Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Per questo esercizio avrei una domanda sul "remark" che fa.
Dimostra che per ogni \( N \in \mathbb{N} \) abbiamo
\[ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{\log x} \sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(\log x)^n} + O_N \left( \frac{x}{(\log x)^{N+1}} \right) \]
Remark: Questo dimostra che non è vero che \( \pi(x) = \frac{x}{\log x} + O\left( \frac{x}{(\log x)^A} \right) \) con \( A > 2 \).
Ora non capisco bene come possa l'esercizio dimostrare il remark.
In primo luogo se \(N=1 \) abbiamo che
\[ ...
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Studente Anonimo
9 gen 2021, 14:37
in un esercizio in cui $ F[g] $ è la trasformata di Fourier della funzione theta di heaviside $ g(t)=theta(T_2-|t|) $ ho appuntato che $ omega^kF[g](omega) $ per $ k=1 $ non è una trasformata di Fourier perchè non tende a 0 nel limite $ omega->oo $
volevo chiedervi se è corretto quello che ho scritto
ho la funzione $ f(z)=(z^3sin(π/z))/(z^3+1 $ di cui voglio calcolarne le singolarità.
ho questi dubbi:
facendo lo sviluppo di Laurent di $ sin(π/z) $ ho infinite potenze negative di $ z $ . allora $ z=0 $ è una singolarità essenziale. confermate?
altro dubbio: non riesco a studiare la singolarità a $ z=oo $ , potete spiegarmi per favore come si fa? il mio prof dice che poichè a $ z=oo $ lo sviluppo ha solo potenze negative, non c'è singolarità a ...
devo calcolare le singolarità di $ f(z)=z^2/sinz $
$ z=0 $ è una singolarità eliminabile perchè $ lim_(z -> 0)f(z)=0 $
$ z=kpi,k∈Z $ sono anch'esse delle singolarità eliminabili perchè il risultato del limite è sempre 0
è giusto?
Vi propongo questo esercizio che trovo molto affascinante (non ho la soluzione, cioè ho la mia soluzione, sono abbastanza sicuro sia giusta)
Esercizio:
Sia \(M\) una superficie di Riemann, sia \(f \in \mathcal{H}(M)\) e \( g \in \mathcal{M}(M) \), dimostra che se \(M\) è compatto allora \(f\) è costante e \(g\) è suriettiva.
Ricordo le seguenti definizioni
Definizione 1:
Una superficie di Riemann \(M\) è una varietà topologica bidimensionale, connessa, di Hausdorff con una base numerabile ...
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Studente Anonimo
23 gen 2021, 03:51
Non capisco come mai un funzionale che definisce sia ben definito in una parte della dimostrazione del teorema.
Enunciato:
Sia \(V\) uno spazio vettoriale reale, e \( p : V \to \mathbb{R} \) un funzionale sotto-lineare. Supponiamo il dominio di \(f\), \( D(f) \subset V \) sia un sotto-spazio vettoriale, e \( f: D(f) \to \mathbb{R} \) sia un funzionale lineare.
Se \( f(x) \leq p (x) \) per ogni \( x \in D(f) \) allora esiste un funzionale lineare \( F: V \to \mathbb{R} \) tale che
\[ F ...
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Studente Anonimo
20 gen 2021, 21:01
si vuole dimostrare che l'operatore $ i*d/dx $ su $ L^2(RR) $ è autoaggiunto.
la dimostrazione, che ho capito, dimostra che $ (d/dx)^+=-d/(dx $ avendo indicato col simbolo $ + $ l'aggiunto dell'operatore.
da ciò si conclude che $ (i*d/(dx))^+=i*d/dx $
ma non riesco a capire perchè, nell'ultimo passaggio, non ci sia più il segno meno...
Le note mi dicono che
\[ \sum_{\rho } \frac{1}{\left| \rho \right|^{\sigma} } < \infty \]
per \( \sigma > 1 \), dove \( \rho \) sono gli zeri non banali della zeta di Riemann. Ed è banale perché segue dal fatto che se \(f\) è una funzione intera è di ordine \( \alpha \) allora per ogni \(R \geq 1 \) risulta che
\[ \sum_{ \left| \rho \right| \leq R} 1 \ll R^{\alpha + \epsilon } \]
per ogni \( \epsilon >0 \) e dove \(\rho \) sono gli zeri di \(f\) (contati con la loro molteplicità).
Allora io mi ...
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Studente Anonimo
11 gen 2021, 20:19
Sono un poco confuso dal seguente esercizio...
Dimostra che \( \Gamma(s) \) può essere scritto, per \( \Re(s) > 0 \), come integrale,
\[ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^s \frac{dt}{t} \]
Ora vado nelle note del corso.
Capitolo 7: La funzione zeta
7.1 La funzione Gamma
Definizione:
La funzione Gamma \(\Gamma(s) \) è definita inizialmente ponendo
\[ \Gamma(s) := \int_0^{\infty} e^{-t} t^{s-1} dt \]
l'integrale converge assolutamente nel semipiano \( \Re(s) > 0 \), dunque definisce una ...
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Studente Anonimo
7 gen 2021, 04:03
Per le serie di potenze complesse abbiamo che la convergenza normale è equivalente alla convergenza uniforme su tutti compatti.
Una direzione non riesco a farla, l'altra forse, secondo voi va bene?
Per alleggerire la notazione invece di scrivere \( \sum\limits_{k} a_k (z - z_0)^k \) suppongo \(z_0 =0 \). Infatti basta fare un ricentraggio della serie di potenze.
Una serie converge uniformemente su un insieme \( K \) se converge e se
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - ...
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Studente Anonimo
1 dic 2019, 19:00
Buongiorno,
sono alle prese con una dimostrazione di fisica. Ma il mio problema è di natura matematica e riguarda il seguente integrale improprio (ho omesso il termine numerico che moltiplica l'integrale):
$ psi (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi (k) e^(ikx) dk $
voglio scrivere il complesso coniugato della funzione psi e capire sotto quali condizioni essa appartiene ai reali.
Per cui: $ psi^(** ) (x,o)=int_(-oo )^(oo ) phi^(**)(k) e^(-ikx) dk $
a questo punto, seguendo le dispense, si compie un cambio di variabile, $krarr -k$ e il testo aggiunge che il cambio ...
Salve, devo calcolare un certo integrale della soluzione fondamentale dell'eq. di Laplace ma non so bene come fare.
Ricordo che la soluzione fondamentale è definita su $RR^n\setminus {0}$ con $n>=3$ come $\Phi(x)=c|x|^(2-n)$ per una opportuna costante $c$.
L'integrale da calcolare è (fissato $x\in RR^n\setminus {0}$) $\Psi_\Phi(r)=\int_{\partial B_r(x)}\Phi(y)dS_y$ con l'ovvio significato dei simboli, quindi fondamentalmente $\int_{\partial B_r(x)}\|y|^(2-n)dS_y$. Ora, se $r<|x|$, si ha $\bar{B}_r(x)\subseteq RR^n\setminus {0}$ e ...
Sia \( \epsilon > 0 \). Dimostra che per \( \left| \arg s \right| \leq \pi - \epsilon \) risulta che
\[ \frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)} = \log s - \frac{1}{2s} + O \left( \frac{1}{\left| s \right|^2 } \right) \]
Hint: One may try to use Cauchy's integral formula.
Allora le soluzioni dicono questo, nello step 2 ho un dubbio soltanto nell'ultimo passaggio. E nella conclusione non capisco un paio di disuguaglianze che fa.
Step 1:
Dimostriamo che per \( \left| \arg ( s) \right| \leq \pi - ...
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Studente Anonimo
7 gen 2021, 06:38
Vero o falso? Se vero dimostra se falso controesempio.
1) Sia \(n \in \mathbb{N} \), non esiste alcuna funzione olomorfa \( f: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} \) tale che \( \{ f = 0 \} = \partial B_1^n(0 ) \), dove \( B_1^{n}(0) \subseteq \mathbb{C}^n \) denota la palla unitaria rispetto alla norma euclidea
2) Esiste un unica funzione olomorfa \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) tale che \( \{ f= 0 \} = \{ 1 +ni : n \in \mathbb{N} \} \) e \( f(0)=1\).
Direi che 1) è falso perché considero \( f ...
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Studente Anonimo
27 dic 2020, 21:29
Supponiamo che la serie di Dirichlet \( f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s} \) converge assolutamente per \( \Re(s)>1 \). Sia \( A(\xi)= \sum_{n \leq \xi} a_n \). Inoltre per qualche \(b > 1 \) sia \( B(b) = \int_1^{\infty} \frac{ \left| A(\xi) \right|}{\xi^{b+1}}d \xi \). Per \( x \geq 1 \) e \( T \geq 2 \) dimostra che
\[ \int_1^x A(\xi)d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{b-iT}^{b+iT} \frac{f(s)}{s(s+1)} x^{s+1} ds + R \]
dove
\[ \left| R \right| \leq C_0 \left( B(b) \frac{x^{b+1}}{T} + 2^b ...
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Studente Anonimo
6 gen 2021, 21:17
Ciao avrei bisogno di aiuto per questo esercizio.
Si determini la funzione f tale che la funzione:
$ hat(f(k)) = e^(ik\cdot y)/((2pi)^(3/2)|k|^2) $
è la sua trasformata, dove $ k in R^3, y in R^3 $ .
Da quello che ho capito bisognerebbe usare la trasformata di Fourier di una distribuzione e la proprietà che:
$ <hat (f), phi> = <f, hat(phi)> $
quindi parto dicendo che: $ int dk hat (f(k)) phi(k) = int dk hatf(k) *1/(2pi)^(3/2)intdx e^(ik*x)hat(phi(x)) $
da qui dovrei risolvere fino ad arrivare a una cosa della forma $ int dx f(x)hat(phi(x)) $ da cui ho f per la proprietà che ho detto all'inzio.
Vorrei intanto sapere ...
Trova un'estensione meromorfa della \( \zeta \) su \( \Re(s) > 0 \) e dimostra che la sua serie di Laurent in \(s=1\) è
\[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(\left| s-1 \right| ) \]
dove
\[ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}} \frac{1}{j} - \log n \right) \]
Ho un problemino con la costante di Eulero-Mascheroni e con l'O grande.
L'estensione meromorfa trovata è
\[ \zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} - s \int_1^{\infty} \frac{\psi(t)}{t^{s+1}}dt \]
dove ...
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Studente Anonimo
6 gen 2021, 05:34
data $ f:[-π,π]->C $ con $ C $ campo complesso, si definisce $ phi (f)(x)=f(2arctan(x))√((2)/(1+x^2)) $ .
mostrare che $ phi $ è un operatore da $ L^2([-π, π] $ ) a $ L^2(R) $ ovvero se $ f(t) $ è una funzione a quadrato sommabile di $ t∈[-π,π] $ allora $ phi (f)(x) $ è una funzione a quadrato sommabile di $ x∈R $. mostrare inoltre che $ phi $ preserva il prodotto scalare.
sulla base di un esercizio svolto in precedenza penso che si ...
dati $ alpha,A $ due parametri reali, si consideri la funzione reale di due variabili reali x,y
$ u(x,y)=1+x^α-Axy^2 $ .
ho già mostrato che deve essere $ α=A=3 $ affinchè $ u(x,y) $ sia la parte reale di una funzione olomorfa $ f(z) $ .
ora l'esercizio mi chiede però di determinare anche la funzione $ v(x,y) $ e dunque $ f(z) $ assumendo che $ f(0)=1 $
come si deve procedere?
Problema:
Per ogni $n in NN\setminus \{0\}$ si ponga:
$I(n) := int_(-oo)^(+oo) ((sin x)/x)^n "d"x$.
Provare che:
0. $I(n)$ è ben definito;
1. risulta $I(n) > 0$ per ogni $n in NN\setminus \{0\}$;
2. la serie $sum_(n =1)^oo I(n)$ diverge;
3. la serie $sum_(n =1)^oo 1/n I(n)$ converge.
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