Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Ed eccoci di nuovo qui.... con tanta incapacità in più
Non riesco a capire se le funzioni \( \mathrm{ \phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}([a,b]) } \) si annullino o meno sul bordo di $[a,b]$. Sto facendo cenni di calcolo delle variazioni e ogni volta che incontro un termine del tipo \( \Big[ f(x)\phi(x) \Big]_{x=a}^{x=b} \), il quale esce da una integrazione per parti, mi sento dire che fa 0. Mi direste il motivo? c_c
Salve,
risolvendo un esercizio, cercando poi in rete riscontri, ho trovato una valanga di discordanze.
Ho la serie:
$\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x)$
La soluzione che trovo molto semplice è la seguente:
$\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) - \frac1\2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(2nx)$
Cercando di qui e di là scopro che vi sono svariate "visioni" riguardo questa asserzione:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) = \frac{\pi-x}{2}$
Altri testi forniscono come soluzione $pi/2$
In aggiunta potrei dire che la serie potrebbe essere uguale a:
$\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)}\sin((2n+1)x)$
che dovrebbe appunto essere uguale a ...
Salve a tutti, potete confermarmi se ho sviluppato bene la serie di Taylor di punto iniziale 0, della seguente funzione in $ |z|<3 $ :
$ f(z)=(z^2-7z+3)/((z-3)^2(z+6)) $ $ =-1/(z-3)^2+1/(z+6) $
E $ 1/(z+6) $ serie geometrica di ragione $ (-z/6) $ lo sviluppo così:
$ 1/6*1/(1-(-z/6) $ $ =1/6 sum_(n = \0) (-z/6)^n $
Mentre $ -1/(z-3)^2 $ :
$ -sum_(n = \1) (n/(3^(n+1))z^(n-1)) $
Fatta bene? Grazie a tutti.
Salve a tutti, ho iniziato a fare esercizi sulle trasformate di Fourier e volevo capire una cosa. Preso questo segnale, di cui ho fatto la trasformata di Fourier sotto :
$ x(t)=-t[u(t+pi)-u(t)]+pi[u(t)-u(t-pi)] $
$ X(w)=e^(-ipiw)/w^2-1/w^2-(pii)/w $ ho visto che in numerosi esercizi, per ricavare la trasformata di Fourier in zero, usa fare il limite, però in questo caso, nel ricavare $ X(0) $ il $ lim_(w -> 0) X(w) $ viene $ -oo $. Mentre
se facessi $ X(0)= -int_(-pi)^(0) t dt +piint_(0)^(pi) dt =3/2pi^2 $ . Come mai questa cosa?
Buonasera a tutti,
stu studiando i sistemi di equazioni alle derivate parziali del prim'ordine di tipo iperbolico, in particolare il sistema di equazioni di Eulero usate in gasdinamica.
Per questi problemi, sappiamo che non possiamo risalire alla soluzione per mezzo del metodo della caratteristiche poiché la gli autovalori sono funzione delle variabili.
Pertanto, se consideriamo il problema:
$ (partial vec(u))/(partial t) + A(partialvec(u))/(partial x) =vec(0) $
e sfruttiamo la definizione di autovettore sinistro:
$ vec(l)^[k} A = lambda ^{k}vec(l)^{k} $
lungo la ...
Buongiorno a tutti, non so in che topic sarebbe più corretto ma ho bisogno di aiuto con questo esercizio,prova di esame, di Intelligenza Artificiale.
Si consideri la funzione reale di variabile reale $r$ tale che
$r(x)=h(x-2)-h(x-4)$
dove $h$ è la funzione reale di variabile reale $f$ tale che
$(f$*$r)(t)=t-3$
dove il simbolo * rappresenta l'operazione di convoluzione.
Rispondere alle seguenti domande giustificando adeguatamente le ...
Salve date queste tre funzioni( $ u(t) $ funzione di Heaviside):
-$ e^(-t)u(t)*delta (t-1) $
- $ e^(-t)u(t)*delta (t+1) $
- $ delta(t)*u(t-1) $
È possibile scrivere che le tre valgono in ordine:
- $ e^-1*delta(t-1) $
-$ 0 $
-$ 0 $
Cioè è possibile applicare la proprietà della delta di dirac
$ alpha (t)delta(t-t0)=alpha (t0)delta(t-t0) $ ?
Salve a tutti, ho la seguente funzione :
$ (z^2+pi^2-2)/((z-pi)^2(piz-1)) $
Il problema è che non riesco a trovare il polinomio iniziale una volta usati i residui. Infatti mi risulta che:
$ A/(z-pi)+B/(z-pi)^2+C/(piz-1) $
Dove
-$ A=lim_(z -> pi)d/dz(z^2+pi^2-2)/(piz-1)=0 $
-$ B=lim_(z -> pi)(z^2+pi^2-2)/(piz-1)=2 $
- $ C=lim_(z -> 1/pi) (z^2+pi^2-2)/((z-pi)^2)=1/pi $
E quindi:
$ 2/(z-pi)^2+1/(pi(piz-1))=(2pi^2z-2pi+z^2+pi^2-2piz)/(pi*(z-pi)^2(piz-1) $
E non mi ritrovo il polinomio iniziale, dov'è che sbaglio?
Salve a tutti, ho il seguente segnale :
$ x(t)=t $ con $ 0<t<tau $
Il segnale è dispari, ma nonostante ciò il termine $ ao=tau /2 $ mentre il termine $ ak=0 $ .
Come mai?
Scrivere la serie di Fourier del seguente segnale:
$ x(t)=1-3t $ con $ 0<=t<1/3 $ di periodo $ T=1/3 $ e quindi $ wo=6pi $
Il mio dubbio è che ho sbagliato a calcolare il termine ak, perchè nell'andare a calcolarlo
$ ak=6*int_(0)^(1/3) (1-3t)(cos(6pikt)) dt $ viene zero, in quanto come risultato finale esce
$ ak=(1-cos2kpi)/(2pi^2k^2) $ e sia per k dispari, che per k pari questo termine è nullo con $ k∈N $ .Però il segnale non è dispari e nemmeno pari.
Ho sbagliato io a fare i calcoli o ...
Salve a tutti, trovo difficoltà nel capire se questo segnale a tratti di periodo 2pi è pari/dispari e come si disegna.
$ x(t)= { ( -t \ se -pi<t<0 ),( pi \ se \ \ 0<t<pi ):} $
Salve,
sto preparando l'esame di Analisi 2 e ho qualche dubbio sulle Serie di Fourier.
La funzione fornita in questi tipo di esercizi è quasi sempre già sviluppata in serie. Ora il mio dubbio sorge per il grado 2 del seno, è possibile che appaiano funzioni trigonometriche con gradi > 1 nelle serie di Fourier? A quale termine dovrebbe corrispondere?
L'esercizio in questione è questo :
L'"open ball" definita con distanza 1 $ B_{d_1}(f,r) $ è definita nel seguente modo $ B_{d_1}(f,r):={g\inC°[a,b] : int_a^b\abs{f(x)-g(x)}dx<r} $ dove $ r $ è il raggio e $ f,g\inC°[a,b] $ ( $ C°[a,b] $ insieme delle funzioni continue in $ [a,b] $ ).
graficamente a lezione sono stati realizzate queste rappresentazioni dove in nero abbiamo la funzione $ f $ e in verde e rosso due possibili casi della funzione $ g $.
la mia interpretazione al secondo caso è ...
Utilizzando il teorema dei residui calcolare $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sqrt{x}\log(x)}{x^3-1}dx$.
Questo è il mio tentativo.
La prima osservazione è che l'integranda è sommabile su $(0,+\infty)$.
Poniamo $f(z)=\frac{\sqrt{z}\log(z)}{z^3-1}$ dove per $\sqrt{z}$ e $\log(z)$ scegliamo la stessa determinazione, imponendo $\arg(z)\in [0,2\pi)$.
Ora, $f(z)$ ha in $z=0$ un punto di diramazione (non credo sia ulteriormente classificabile), in $z=1$ una singolarità eliminabile, in $z=e^{\frac{i2\pi}{3}},e^{\frac{i4\pi}{3}}$ due ...
Salve a tutti, trovo difficoltà a disegnare i grafici di segnali e ad analizzarne il periodo quando devo calcolare i coefficienti. Presi due esercizi che hanno periodicità $ 2pi $ :
$ x(t)={ ( 1 \ se \ \ 0<=t<pi/2 ),( 0 \ se \ pi/2<=t<pi ):} $
L'altro esercizio è :
$ x(t)={ ( 1 \ se \ \ 0<=t<pi ),( 0 \ se \ pi<=t<2pi ):} $
Sono esercizi che ho preso online e la soluzione dice che il primo è un segnale dispari, mentre il secondo non è nè pari nè dispari. Volevo chiedere a voi esperti come si fa a capire quando un segnale a tratti è pari o è dispari. Grazie in ...
Salve a tutti, volevo chiedere a voi esperti, come si fa a riconoscere una funzione assolutamente continua. La definizione di assoluta continuità di una funzione dice infatti :
Sia f una funzione continua su [a,b] si dice assolutamente continua se è deribabile quasi ovunque, dx/dt ∈ L^1[a,b] e ∀t∈[a,b] risulta $ x(t)=x(a)+int_(a)^(t) dx/dt(s) ds $ .
Preso un esempio :
$ x(t)=(1+t)[u(t+1)-u(t)]+(1-t)[u(t)-u(t-1)] $
Il libro deriva nel senso delle distribuzioni e dice che la sua derivata è quella ordinaria, in quanto x(t) è assolutamente ...
Salve, sto avendo dei problemi sull'argomento convergenza della serie di Fourier, ho capito questo, datemi conferma:
Per $f \in L^2[a,b]$ la convergenza in $L^2$ è garantita sempre e la convergenza puntuale quasi ovunque
Per $f \in L^1[a,b]$ non è garantita né la convergenza in $L^1$ ne quella puntuale. Ma quali sono le condizioni per cui si ha convergenza in $L^1$ e/o puntuale? (Se esistono)
Salve a tutti. Nel fare la trasformata del gradino il libro scrive $ F<span class="b-underline">= v.p. 1/(jw)+pidelta $ . Volevo capire da voi esperti che significato ha quel v.p. davanti al valore calcolato e perchè quel risultato. Grazie in anticipo.
Salve a tutti, ho iniziato a studiare le funzioni a quadrato sommabili e tutta la teoria che ne concerne. Sono arrivato al fatto che se una funzione è di L2 allora essa si può scrivere come :
$ ||x||^2=T*|ao|^2+T/2sum_(k = \1 ) (|ak|^2+|bk|^2)=sum_(k = \-oo ) |Ck|^2 $
Da qui dice che questa formula implica che :
$ lim_(k -> oo ) ak=lim_(k -> oo )bk=lim_(k -> oo )Ck=0 $ e non capisco come mai. Qualcuno potrebbe spiegarmi? Grazie mille.
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