Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Nell'ambito del controllo ottimo si parla spesso di controlli misurabili.
Ma se un controllo è in generale una funzione $\alpha:[0,T] \rightarrow A$ dove $A$ è uno spazio topologico qualsiasi, qual'è la definizione di funzione misurabile tra spazi topologici?
Salve a tutti.
Vorrei chiedere aiuto sulla risoluzione del presente integrale.
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\cdot e^x}{1+e^{4x}}\text{d}x$
Vorrei risolverlo in campo complesso. La funzione si trasforma nella seguente
$\frac{z\cdot e^z}{1+e^{4z}}$
con l'integrale sulla curva \(\displaystyle \gamma \) una spezzata chiusa.
Prima domanda:
Ho letto, poiché la funzione al denominatore è una funzione periodica, anziché una semicirconferenza, si sceglie un rettangolo. Perché?
Per semplicità si sceglie un rettangolo, composto dai seguenti ...
Buonasera a tutti, avrei un problema da risolvere relativo agli integrali con i tagli (Analisi Complessa). Vi posto il testo e la mia soluzione. Ho utilizzato il metodo dei residui ma non sono sicura che sia giusto perché il risultato non torna come quello dato dal testo.
Il problema richiedeva di scegliere opportunamente la posizione del taglio per la funzione radice quarta per verificare il seguente integrale:
\begin{align*}
\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{x}\left(x+1 \right)} dx &= \pi ...
Sto avendo problemi nel calcolo di un Residuo di una funzione in una singolarità di tipo ESSENZIALE.
Nello specifico: $$f(z) $ $ =$(e^(1/z))/(z+i)$
$$Dominio: C-{-i,0} $$
$ z=-i $ è una singolarità di tipo POLO del 1° ordine
$z=0 $ è una singolarità di tipo ESSENZIALE
A)Nel caso di -i : il calcolo del residuo è banale,perché ci basta applicare una formula di derivazione di un prodotto
Risultato: ...
Buongiorno
È giusto dire che, considerando una funzione con un minimo, se parto da un punto con gradiente diverso dal vettore nullo e prendo meno gradiente, sono sicuro di arrivare a un punto di minimo locale( perché sto seguendo la direzione e verso in cui la funzione decresce) ?
Cioè in altre parole è vero che gradiente nullo è una condizione solo necessaria, ma se arrivo al punto con gradiente nullo seguendo la direzione e verso in cui la funzione decresce allora sono certo che è un ...
Ci sono parti della dimostrazione del Teorema di Banach-Tarski che non capisco molto bene. Metto in Spoiler ciò che non capisco.
Dato un gruppo \(G\) che agisce su un insieme \(X\). Dato \(A \subseteq X\), diciamo che una mappa \(f:A \to X \) è pw-\(G\) (piecewise-G) se esistono \(A=A_1\sqcup \ldots \sqcup A_n \) ed esistono \(g_1,\ldots g_n \in G \) tale che per ogni \(i\) e per ogni \(x \in A_i \) abbiamo che \(f(x)=g_i x\).
Teorema di Banach-Tarski: Siano \(A,B \subseteq \mathbb{R}^3 \) e ...
Salve, devo integrare questa bestiolina:
$$I:=\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi{\frac{1-r^2}{1+r^2-2rcos(\theta-\phi)}}d\phi$$
dove $0<r<1$ è costante, $\theta\in[0,2\pi[$ costante e la variabile di integrazione $\phi\in[0,2\pi[$.
Avevo pensato di vederla così: se $a:=\frac{2r}{1+r^2}$ (dove $0<a<1$, per $r\ne 1$) allora
$$I=\frac{1-r^2}{2\pi(1+r^2)}\int_0^{\pi}{\frac{1}{1-a\cdot cos(\theta-\phi)}}d\phi$$
Chiamando ...
Sia \( (\Omega,\mathcal F,\mathrm P) \) uno spazio di probabilità e sia \( f\colon \Omega\to \mathbb R \) una funzione misurabile e limitata. Data una famiglia \( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente di numeri reali \( a_m \), siano
\[
\begin{aligned}
I^* = \inf&\left\{\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m - 1},a_m\right]):\text{\( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente}\right\}\\
I_* = \sup&\left\{\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m},a_{m + 1}\right]):\text{\( ...
Sia \(G \) un gruppo, \(f \in \ell^{\infty}(G) \) e \( h \in \ell^1(G) \). Dimostra che per ogni \(x \in G \) le seguenti espressioni sono uguali e fai attenzione alla convergenza assoluta!
\[(1) \ \ \ \ \sum_{y \in G} f(xy^{-1})h(y) \]
\[(2) \ \ \ \ \sum_{y \in G} f(y) h(y^{-1}x) \]
\[ (3) \ \ \ \ \sum_{ \{ y,z \in G : yz=x\}} f(y)h(z) \]
Allora il fatto che (2) e (3) sono uguali è evidente perché basta moltiplicare per \( y^{-1} \) dentro \(h\) in (3) e poi se faccio variare \(y \in G \) ...
Sia la Dirac mass \( \delta : X \to M(X) \) dove \( M(X) = \{ \text{medie su } X \} \). Identifichiamo abusivamente quest'immagine con \(X\). Definiamo \( \beta X \) essere la chiusura di \(X\) in \( M(X)\). Si può dimostrare che
\[ \beta X = \{ \mu \in M(X) : \mu(A) \in \{ 0,1\} \forall A \subseteq X \} \]
Sia \(f : X \to X \) una biiezioni su \(X\)
i) Dimostra che esiste un unico omeomorfismo \( \beta f : \beta X \to \beta X \) che estende \(f\).
ii) Dimostra che \( \beta f: \beta X \to ...
Ciao! Spero di aver azzeccato il topic.
Volevo fare una domanda forse banale, ma se ho un'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea del tipo
$ddot \theta a_0 + A dot \theta a_0 + B \theta a_0 + ddot \bar{\theta} a_0^T + A dot \bar{\theta} a_0^T+ B \bar{\theta} a_0^T= C $
dove $\theta$ è una funzione a valori complessi e quindi $\bar{\theta}$ è la sua complessa coniugata,
A,B e C sono coefficienti costanti e $a_0$ e $a_0^T$ sono gli operatori di creazione e distruzione...
Per risolverla dividerei parte Re e parte Im però sono confusa perchè avendo gli ...
Salve a tutti.
Ho trovato sull'Acerbi-Buttazzo (Primo corso di analisi matematica 1997, pag 246) la seguente osservazione:
Sia $(E,d)$ uno spazio metrico. Allora $(a_n)_n\in E$ successione di Cauchy SE E SOLO SE:$$\limsup_{n\rightarrow +\infty}\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_n,a_m)=0$$Il libro dice che questo si dimostra "facilmente" con la caratterizzazione del massimo limite.
Magari anche per voi è una cavolata ma non ci sto proprio riuscendo a ...
Mi stavo domandando la seguente cosa:
So che il Teorema di Banach-Tarski non è equivalente al assioma della scelta, nel senso che J. Pawlikowski ha dimostrato che il teorema di Hahn-Banach implica il Teorema di Banach-Tarski, e il teorema di Hahn-Banach richiede una versione più debole del assioma della scelta, i.e. il lemma degli ultrafiltri che dice che ogni filtro proprio di \(X\) è contenuto in un ultrafiltro.
So che Banach-Tarski in un certo senso ci dice che ci sono sottoinsiemi di \( ...
Buongiorno,
è molto tempo che non uso gli integrali complessi e sto dimenticando parecchie cose, così quando mi sono imbattuto nel seguente integrale che sembra molto facile ho scoperto di non ricordarmi come si risolve.
$\int_{x_0-i\infty}^{x_0+i\infty} e^{xz}dz=2i\pi \delta (x)$
Potreste darmi una mano ?
Avevo pensato che:
Considerando una curva $\gamma={z: z=x_0+it,$ con $t \in (-\infty ,\infty)}$ allora $\int_{\gamma} e^{xz}dz=\int_{-\infty}^{\infty} e^{x x_0}e^{ixt} (i dt)=2i\pi\delta(x)e^{x x_0}$
Ma dato che sotto il segno di integrale $\delta(x)e^{x x_0}$ e $\delta(x)$ danno lo stesso risultato posso togliere ...
Sia $H=l^2$ dotato del prodotto interno $(x,y) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k y_k$. Sia $T:H \rightarrow H$ definito come segue defined by
$$ \left( Tx \right)_k = \frac{1}{1+k^4} x_k, \quad k \in \mathbb{N}, \;\; x = (x_{k})_{k} \in H.$$
Come è possibile trovare lo spettro puntuale $\sigma_p (T)$? E' possibile provare che $0 \in \sigma (T)$.
Pensando alle funzioni holderiane, mi sono chiesto perchè si definissero solo in $(0,1]$.
Ovviamente era una cosa che mi ero già chiesto ad Analisi 1 e che consideravo conclusa, per $\alpha>1$, $\alpha$-holderiana implica costante, e per $\alpha<=0$ non implica (uniformemente) continua, che è il motivo per cui si introduce questo concetto.
Però ultimamente (come anche accennato qui) stavo mettendo in dubbio la decisione di considerare chiusa la ...
Sto cercando di costruire una legge distributiva che mi permetta di liftare la monade delle distribuzioni finite agli spazi di Banach, e non so come fare.
In parole povere, c'è una corrispondenza \(D : Set\to Set\) che manda un insieme $X$ nell'insieme delle distribuzioni di probabilità finite su $X$, cioè nell'insieme di tutte le funzioni \(p : X\to [0,1]\) che sono zero ovunque a parte un insieme finito (detto "supporto" di $p$) e tali che \(\sum_x ...
Salve a tutti
Ho un dubbio sulla dimostrazione di questo fatto.
Con \(\displaystyle\ell^\infty\) intendo lo spazio delle successioni limitate in $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ dove $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ( o $\mathbb{C}$).
Dim: sia $(x^{(k)})_k \subset$ \(\displaystyle\ell^\infty\) una successione di Cauchy rispetto $\norm{\cdot}$\(\displaystyle_{\ell^\infty}\) (dove $\norm{x}$\(\displaystyle_{\ell^\infty}:=\sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n|\)).
vale che:
se $\forall \epsilon>0 \exists \nu=\nu(\epsilon)\in \mathbb{N}$ tale che ...
Salve a tutti.
Solitamente sui libri ho trovato che dato uno spazio vettoriale $X$ su campo $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, se è possibile definire una norma (con le note proprietà) allora si parla di spazio normato.
Il mio dubbio è perchè il campo $\mathbb{K}$ non può essere un altro? Ad esempio $\mathbb{Q}$.
Altra curiosità: Se prendo $\mathbb{Q}$ come spazio vettoriale su sè stesso potrei prendere come norma il valore assoluto su ...
Consideriamo la successione definita per ricorrenza ${(a_0=x),(a_1=t),(a_n=f(a_(n-1),a_(n-2))\text{ se } n>=2):}$, con $f:RR^2->RR$, $x,t\inRR$.
Definizione: $f$ ha la proprietà $G$ in $D$ se $AAx∃!t$ tale che ${a_n}$ converge, dove $x$ varia in $D$.
Per una funzione $f$ con la proprietà $G$ su $D$ ($\subseteqRR$), si può definire $G(f):D->RR$ ponendo $G(f)(x)$ uguale ...
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