Esercizio sigma-algebra

[impe1]

Ciao, ho qualche problema con un esercizio.

"Consideriamo l'insieme dei numeri naturali $NN$.
E' un insieme infinito e numerabile.
Consideriamo l'insieme delle parti dei numeri naturali $P(NN)$.

Definiamo un insieme $\alpha$ come l'insieme degli elementi $A$ siffatti:

$\alpha= {A in P(NN) : A $ finito oppure $A^C$ finito $}$

$\alpha$ è un'algebra.

Dimostare che $\alpha$ non è una sigma-algebra."

Come dimostrazione ho letto che si considerano gli elementi pari $A_n= {2n} , n in NN$
L'unione di tali elementi viene definito $tilde(A)$

$tilde(A)= uu_(n>=1) A_n $

$tilde(A)$ non è finito. Il complementare di $tilde(A)$ è l'insieme dei numeri dispari, che non è finito.
Quindi ho trovato un insieme che non è finito e il cui complementare non è finito.

In che modo questo passaggio dimostra che $\alpha$ non è una sigma-algebra?

[Lampo1089]

per assurdo a partire dall'esempio di partenza: supponendo per assurdo che $\alpha$ sia una sigma-algebra, dovrebbe essere $\tilde{A}\in\alpha$ (in quanto unione numerabile di insiemi finiti); essendo $\tilde{A}$ infinito, dovrebbe essere $\tilde{A}^c$ finito: ma $\tilde{A}^c$ - l'insieme dei naturali dispari, è infinito da cui l'assurdo.

[impe1]

"Lampo1089":per assurdo a partire dall'esempio di partenza: supponendo per assurdo che $\alpha$ sia una sigma-algebra, dovrebbe essere $\tilde{A}\in\alpha$ (in quanto unione numerabile di insiemi finiti); essendo $\tilde{A}$ infinito, dovrebbe essere $\tilde{A}^c$ finito: ma $\tilde{A}^c$ - l'insieme dei naturali dispari, è infinito da cui l'assurdo.

Ma così facendo ho dimostrato semplicemente che l'insieme dei numeri naturali pari, ovvero $tilde(A)$, non appartiene ad $\alpha$, dato che:

$ \alpha= {A in P(NN) : A $ finito oppure $ A^C $ finito $ } $

La domanda rimane ed è la seguente:
come mai il fatto che "$tilde(A)$ non appartiene ad $\alpha$" dimostra che $\alpha$ non è una sigma-algebra?

[Lampo1089]

come mai il fatto che $\tilde{A}$ non appartiene ad $\alpha$ dimostra che α non è una sigma-algebra?

Credo che quello che ho scritto sopra sia corretto, ma proviamo in altro modo (più completo):

Considera gli insiemi finiti, con cardinalità 1, $A_n = {2n}$ ,$n >= 0$.
Ciascun $A_n$ appartiene all'algebra (essendo tutti insiemi finiti). $\tilde{A}$ è l'unione (numerabile,appunto) di questi insiemi (l'insieme dei numeri pari): essa non appartiene all'algebra ($\tilde{A}$ è infinito, così come il suo complementare) che quindi non risulta essere chiusa rispetto all'unione numerabile. Quindi l'algebra non è una sigma-algebra.

In breve, l'esempio dei numeri pari evidenzia che l'algebra non è chiusa sotto unioni numerabili, e quindi che l'algebra definita non è una sigma-algebra.

[impe1]

Ah okay, mi scuso se sono un po' duro ma ho cominciato a studiare ieri la materia.

Affinché $\alpha$ sia una sigma-algebra, è necessario che per ogni successione di elementi del tipo

${A_1, A_2, ..., A_n}$ tali che $A_i in \alpha , forall i in {1, 2, ..., n}$ ,

si deve avere

$(uu_(n>=1)A_n) in \alpha$

Riassumendo:

Dal momento che ho trovato una successione di elementi che appartengono ad $\alpha$ ma la cui unione ($tilde(A)$) non appartiene ad $\alpha$ (perché né $tilde(A)$ né $tilde(A)^c$ sono finiti),
allora posso dire che $\alpha$ non è una sigma-algebra.

Ti ringrazio, sei stato molto chiaro

[Lampo1089]

Nulla di cui scusarti, fra l'altro avrei potuto essere più chiaro nella mia prima risposta ... ma ormai è troppo tardi