Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Ciao a tutti.
Ho un dubbio riguardo la classificazione delle EDP.
Consideriamo una EDP di secondo grado della forma:
$F(x,y,t, ... , u , (partial u)/(partial x) , (partial u)/(partial y) , (partial u)/(partial t) , ... , (partial^2 u)/(partial x^2) , (partial^2 u)/(partial y^2) , (partial^2 u)/(partial t^2) , ... ) = 0$
La EDP si dice lineare se è lineare in $u$ e nelle sue derivate.
La EDP si dice quasi-lineare se è lineare solo nelle derivate di ordine massimo.
Consideriamo le seguenti due EDP:
$1) (partial u)/(partial t) + u ((partial u)/(partial x)) = 0$
$2) (partial^2 u)/(partial x^2) (partial^2 u)/(partial t^2) - (partial^2 u)/(partial x partial t)=0$
Avrei due domande:
- Sapreste dirmi perché la $(1)$ è considerata quasi lineare?
Io avrei detto che è ...
Ciao!
Non riesco a comprendere un passaggio della seguente definizione della trasformata di Fourier partendo dalla serie. Illustro il passaggio iniziale e poi evidenzio in grassetto la parte poco chiara.
Sia $f: RR->RR$ continua e sia $T>0$.
Si denota con $f_T$ l'estensione T-periodica della restrizione di $f$ all'intervallo $[-T/2, +T/2)$
In tale intervallo $f$ coincide con $f_T$ che, a sua volta, coincide con la sua ...
Buonasera a tutti, non ho ben compreso una dimostrazione che ora vi mostro.
Proposizione:
Siano $f_1 in L^1(RR) , f_2 in L^1(RR)$
e sia $f= f_1 ** f_2$ il loro prodotto di convoluzione. Allora
$F(f)(xi) = F(f_1**f_2)(xi)= (F(f_1)(xi)) (F(f_2)(xi))$
Per dimostrare ciò si usa il teorema di Fubini
$F(f)(xi) = F(f_1**f_2)(xi)= int_(-oo)^(+oo) (int_(-oo)^(+oo) e^(-ixix)f_2(x-s) dx)f_1(s)ds $
$= int_(-oo)^(+oo) e^(-ixs)f_1(s)( int_(-oo)^(+oo) e^(-ixi(x-s))f_2(x-s) dx)ds $
$=( int_(-oo)^(+oo) e^(-ixs)f_1(s) ds) F(f_2)(xi)$
$= F(f_1)(xi) F(f_2)(xi)$
Non ho ben capito quest'ultimo passaggio. Come fa dal penultimo passaggio a giungere al risultato?
Come si fa a dire che
$( int_(-oo)^(+oo) e^(-ixs)f_1(s) ds)= F(f_1)(xi)$
Se non c'è nessuna variabile ...
Buonasera,
- Consideriamo la curva $ Gamma: I -> RR^3 $ , con $ I sub RR $, e $ Gamma $ tale che
$ Gamma(tau)= { ( phi(tau) ),( psi(tau) ),( sigma(tau) ):}$
- Consideriamo la curva $ gamma: I->RR^2 $, definita come proiezione ortogonale di $ Gamma $ sul piano $ xy $
$ gamma(tau)= { ( phi(tau)),( psi(tau) ):} $
Non riesco a capire il significato geometrico (nello spazio tridimensionale) del seguente problema di Cauchy in cui si cerca una funzione $u(x,y)$ tale che:
$ { ( P(x,y,u)u_x +Q(x,y,u)u_y=R(x,y,u) ),( u(phi(tau), psi(tau))=sigma(tau) (forall tau in I) ):} $
$P$ , ...
Sia \( X \) un insieme non vuoto, sia \( \mathcal M \) una \( \sigma \)-algebra su \( X \) e sia \( \mu\colon \mathcal M\to \left[0,+\infty\right] \) una misura.
L'idea dietro il "completamento" \( \overline{\mathcal M} \) della \( \sigma \)-algebra \( \mathcal M \) è che \( \overline{\mathcal M} \) "è \( \mathcal M \), però con in più tutti i sottoinsiemi degli insiemi di misura nulla".
Si definisce (sul Folland, ad esempio) quindi \( \overline{\mathcal M} \) come ...
Ciao! Sto cominciando a leggere qualcosa riguardo la trasformata di Laplace, e ho già qualche dubbio.
Data una funzione $f(t)$, la trasformata di Laplace associata alla funzione $f(t)$ è:
$ L(f(t))=F(s)=int_(0)^(oo) f(t)e^-(st) dt $
Ad una funzione che ha dominio nel tempo, posso associare quindi un determinato numero complesso grazie alla trasformata di Laplace.
Le domande sono:
1) Scelta una determinata $f(t)$... per ogni differente numero complesso $s$, cosa ...
Ciao!
Sto affrontando un problema con delle condizioni al contorno. Devo cercare di determinare una funzione di due variabili $u(x,t)$, e mi sono bloccato in un punto.
Si consideri la seguente serie:
$u_n(x,0)= sum_(n=1)^(+oo) A_n cos( (pi/2+npi)x) , x in (0,1) $
$A_n$ è da determinare in base alle condizioni del problema.
Dal libro leggo scritto che tale serie non rappresenta uno degli sviluppi in serie di Fourier.
Perché?
Sapreste dirmi come mai tale serie non rappresenta uno degli sviluppi in serie di ...
Ciao a tutti,
sapreste consigliarmi degli ottimi libri che trattano da zero gli spazi di Banach e gli spazi di Hilbert?
Ciao a tutti! Devo calcolare la trasformata di Laplace del segnale $ f(t)={ ( te^(2t) ),( 0 ):} {: ( t>= 0 ),( t< 0 ) :} $ .
Quindi ho fatto $ F(s)=int_(0)^(oo ) te^(2t)e^(-st) dt= int_(0)^(oo ) te^((2-s)t) dt $ . Poi ho risolto per parti $ int_(0)^(oo ) t(partial )/(partial t) (e^((2-s)t)/(2-s))dt =[t(e^((2-s)t)/(2-s))] $ tra 0 e $oo$ $ -int_(0)^(oo ) e^((2-s)t)/(2-s) dt $ . Ora però quando vado a calcolare $ [t(e^((2-s)t)/(2-s))]$ per $oo$ viene $oo$ no? E anche dopo nell'integrale mi viene un altro $oo$... So come deve tornare perché l'ho già calcolato usando le trasformate di Laplace note, ma io devo risolverlo con ...
Ciao a tutti! Ho un esercizio da risolvere in cui ho un cammino $ gamma $ parametrizzato da $ gamma -= {zin C:z(t)=1+i+(1-i) e^(2piit)} $ con $ tin [0,1] $ . Devo come prima cosa disegnare questa curva nel piano complesso. Ho la soluzione ma non capisco una cosa. La soluzione dice che
$ | z(t)-(1+i)| =sqrt(2) e^(2pi i(t-1/8 )) $ è un cerchio centrato a 1+i con raggio $sqrt(2)$. M anon capisco, da dove viene fuori $t-1/8$? Ho capito che fa il modulo, infatti la radice di 2 viene fuori dal modulo di 1-i, ma non ...
Buongiorno,
sto studiando gli spazi di Banach e mi trovo un po' in difficoltà. Vi illustro i miei dubbi.
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Si consideri lo spazio di tutte le funzioni continue $f(t)$ in un intervallo chiuso $[a,b]$.
Chiamiamo questo spazio $C([a,b])$.
Definisco in tale spazio la norma $||*||_(C^0)$ così definita:
$||f||_(C^0) = max_(t in [a,b]) |f(t)|$
Tale applicazione è una norma in quanto soddisfa le proprietà di non negatività, di positiva omogeneità e ...
Nel Chapitre VI., 1er partie. Di Cours D'analyse di Cauchy c'è un teorema, che purtroppo è falso. Che è il seguente
Teorema
Quando i differenti termini della serie (1) sono delle funzioni di una variabile \(x\) continue in un intorno per la quale la serie è convergente, la somma \(s\) della serie è anch'essa una funzione continua in questo intorno.
1) Trovare un controesempio al teorema
2) Trovare l'errore nella dimostrazione di Cauchy
NB: Perdonate la traduzione dal francese, ma è un ...
devo calcolare $ lim_(k -> +-∞)e^{ikx} $ che non esiste come limite di una funzione. ma esiste come limite di una distribuzione.
allora la applico a una funzione test $ φ(x) $ : $ T_{e^{ikx}}[φ]=int_(-∞)^(+∞) e^{ikx}φ(x) dx $
che è proprio la definizione di trasformata di fourier.
mi è però venuto il dubbio se dovessi prendere il complesso coniugato della funzione $ e^{ikx} $
Ciao a tutti!
Ho una domanda che riguarda la serie di Fourier.
Consideriamo una funzione $f(x)$ , $f : RR rarr RR$
e la serie di Fourier ad essa associata
$f_F (x) =a_0/2 + sum_(n=1)^(+oo ) a_ncos(nx)+b_ncos(nx) $
Si consideri, per ogni $x$, il valore
$bar(f(x)) = 1/2 (f(x^+)+f(x^-))$
Con $(f(x^+))$ e $(f(x^-))$ che rappresentano rispettivamente il limite destro ed il limite sinistro della funzione per ogni $x$ designato.
Sapreste dirmi se la seguente frase è vera ?
"Dire che la serie ...
Supponiamo di avere un anello differenziale \((R,\partial)\) (va bene considerare \(R=K[X]\) o \(K[\![X]\!]\) con la derivazione univocamente determinata da \(X\mapsto 1\)), e un operatore differenziale della forma
\[
Y\mapsto a_n Y^{(n)} + a_{n-1}Y^{(n-1)} + \dots + a_1 Y' + a_0 Y
\] dove \(Y'=\partial \), \(Y^{(k)}=\partial^k Y\) e le \(a_i\) non sono necessariamente costanti (in \(R=K[X]\) o \(K[\![X]\!]\) sono a loro volta polinomi o serie).
Evidentemente, questo operatore differenziale è ...
Salve a tutti. Mi viene richiesto di calcolare, mediante tecniche di integrazione sul piano complesso, il seguente integrale:
$ I=int_-pi^pi e^{2ix}/{1+sinx/2} dx $ .
Ho proceduto ponendo la sostituzione $ e^{ix}=z $ , $ dx=dz/{iz} $ , $ sin(x)={z-z^-1}/{2i} $, ottenendo così ( vi risparmio i calcoli ):
$ I= 4oint_(C) z^2/{z^2+4iz-1}dz $,
dove $ C $ è la circonferenza, nel piano complesso, centrata nell'origine e di raggio $ r=1 $ .
Da qui ho calcolato il residuo nella singolarità interna ...
Spero di non aver sbagliato sezione, sto studiando questa dimostrazione:
https://www.planetmath.org/ProofOfGeneralStokesTheorem
ed ho un dubbio già nello 'Step One', verso la fine. Credo sia una cosa banale ma proprio non ci arrivo, si tratta del passaggio in cui afferma che la forma differenziale \(\displaystyle \omega \) ristretta al bordo \(\displaystyle x^1=1 \) dell'ipercubo è nulla ogni volta che è presente anche \(\displaystyle \mathrm{d}x^1 \) tra i vari \(\displaystyle \mathrm{d}x^i \).
Per quale motivo? I vettori dello ...
Sto cercando di capire bene questa dimostrazione:
https://math.stackexchange.com/question ... derivative
ma mi fermo al penultimo passaggio, cioé quando passa da \(\displaystyle d(\phi^* f) \wedge \phi^*(dx^{\mu_1}\wedge ...\wedge dx^{\mu_r}) \) a \(\displaystyle d ((\phi^* f) \phi^*(dx^{\mu_1}\wedge ...\wedge dx^{\mu_r})) \).
Quello che non capisco è come mai il termine che contiene le derivate seconde faccia zero, sotto come risposta c'è anche scritto un motivo, ma la spiegazione proprio non l'ho capita.
Scrivo esplicitamente ...
Data la successione
$u_n(x) = 1/n e^{-|x| / n}$, $x \in R$.
Discutere convergenza puntuale e il $L^P$
Mia idea.
Convergenza puntuale sembra ovvia, in quanto per ogni $x$ basta calcolare per $n$ che va all'inf
$lim u_n = 0$, ovvero si ha convergenza puntuale a $0$.
Per il limite in $L^p$, sia $p$ finito, allora valuto
$(||u_n||_p )^P = ... = 2(1/n)^{p-1}$, che tende a $0$ al limite per $n$ che va ...
Salve a tutti, ho non poche difficoltà a verificare la seguente relazione:
$\nabla*\vec Ee^(j\vec k*\vec r) = -j\vec k*\vec E$
dove $\vec E$, $\vec k$ e $\vec r$ sono dei vettori con componenti x,y, e z, ho provato a verificare il tutto manualmente ma mi incarto con le derivate e forse sbaglio procedimento, qualcuno mi sa aiutare?
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