Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti,
ho dei dubbi sulle condizioni per cui un integrale esiste.
Per un integrale sull’asse reale, mi sembra di aver capito che per esistere deve soddisfare le due seguenti condizioni:
$ I=int_{-oo}^{+oo}f(x)dx $
1. non avere singolarità sul cammino di integrazione (in questo caso asse reale)
2. f(x) deve andare a 0 più velocemente di 1/x per x che tende a $\pmoo$.
E’ corretto affermare quanto sopra? Inoltre il punto 2 è equivalente a riscriverlo come $ lim_(x -> \pmoo) x*f(x)=0 $ ma non ...
Ciao!
Sapreste dirmi qual è, secondo voi, uno dei migliori testi universitari per studiare PDE (per neofiti)?
Mi riferisco a un libro per studenti universitari di corsi di laurea triennale (o magistrale).
Salve, mi sono imbattuta in questo esercizio di analisi funzionale e non riesco a risolverlo... qualcuno potrebbe aiutarmi?
Dato \(\displaystyle X=C([-1,1]) \) spazio lineare normato delle funzioni continue \(\displaystyle f:[-1,1]\rightarrowℝ \), dotato di norma \(\displaystyle \parallel \cdotp\parallel\infty\). Dato
A= \(\displaystyle \{f \in C^1([-1,1]) : \mid f(0)\mid + \mid f'(x)\mid \leqslant 10 \ \forall x\in[-1,1] \} \).
A è precompatto in X?
Ciao. Ho questo esercizietto, che può essere cretino ma ho avuto dei problemi.
Esercizio 1. Per \(n \in \mathbb N\) e \(x \in [0, 1]\), si consideri la funzione \(u_n : [0, 1] \to \mathbb R\), \(u_n (x) := (n + 3)x(1-x)^n\). Inoltre, sia \(v : [0, 1] \to \mathbb R\) una funzione integrabile secondo Lebesgue in \([0, 1]\).
(a) Discutere la misurabilità e l’integrabilità secondo Lebesgue in \([0, 1]\) della funzione prodotto \(f_n = u_nv\), con \(x \in [0, 1]\) e \(n \in \mathbb ...
Ciao, è uno dei primi esercizi di Teoria della Misura che faccio di questo tipo quindi avrei bisogno di qualche indiaczione.
Esercizio. Considerare la serie di funzioni \[s(x) := \sum_{n = 1}^\infty \frac{x^n}{2n \arctan (3n^2)} \quad\text{dove } x \in [-1, 1] .\] (1) Discutere convergenza quasi ovunque, quasi uniforme e in misura della serie
(2) Per gli \(x \in [-1, 1]\) per cui \(s(x)\) è definita, valutare misurabilità e integrabilità alla Lebesgue di \(s\) in \([-1, 1]\) ...
Devo calcolare il seguente limite per trovare il residuo della mia f(z):
$ f(z) = (sen (z)) / (z^3 * (z-pi)^2 ) $
Ho trovato le singolarità, una di questa è z=0 che è un polo del secondo ordine per f(z).
Quando vado a calcolare il residuo della f in 0, dovrei avere una cosa del genere.
$ R(f(z), 0) = lim per z->o (d/dz)[(sen (z)) / (z * (z-pi)^2 )] $
Posso considerare che sen (z) / z è un limite notevole, nonostante sia all'interno di una derivata prima? Non ricordo le proprietà
Allora purtroppo non ho visto queste cose nel corso base di teoria della misura che ho fatto. Faccio notare solo che queste cose sono di un corso di Teoria dei numeri, e quindi il prof non ha spiegato i concetti legati alla teoria della misura dandoli per assodati, io purtroppo non potevo presenziare a quella lezione e non ho potuto chiedergli chiarimenti. Perché nella dimostrazione del seguente teorema ci sono alcuni punti che non mi sono chiari. La cosa non chiara è: cosa vuol dire per una ...
Ciao a tutti, ho questa funzione da sviluppare in serie di Laurent centrata in z=0 e convergente in 2i.
$ f(z) = (z^3 + 1) / (z^3 - 1) $
Non ho idea da dove cominciare
Dovrei calcolare lo sviluppo in serie di laurent e il residuo (nello stesso punto) di questa funzione:
$ f(z) = (z-1)^2 / (z+1)^3 + z*e^(z+1) / (z+1) $
Centrata in z=1.
Nella prima parte dovrei esserci ma vorrei avere delle sicurezze, mentre per la seconda parte non so come trattare quel z che moltiplica l'esponenziale. Mi è venuto in mente di considerare solo il rapporto tra l'esponenziale e il (z+1) visto che z in -1 è olomorfa però non so se è corretto agire in questo modo.
Salve a tutti, vorrei sapere come impostare questa equazione di 3° grado nel campo complesso, non so davvero da dove iniziare.... ringrazio anticipatamente chi potra darmi una mano!
$ (1+i)z^3+2(2+i)z^2+3z=0 $
Salve, mi trovo alle prese con questa equazione nel campo complesso di 4° grado.. qualcuno potrebbe darmi qualche dritta per impostarla ? grazie mille! $ ((z+i)/(z-2))^4=1 $
Salve ragazzi, mi servirebbe un aiuto con questa serie di Laurent. Non so come centrare in Z=3 il termine 1/(z-2)^2 che mi esce quando vado a sviluppare i fratti semplici.
La f(z) = (z-1) / (z-2)^2 * (z-3)^2 e voglio lo sviluppo in seire di Laurent centrato in z=3 e convergente in z = 5/2.
Sviluppando in fratti semplici avrò A / z-2 + B / (z-2) ^2 + C / z-3 + D / (z-3) ^2 , una volta calcolati i coefficienti A=3, B=1, C=-3 e D=2 devo centrare i primi due termini in z=3.
Per il primo non ho ...
Salve a tutti, ho difficoltà a scrivere il campionamento della seguente funzione, perchè un punto è esterno all'intervallo di definizione.
$ f(t)= t*cost $ per $ -pi<=t<pi $
$ pi $ per $ t=pi $
A questo punto la funzione l'ho scritta attraverso i gradini come :
$ f(t)=tcost(u(t+pi)-u(t-pi)) $ dove $ u $ è la funzione gradino. Il dubbio però è, il punto $ pi $ esterno all'intervallo invece? non si considera? Grazie a tutti in anticipo.
Ciao a tutti sto avendo problemi con questi esercizi sulla trasformata di fourier, potete aiutarmi?
1. $f:R\rightarrow R$ la cui trasformata è $f*=\frac{3}{sqrt(2pi)(5+i\omega)}$. Si calcolino i seguenti integrali:
$\int_{-infty}^{infty}f(x)dx, \int_{-infty}^{infty}xf(x)dx, \int_{-infty}^{infty}x^2f(x)dx$
Su questo non ho avuto idee, non sono nemmeno riuscire ad calcolare l'antitrasformata, probabilmente c'è una seconda via.
2. Si dimostri che se $v(x,y)=(x^2-y^2)f(r)$ con $r=sqrt(x^2+y^2)$ è armonica in $R^2$ allora f è costante.
Sono passato in coordinate polari e ho ...
Ciao a tutti,
Vorrei chiedervi cosa dice il Lemma di Ricoprimento di Vitali (Vitali Covering Lemma).
Leggendo ciò che vi è scritto sul libro, non riesco a comprendere.
Guardando delle videolezioni sì.
Tuttavia, ciò che viene spiegato nelle videolezioni sembra essere molto diverso da ciò che c'è scritto sul libro, quindi vorrei sapere se le due "forme" del lemma sono equivalenti.
In entrambi i casi abbiamo un insieme $A sub R^d$ e una famiglia di palle chiuse disgiunte numerabili ...
Ciao a tutti,
leggendo una dimostrazione molto lunga di un teorema ho letto un'uguaglianza sulla quale ho qualche dubbio.
Consideriamo:
[*:3qqeyhib] una funzione $u(x,t) : (RR^n xx (0,+infty)) -> RR$
[/*:m:3qqeyhib]
[*:3qqeyhib] una palla n-dimensionale di centro $x_0$ e raggio $c(t_0-t)$
[/*:m:3qqeyhib]
[*:3qqeyhib] una sfera n-dimensionale di centro $x_0$ e raggio $c(t_0-t)$[/*:m:3qqeyhib][/list:u:3qqeyhib]
L'uguaglianza sulla quale ho dei dubbi è la seguente:
...
Buonasera, nello svolgimento di un esercizio viene applicato il teorema di Fubini Tonelli ma non riesco a dimostrare che può essere applicato. L'esercizio è il seguente:
$ u(s )\inL^2(0,1),\ v(t)\inL^2(0,1),\ K(t,s)\inL^2((0,1)\xx(0,1)) $
$\int_0^1(\int_0^1K(t,s)u(s)ds)v(t)dt=\int_{(0,1)\xx(0,1)}K(t,s)u(s)v(t)dsdt \ $per il teorema di Fubini Tonelli.
Per dimostrare che il teorema è applicabile devo dimostrare che $ f(s,t)\inL^2((0,1)\xx(0,1)) $ dove $ f(s,t)=K(t,s)u(s)v(t) $ . Io utilizzerei la disuguaglianza di Holder ma non saprei come fare perché applicando holder all'integrale interno otterrei che $ K(t,s)u(s)\inL^1((0,1)\xx(0,1)) $ ma ...
Ciao, sto preparando l'esame di Metodi Matematici e mi sono imbattuto in un esercizio sulla Z-Trasformazione e sto avendo alcune difficoltà nel trasformare e antitrasformare alcuni elementi.
L'esercizio è questo:
$ { ( y(n+2)+y(n+1)+y(n)=3cos^4(npi/2) ),( (y(0)=2,y(1)-3)):} $
Ho trasformato il primo membro e mi trovo
$ Y(z^2+z+1)-2z^2+3z-2z $
Come il libro, quindi corretto.
Il problema che ho è con la trasformazione del secondo membro, ovvero $ 3cos^4(npi/2) $
Il libro da come risultato $ 3z^2/(z^2-1) $ , usando la proprietà di riscalamento ...
ciao, vorrei avere conferma se sto risolvendo in modo corretto questo esercizio, perché il professore l'ha svolto in maniera differente da un certo punto in poi.
Il testo dice:
$ H=\mathcal{l}^2 $ $ T:H->H $ definito come $ Tx=(0,x_1,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},...,\frac{x_n}{n},...) \ \forallx=(x_1,x_2,...,x_n,...)={x_n}_{n\in\mathbbN\\{0}}\inH $
Dimostra che $ T $ è compatto.
Per dimostrare che $ T $ è compatto dimostro che è limite di una successione di operatori compatti $ (T_Nx)_n $ definita come $ (T_Nx)_n={ ( (T_Nx)_n\ \ \text{se}\ n\leqN ),( 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{se}\ n \geq N+1):} $.
( $ T_N:H->H $ è lineare e ...
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