Come risolvere questa Z-antitrasformata?

[Omi1]

Salve a tutti,non capisco come risolvere questa anti trasformata di Z:
$ Zu^-1[d/dz(z+1)/(z^2+z+1)] $

Grazie a tutti in anticipo!

[Quinzio]

Un po' in ritardo, ma con la pausa estiva in mezzo, forse questo post e' ancora attuale.

Abbiamo...

$Z {x_1[n]}(z) = d/{dz} (z+1)/(z^2+z+1)$,

$Z {x_1[n]}(z) = (-z^{-1}) (-z d/{dz} (z+1)/(z^2+z+1))$.

Quindi il secondo passaggio (shift temporale e inversione di segno): se $x_1[n] = -x_2[n-1]$,

siccome $Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)$, allora

$Z {x_2[n]}(z) = -z d/{dz} (z+1)/(z^2+z+1)$.

Terzo passaggio (differenziazione): $x_2[n] = n x_3[n]$

$Z {x_3[n]}(z) = (z+1)/(z^2+z+1)$.

Quarto passaggio (additivita' e shift temporale): riscriviamo $(z+1)/(z^2+z+1)$ come $(1+z^{-1}) z/(z^2+z+1)$.

Possiamo individuare nel primo fattore $1+z^{-1}$ una sequenza a cui si aggiunge la stessa sequenza shiftata, ovvero, in formule:

$x_3[n] = x_4[n] + x_4[n-1]$

da cui:

$Z {x_4[n]}(z) = z/(z^2+z+1)$.

A questo punto si riconosce la forma:

$Z{sin(n \omega_0) u[n]} (z) = {z sin (\omega_0)} / {z^2 + 2z cos(\omega_0)+1} $,

con $\omega_0 = \pi / 3$ e quindi $sin (\omega_0) = sqrt 3 / 2$



Finalmente siamo riusciti a esplicitare una prima sequenza:

$x_4[n] = 2/ sqrt 3 sin(n \pi /3) u[n]$

da cui:

$x_3[n] = x_4[n] + x_4[n-1] = 2/ sqrt 3 ( sin(n \pi /3) u[n] +sin((n-1) \pi /3) u[n-1]) $

e poi si risale alla $x_2[n]$ e quindi alla $x_1[n]$ usando le formule scritte in precedenza.

Tutti i passaggi sono riconoscibili qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_zeta