Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Buonasera a tutti,
Ho due dubbi riguardo la convergenza e le norme. Prima di fare le due domande, faccio una breve introduzione presentando anche una successione di funzioni da prendere un po' come esempio.
$f_n= { ( \sqrt{n} if x \in [0, frac{1}{n}] ),( frac{1}{\sqrt{x}} if x \in (frac{1}{n}, 1] ):} $
Consideriamo lo spazio $L^{\infty}\text{([0,1])}$ e la norma $|| * ||_{\infty}$ . In generale, la norma è la seguente:
$|| f ||_{\infty} = \text{inf } {M : |f(x)| <= M \text{ almost everywhere in}[0,1]}$
Dal momento che la successione di funzioni è, per ogni $n$ fissata, una funzione continua, posso ...
Pensavo di aver capito delle cose studiando ma sto facendo diverse regressioni
Sto studiando la definizione di integrale di Lebesgue dal libro Probability di Shiryaev, il quale utilizza come definizione di misurabilità la seguente:
una funzione \(\displaystyle f:\Omega\to \mathbb{R} \) definita nello spazio misurabile \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mu) \) è \(\displaystyle \mathcal{F} \)-misurabile se l'anti-immagine di ogni boreliano è un elemento della \(\displaystyle \sigma ...
Sappiamo che se $T$ è un operatore compatto, allora esiste $T_n$ una successione di operatori di rango finito (dunque a loro volta compatti) che lo approssimano, dunque $||T-T_n||\to 0$. Ho due dubbi:
1. E' vero che ogni possibile successione di autovalori $\mu_n$ di $T_n$ converge a un autovalore di $T$?
Sembrerebbe di si, dal momento che, dato $x_n$ autovettore ...
Buongiorno, stavo vedendo gli appunti di metodi matematici per ingegneria, e mi sono imbattuto in una equazione alle differenze da risolvere con Z-Trasformata. Stavo vedendo il secondo membro della equazione (ora riporto la scrittura)
$(3sqrt(2))^(n+1)sin(n\pi/4)$
Ora facendo la trasformata Z, porta praticamente questa operazione
$3sqrt(2) Z_u[(3sqrt(2))^nsin(n\pi/4)](z)$ -> $3sqrt(2) Z_u[sin(n\pi/4)](z/(3sqrt(2)))$
Già qui non mi trovo , perchè la trasformata di $(3sqrt(2))^n$, dovrebbe essere $z/(z-3sqrt(2))$ .
La trasformata, invece, ...
Dal teorema spettrale per operatori compatti (non autoaggiunti) è noto che lo spettro di tali operatori è contenuto in $\{0\}\bigcup\sigma_e(T)$, dove $\sigma_e(T)$ è l'insieme (eventualmente vuoto) degli autovalori dell'operatore. Dunque, l'unica possibilità che l'operatore abbia spettro continuo o residuale non nullo è che $0$ sia in questi insiemi. Non è difficile trovare un operatore compatto con spettro continuo non vuoto (e.g. Volterra), ma non mi viene in mente nessun possibile ...
Salve a tutti, volevo alcune informazioni su questo esercizio svolto in aula dopo la spiegazione del teorema di Jordan.
In pratica come esercizio di esempio è stato dato questo integrale
$\int_{0}^{oo}(senx)/x dx$
E' stata scelta questa funzione ausiliaria che da problemi quando $z=0$ . Facendo riferimento ad un dominio come quello in figura, ci si allontana dall'origine e quindi la funzione risulterà olomorfa e si può applicare il teorema Integrale di Caucy.
...
Ciao!
Ho per le mani il seguente esercizio: mostrare che su $L^2(RR)$ non esiste una funzione $v$ tale che $f ** v(x)=f(x)$ per ogni $f in L^2(RR)$
Onestamente non ho idee ed ho provato così:
Supponiamo che tale $v$ esista e siano $xne0$ fissato, \( f_n=\chi_{[-1/n,1/n]} \)
$f_n(x)=int_(RR)f_n(x-y)v(y)dy, forall n in NN$
ora \( f_n(x-y)=\chi_{[x-1/n,x+1/n]}(y):=g_n(y) \)
facendo due considerazioni a limite avremo:
1) $abs(int_(RR)f_n(x-y)v(y)dy)leqint_(RR)abs(g_n(y)*v(y))dyleq norm(g_n)_(L^2(RR))norm(v)_(L^2(RR))=norm(v)_(L^2(RR)) sqrt(2/n)->0$
2) $f_n(x) -> 1$ (su ...
Salve a tutti ho il seguente integrale:
$ int_(0)^(pi) sin t*e^(-jt) dt $
Mi accorgo che risolvendolo per parti non viene un numero finito, ma se scompongo attraverso Eulero :
$ int_(0)^(pi) sin t*(cos t-j sin t) dt $
L'integrale viene finito. Come mai avviene questa cosa? Grazie a tutti in anticipo.
Salve a tutti,sto avendo parecchia difficoltà ad impostare questo esercizio.Andrebbe risolto con il teorema dei residui ma non essendo pari la funzione non saprei come comportarmi per riportarmi ad una circonferenza che circondi entrambi i poli reali.
Risolvere il seguente integrale :
$ int_(0)^(+oo ) sin^2(x)/(3x^2+17x+1/2) dx $
Ciao a tutti, stavo facendo un esercizio di teoria della misura dal Giusti: Sia E limitato con frontiera di misura nulla, mostrare che E è misurabile.
La soluzione inizia considerando un aperto A contenente la frontiera di E e con misura $<\epsilon$. Non riesco a capire cosa garantisce l'esistenza di questo particolare aperto.
Grazie a chi potrà aiutarmi!
Devo dimostrare per esercizio che $L^(infty):=L^(infty)(X,mu)$ è denso in $L^p:=L^p(X,mu)$ quando $mu(X)<infty$
sia $f in L^p$, considero $f_n(x)=min{n,f(x)}$
$f_n in L^(infty)$:
chiaramente $mu(abs(f_n) > n)=0$ quindi $norm(f_n)_(L^(infty))<infty$
$f_n -> f$ puntualmente:
scelto $x in X$ se $f(x)=infty$ allora $f_n(x)=n -> f(x)$
se $f(x)<infty$ allora $f_n(x)=f(x)$ definitivamente
$abs(f-f_n)^p$ è dominata:
$abs(f(x)-f_n(x))leqabs(f(x))+abs(f_n(x))leq2abs(f(x)) => abs(f(x)-f_n(x))^p leq 2abs(f(x))^p$
quindi si conclude che per convergenza ...
mi trovo davanti al seguente esercizio, di cui non riesco a capire come procedere.
data $u(x,t)=\int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|x|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2) (d^n)_y$ , $sigma >0$, $AAt >0$
calcolare $lim_(t-> -sigma) u(x,t)$
è possibile calcolare esplicitamente questo integrale? Io onestamente non saprei come procedere e di conseguenza non so come trattare il limite.
qualcuno può darmi un aiuto?
grazie
Ciao Ragazzi!
Io sono uno studente di ingegneria elettronica 3° anno triennale.Visto che vorrei cambiare alla magistrale e passare a Matematica,questo semestre ho deciso di seguire Analisi 3 e Geometria 3.Premetto che non ho studiato Teoria della misura in Analisi 2 come i matematici e quindi dovrò guardarmi quella parte da solo.
Il prof ieri a lezione ha lasciato questo esercizio dopo aver introdotto e dimostrato la disuguaglianza di Hoelder,ma non ho idea di come procedere.Qualcuno riesce ad ...
Salve a tutti, ho la seguente espressione :
$ (e^(jwpi/2)-e^(-jw3/2pi))/(jw) $
Volevo chiedere a voi esperti se è possibile riscrivere il secondo membro come :
$ e^(-jw3/2pi)= e^(jwpi/2) $
In quanto ho pensato che $ 3/2wpi=-pi/2w $
In questo caso allora verrebbe che l'espressione iniziale è nulla. E' possibile fare questo passaggio? E se no come mai?
Grazie a tutti in anticipo.
Buongiorno a tutt*!
Ieri una ripetizione dell'equazione di d'Alembert mi ha dato lo spunto per una riflessione. Premetto di non avere competenze particolarmente avanzate nel trattare analiticamente le equazioni differenziali (specie se alle derivate parziali), ma ho comunque provato a risolvere il seguente problema:
\(\displaystyle
f \equiv f(x,t) \\ \begin{cases}
\frac{∂^2f}{∂x^2}=0 \\
\frac{∂^2f}{∂t^2}=0
\end{cases} \; \; \; \; \; (i)
\)
Inizialmente ho tentato un'integrazione diretta delle ...
Prendiamo un insieme $C\subseteqRR^2$ convesso e compatto e consideriamo l'insieme dei suoi punti estremi $E(C)$ (un punto $x\inC$ si dice estremo se $x=ty+(1-t)z$ con $y,z\inC,t\in[0,1]$ implica $x=y=z$).
$E(C)$ è compatto? Penso di si ma non so come dimostrarlo.
In dimensioni superiori non funziona, un controesempio è l'inviluppo convesso di $K=S^1\times{0}uu{1,0,+-1}$, che ha come insieme dei punti estremi $K\setminus{(1,0,0)}$.
Se a qualcuno interessasse è un ...
Ciao a tutti, sto provando a studiare il modello di hodgkin huxley che descrive la scarica dei neuroni per una tesi triennale in matematica. Purtroppo non sono riuscito a trovare molto materiale, sono riuscito a reperire solamente Cronin,Mathematical Aspects of Hodgkin-Huxley Neural Theory.
Altri libri o articoli non si trovano in rete o sono molto costosi da acquistare.
Ad esempio https://link.springer.com/chapter/10.10 ... -77169-0_3
https://www.amazon.it/Theoretical-Neuro ... 8&qid=&sr=
https://www.sciencedirect.com/science/a ... 6467900260
magari potete indirizzarmi verso una soluzione. L'idea è ...
Ciao a tutti,
Ho tre dubbi che riguardano le curve caratteristiche.
Considerate il seguente sistema
$ { ( au_x+bu_t=0 ),( u(x,0)= phi(x) ):} $
$a,b in RR$
$phi(x)$ è nota.
Per trovare la funzione $u(x,t)$, il metodo delle curve caratteristiche consiste in scegliere una curva parametrica
$alpha(s)= ( (x(s)), (t(s)) ) $
tale che
$alpha'(s)= ( (x'(s)), (t'(s)) ) = ( (a), (b) ) $
_______________________
1) Adesso arriva il primo punto che non capisco... Come mai, per trovare $alpha(s)$, bisogna risolvere i seguenti due ...
Avrei un paio di domande sull'integrale di Lebesgue, che sono le seguenti
1) È possibile definire l'integrale di Lebesgue senza la nozione di misura ma solo con la nozione di topologia?
2) Immagino che se si prende la topologia euclidea dà origine alla misura di Lebesgue e quindi che \( (\mathbb{R},\tau_E) \) dà origine al \( (\mathbb{R},F,\mu) \) dove \( \mu \) è la misura di Lebesgue, prendendo come sigma algebra \(F\) la più piccola sigma algebra che contiene la topologia euclidea. È ...
Ciao!
Non riesco a capire la dimostrazione di una proprietà della trasformata di Fourier.
Sia $f in L^1 (RR^n)$
$hat(f(x)) (xi)= int_(RR^n) e^(-2pi i<xi, x>) f(x) dx$
Data una costante $lambda in RR$, devo dimostrare che
$hat(f(lambdax)) (xi)= lambda^(-n) hat(f(x))(xi/lambda)$
Usando semplicemente la definizione
$hat(f(lambdax)) (xi)= int_(RR^n) e^(-2pi i<xi, x>) f(lambdax) dx$
Facendo il cambio di variabile $y=lambdax$ e considerando la matrice jacobiana $J$
$J= [ ( lambda , 0 , ... , ... , 0 ),( 0 , lambda , ... , ... , 0 ),( ... , ... , ... , ... , ... ),( ... , ... , ... , ... , ... ),( 0 , 0 , ... , ... , lambda ) ] $
$|det (J)|= lambda^n$
Da cui
$hat(f(lambdax)) (xi)= int_(RR^n) e^(-2pi i<xi, y/lambda>) f(y) lambda^n dy = lambda^(n) hat(f(x))(xi/lambda)$
Perché io ottengo $lambda^n$ anziché ...
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