Differenziabilità e derivabilità in campo complesso
Salve, sto studiando analisi complessa dal libro: "A Guide to Mathematical Methods for Physicists: With Problems and Solutions", M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni, World Scientific.
Quest'ultimo afferma che una funzione di variabile complessa è differenziabile se esiste il limite del rapporto incrementale. Dunque in campo complesso derivabilità = differenziabilità? Ma una funzione di variabile complessa $z = x +iy$ non è una $f(z)= f(x,y)$ e quindi una funzione di 2 variabili?
Quest'ultimo afferma che una funzione di variabile complessa è differenziabile se esiste il limite del rapporto incrementale. Dunque in campo complesso derivabilità = differenziabilità? Ma una funzione di variabile complessa $z = x +iy$ non è una $f(z)= f(x,y)$ e quindi una funzione di 2 variabili?
Risposte
Sì, può essere vista come una funzione di due variabili. Nota tuttavia che una funzione differenziabile in \(\mathbb R^2\) non è necessariamente differenziabile in \(\mathbb C\). Quest'ultima condizione è molto più forte come vedrai.
"Nexus99":
Ma una funzione di variabile complessa $z=x+iy$ non è una $f(z)=f(x,y)$ e quindi una funzione di 2 variabili?
No, non lo è.
Al massimo, è una coppia di funzioni reali ($X="Re"(f)$ ed $Y="Im"(f)$, riprendendo la notazione del testo) di due variabili reali ($x="Re"(z)$ ed $y="Im"(z)$).
P.S.: Dopo aver letto la definizione di funzione olomorfa e di punto singolare, ti posso anche consigliare a cuore leggero di cambiar testo.
Quindi è come se stessimo trattando una funzione di 1 variabile (z) ? Inoltre che libro consigliate? Studio fisica e queste cose sono parte di un esame chiamato metodi matematici per la fisica
Non so dove studi e cosa tu abbia in programma, né quanto siano approfonditi gli argomenti.
Dalle mie parti, per MMF viene consigliato il Lieb & Loss, Analysis, per la parte di Analisi Reale e Funzionale; per la parte di Complessa, il Greene & Krantz, Function Theory of One Complex Variable non c'è male.
Dalle mie parti, per MMF viene consigliato il Lieb & Loss, Analysis, per la parte di Analisi Reale e Funzionale; per la parte di Complessa, il Greene & Krantz, Function Theory of One Complex Variable non c'è male.
Grazie dei suggerimenti, però non ho capito bene ancora una cosa, la funzione di variabile complessa $f(z)$ è dunque da considerarsi ad una sola variabile, e, in una sorta di analogia con le funzioni di 1 variabile reale:
derivabile implica differenziabile e viceversa ?
derivabile implica differenziabile e viceversa ?
Ciao Nexus99. Mi sa che c'è un equivoco terminologico, in base alla pagina che riporti nell'immagine.
Lì dice che la funzione è differentiable in un punto se bla bla bla...
Il fatto è che in inglese differentiable significa 'derivabile', non 'differenziabile' come in italiano, quindi lì sta parlando di derivata e basta della funzione complessa, il differenziale non c'entra.
Lì dice che la funzione è differentiable in un punto se bla bla bla...
Il fatto è che in inglese differentiable significa 'derivabile', non 'differenziabile' come in italiano, quindi lì sta parlando di derivata e basta della funzione complessa, il differenziale non c'entra.
"Nexus99":
Grazie dei suggerimenti, però non ho capito bene ancora una cosa, la funzione di variabile complessa $f(z)$ è dunque da considerarsi ad una sola variabile, e, in una sorta di analogia con le funzioni di 1 variabile reale...?
sì, questo è il cardine dell'analisi complessa, trattare $z$ come una variabile, chiaramente se fai così e vuoi ripercorrere l'analisi 1 invece che l'analisi 2 devi poter scrivere il rapporto incrementale dell'analisi 1, lo puoi fare perchè in $\mathbb C$, contrariamente che in $\mathbb R^2$, c'è la divisione. Tutta l'analisi complessa è conseguenza di questo. Si parla quindi di derivabilità, e non di differenziabilità come ti facevano osservare altri (ma in inglese non si usa il termine "derivabile" nemmeno per funzioni di una variabile).
Capito, grazie. Trovavo confusione perchè anche il professore spiegando in italiano diceva differenziabile e non derivabile. Comunque curiosità, che termine si usa in inglese per derivabile e quale per differenziabile?
Per dire derivabile usano differentiable.
Per quello che mi risulta 'differenziabile' non lo dicono proprio, dicono differential per 'differenziale' e basta, usano perifrasi tipo 'questo è il differential della funzione' etc.
Comunque anche io ho trovato sempre riprovevole questo uso di differentiable per dire 'derivabile'.
Se dici derivative per dire derivata e differential per dire differenziale, poi non puoi dire differentiable per dire derivabile, e sei uno scombinato!
Per quello che mi risulta 'differenziabile' non lo dicono proprio, dicono differential per 'differenziale' e basta, usano perifrasi tipo 'questo è il differential della funzione' etc.
Comunque anche io ho trovato sempre riprovevole questo uso di differentiable per dire 'derivabile'.
Se dici derivative per dire derivata e differential per dire differenziale, poi non puoi dire differentiable per dire derivabile, e sei uno scombinato!
Perfetto grazie, un' ultima cosa, in campo complesso dunque la derivabilità non implica la differenziabilità?
E che cosa sarebbe la differenziabilità, in campo complesso? Se la definisci, ne possiamo parlare. Meglio legarsi a definizioni precise che a terminologie, le terminologie cambiano da una lingua all'altra e da una persona all'altra.
Vedi, per esempio, come questa distinzione tra "derivabile" e "differenziabile" tanto importante nei libri di matematica in italiano non esiste proprio in quelli in inglese.
Vedi, per esempio, come questa distinzione tra "derivabile" e "differenziabile" tanto importante nei libri di matematica in italiano non esiste proprio in quelli in inglese.
Io non osavo rispondere, perché è materia che conosco poco, ma della differenziabilità in campo complesso non ne avevo mai sentito parlare.
Ho guardato su diversi libri di Analisi complessa, e non ho trovato niente.
Tranne su un libro, dove ho trovato una definizione di differenziale in campo complesso.
Sapete dove? Su un libro degli Schaumm's, Complex Variable.
E' in analogia a quella per funzioni reali di una sola variabile.
Se vi interessa poi ve la copio.
Boh?
Ho guardato su diversi libri di Analisi complessa, e non ho trovato niente.
Tranne su un libro, dove ho trovato una definizione di differenziale in campo complesso.
Sapete dove? Su un libro degli Schaumm's, Complex Variable.
E' in analogia a quella per funzioni reali di una sola variabile.
Se vi interessa poi ve la copio.
Boh?
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