[EX] Studio di operatori di \(\ell^2\) in sé

[gugo82]

Un esercizio di Analisi Funzionale, tanto per gradire.
Non sono sicuro se l'ho già postato millenni fa, ma non mi pare. Nel caso, mi scuso per il repost.

***

Esercizio:

Sia \(\mathbf{a} = (a_n) \in \ell^\infty (\mathbb{C})\). Definiamo un operatore \(A\) ponendo:

$Amathbf(x) := (a_1x_1, a_2x_2,... , a_nx_n, ...)$

per ogni \(\mathbf{x}=(x_n) \in \ell^2(\mathbb{C})\).

0. Mostrare che $A$ è un operatore lineare limitato di \(\ell^2 (\mathbb{C})\) in sé e calcolarne (o stimarne) la norma operatoriale.

1. Determinare l'aggiunto $A^**$.

2. Provare che $A$ è iniettivo ed ha range[nota]Ricordo che il range dell'operatore $A$ è il sottospazio immagine \(A(\ell^2(\mathbb{C}))\).[/nota] denso se e solo se $a_n != 0$ per ogni $n in NN$.

3. Dimostrare che $A$ ha range chiuso se e solo se $alpha_0 := "inf" \{ |a_n|,\ n in NN " e " a_n != 0\} > 0$.

4. Mostrare che $A$ è invertibile se e solo se $alpha := "inf" \{ |a_n|,\ n in NN\} > 0$.

5. Determinare gli autovalori di $A$.

[gugo82]

"gugo82":Esercizio:

Sia \(\mathbf{a} = (a_n) \in \ell^\infty (\mathbb{C})\). Definiamo un operatore \(A\) ponendo:

$Amathbf(x) := (a_1x_1, a_2x_2,... , a_nx_n, ...)$

per ogni \(\mathbf{x}=(x_n) \in \ell^2(\mathbb{C})\).

0. Mostrare che $A$ è un operatore lineare limitato di \(\ell^2 (\mathbb{C})\) in sé e calcolarne (o stimarne) la norma operatoriale.

Questo è molto semplice.

La linearità è immediata.

Calcolando esplicitamente il quadrato della norma di $Amathbf(x)$ e maggiorando i $|a_n|$ con $norm(mathbf(a))_oo$ si trova:

$norm(A mathbf(x))_2^2 = sum_(n=1)^oo |a_n|^2 |x_n|^2 <= norm(mathbf(a))_oo^2 * norm(mathbf(x))_2^2$

sicché:

(1) $norm(A\mathbf(x))_2 <= norm(mathbf(a))_oo * norm(mathbf(x))_2$

e perciò $A$ è un operatore lineare limitato da \(\ell^2 := \ell^2 (\mathbb{C})\) in sé.

Per quanto riguarda la norma $norm(A)_text(op) := "sup"_(norm(mathbf(x)) <= 1) norm(A mathbf(x))$, la disuguaglianza (1) implica la stima:

(2) $norm(A)_text(op) <= norm(mathbf(a))_oo$.

Ora, per calcolare la norma di $A$, distinguiamo due casi:

[*:3llal1sj] se $norm(mathbf(a))_oo := "sup"_(n in NN) |a_n|$ è un massimo, allora esso è preso per un certo $n=nu$; consideriamo la successione $mathbf(e)^nu := (delta_n^nu)$ (con la $delta$ di Kroneker) fatta da tutti $0$ a parte per l'elemento nella $nu$-esima posizione, che è uguale ad $1$ e calcoliamo:

$norm(mathbf(e)^nu)_2 = 1$ e $norm(A mathbf(e)^nu) = |a_nu| = norm(mathbf(a))_oo$

sicché vale:

(3) $norm(A)_text(op) >= norm(A mathbf(e)^nu) = norm(mathbf(a))_oo$;

[/*:m:3llal1sj]
[*:3llal1sj] se $norm(mathbf(a))_oo$ non è un massimo, possiamo estrarre una successione di indici $(nu_k)$ in modo che $|a_(nu_k)| -> norm(mathbf(a))_oo$; consideriamo la succesione $mathbf(e)^(nu_k) := (delta_n^(nu_k))$ (con $delta$ di Kroneker) che ha elementi tutti uguali a $0$, tranne quello in posizione $nu_k$ che è uguale ad $1$, e calcoliamo:

$norm(mathbf(e)^(nu_k))_2 = 1$ e $norm(Amathbf(e)^(nu_k))_2 = |a_(nu_k)|$

e da ciò segue:

$norm(A)_text(op) >= |a_(n_k)| \ =>\ norm(A)_text(op) >= norm(mathbf(a))_oo$

(per Teorema di Permanenza del Segno Generalizzato) che è di nuovo la (3);[/*:m:3llal1sj][/list:u:3llal1sj]
confrontando (2) e (3) si trova $norm(A)_text(op) = norm(mathbf(a))_oo$, che è quanto ci interessava.

"gugo82":1. Determinare l'aggiunto $A^**$.

Usiamo la definizione di operatore aggiunto.

Scelti $mathbf(x)$ ed $mathbf(y)$ in \(\ell^2\), l'azione dell'operatore $A^**$ su $mathbf(y)$ è definita mediante l'uguaglianza:

$<< mathbf(x), A^** mathbf(y) >> = << A mathbf(x), mathbf(y) >>$

in cui $<< *, * >>$ è il prodotto scalare in \(\ell^2\); sviluppando entrambi i membri si trova:

(4) $sum_(n=1)^oo x_n * bar(y_n^**) = sum_(n=1)^oo a_nx_n * bar(y_n) = sum_(n=1)^oo x_n * bar(bar(a_n) y_n)$

e scegliendo di volta in volta nella (5) $mathbf(x) = mathbf(e)^k = (delta_n^k)$ (la $delta$ è di Kroneker) otteniamo:

(5) $bar(y_k^**) = bar(bar(a_k) y_k) \ =>\ y_k^** = bar(a_k) y_k$

per ogni $k in NN$. Dunque $A^**$ agisce su $mathbf(y)$ come segue:

$A^** mathbf(y) = (bar(a_n) y_n)$

(ossia anche $A^**$ è un operatore del tipo di $A$, precisamente quello che si ottiene moltiplicando gli elementi di $mathbf(y)$ per la successione coniugata $bar(mathbf(a)) = (bar(a_n))$).

"gugo82":2. Provare che $A$ è iniettivo ed ha range[nota]Ricordo che il range dell'operatore $A$ è il sottospazio immagine \(A(\ell^2(\mathbb{C}))\).[/nota] denso se e solo se $a_n != 0$ per ogni $n in NN$.

Per noti fatti di Algebra Lineare, l'operatore $A$ è iniettivo solo se $"Ker"(A) = \{ mathbf{0}\}$.
Abbiamo:

$Amathbf(x) = mathbf(0) \ <=>\ AA n in NN,\ a_n x_n = 0$

ed il sistema di (infinite) equazioni $a_n x_n=0$ ha come unica soluzione quella nulla solo se $AA n in NN,\ a_n != 0$.

Invece, per mostrare che il range di $A$ è denso, basta provare che il sottospazio $c_(00) = c_(00)(CC)$ (delle successioni definitivamente nulle) è contenuto nell'immagine \(A(\ell^2)\): infatti, visto che $c_(00)$ è denso in \(\ell^2\), dal fatto che \(c_{00} \subseteq A(\ell^2) \subseteq \ell^2\) segue:

\[
\ell^2 = \overline{c_{00}} \subseteq \overline{A(\ell^2)} \subseteq \overline{\ell^2} = \ell^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{A(\ell^2)} = \ell^2\; .
\]

Facciamo i calcoli, ovviamente supponendo che $a_n != 0$ per ogni $n in NN$ come richiesto.
Per ogni fissato $mathbf(y) = (y_n) in c_(00)$ poniamo $mathbf(x) := (1/(a_n) y_n)$ ed otteniamo:

$Amathbf(x) = (a_n* 1/(a_n) y_n) = (y_n) = mathbf(y)$,

sicché $mathbf(y)$ è nel range di $A$.
Dal ragionamento precedente segue, in particolare, che $c_(00)$ è uno spazio di autovettori per $A$.