( \Re(s) > 0 \) e dimostra che la sua serie di Laurent in \(s=1\) è \[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(\left| s-1 \right| ) \] dove \[ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}} \frac{1}{j} - \log n \right) \] Ho un problemino con la costante di Eulero-Mascheroni e con l'O grande. L'estensione meromorfa trovata è \[ \zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} - s \int_1^{\infty} \frac{\psi(t)}{t^{s+1}}dt \] dove ...

data $ f:[-π,π]->C $ con $ C $ campo complesso, si definisce $ phi (f)(x)=f(2arctan(x))√((2)/(1+x^2)) $ . mostrare che $ phi $ è un operatore da $ L^2([-π, π] $ ) a $ L^2(R) $ ovvero se $ f(t) $ è una funzione a quadrato sommabile di $ t∈[-π,π] $ allora $ phi (f)(x) $ è una funzione a quadrato sommabile di $ x∈R $. mostrare inoltre che $ phi $ preserva il prodotto scalare. sulla base di un esercizio svolto in precedenza penso che si ...