Sistema differenziale

[Galager]

Ciao a tutti, sto provando a risolvere questo esercizio



non sono riuscito a fare molto: ho verificato che $\phi(0)$ deve essere 0 (per continuità del segno) ma poi applicando il teorema di linearizzazione non sono riuscito a concludere essendo $\phi'$ incognita. il punto 1 sospetto non sia complicato ma non ho idea. nel punto 3 infine ho fatto la verifica che viene suggerita ma non so come applicarla per risolvere il punto

Grazie dell'aiuto!

[Studente Anonimo]

Poiché:

$[s lt 0] rarr [\phi(s) lt= cs] rarr [\phi(s) lt 0]$

$[s gt 0] rarr [\phi(s) gt= cs] rarr [\phi(s) gt 0]$

come hai giustamente osservato:

$\phi(0)=0$

A questo punto, almeno per quanto riguarda l'unicità dell'equilibrio:

$\{(\phi(x)-y=0),(x+\phi(y)=0):} rarr \{(y=\phi(x)),(x+\phi(\phi(x))=0):}$

è sufficiente osservare che:

$[x lt 0] rarr [x+\phi(\phi(x)) lt 0]$

$[x=0] rarr [x+\phi(\phi(x))=0]$

$[x gt 0] rarr [x+\phi(\phi(x)) gt 0]$