Z trasformare la seguente quantità?

[Omi1]

Salve a tutti, dovrei trasformare la seguente successione:
$ Zu[cos(npi/2)^4] $
Il libro porta che il risultato deve essere $ z^2/(z^2-1) $ ma non riesco a trovarmi. Ho provato a fare i seguenti calcoli:
$ Zu[cos(npi/2)^4]=1/16Zu[(e^(jnpi/2)+e^(-jnpi/2))^4]=1/16Zu[(e^(jnpi)+e^(-jnpi)+2)^2] $
Sviluppando il quadrato di questo trinomio ottengo:
$ Zu[e^(2npi)]+Zu[e^(-j2npi)]+6Zu[1]+4Zu[e^-(jnpi)]+4Zu[(e^(jnpi)] $ e applicando la proprietà di riscalamento mi viene un termine z che non dovrebbe esserci e la trasformata di uno.

[pilloeffe]

Ciao Omi,

"Omi":Il libro porta che il risultato deve essere $z^2/(z^2−1) $

Confermo il risultato del libro:

$ Z_u [cos^4(npi/2)] = z^2/(z^2 - 1) $

Vedo un errore nell'elevamento al quadrato del trinomio:

$ (A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC $

Nel caso in esame $A = e^{j n \pi} $, $B = e^{- j n \pi} $ e $C = 2 $, per cui si ha:

$ (e^(j n \pi)+e^(-j n \pi)+2)^2 = e^(2 j \pi n) + e^(- 2 j \pi n) + 4 + 2 + 4 e^(j \pi n) + 4 e^(-j \pi n) = $
$ = 4 e^(-j \pi n) + 4 e^(j \pi n) + e^(- 2 j \pi n) + e^(2 j \pi n) + 6 $

[Omi1]

Mi trovo pillo anche col quadrato di trinomio, il problema poi è trasformando quella quantità mi viene che essendo :
$ 4Zu[e^(jpi)]=4Zu[e^(-jpi)]=z/(z+1) $ ed $ Zu[e^(j2pi)]=Zu[e^(-j2pi)]=z/(z-1) $ e $ Zu[6]=6*delta (n) $
Non mi trovo facendo le somme..

[pilloeffe]

A me risulta quanto segue:

$Z_u [4 e^(-j \pi n) + 4 e^(j \pi n) + e^(- 2 j \pi n) + e^(2 j \pi n) + 6] = Z_u [8 cos(\pi n) + 2 cos(2 \pi n) + 6 ] = $
$ = 8 (z(z + 1))/(z^2 + 2z + 1) + 2 (z(z - 1))/(z^2 - 2z + 1) + (6z)/(z - 1) = (8z)/(z + 1) + (2z)/(z - 1) + (6z)/(z - 1) = $
$ = (8z)/(z + 1) + (8z)/(z - 1) = (8z^2 - 8z + 8z^2 + 8z)/((z + 1)(z - 1)) = (16z^2)/(z^2 - 1) $

Moltiplicando per il fattore $1/16 $ che compare davanti a $Z_u $ si ottiene proprio il risultato riportato sul tuo libro.

[Omi1]

Pillo non so se ridere o piangere, adesso ho capito, si vede che sono alle prime armi con questo tipo di esercizi. Io mi mettevo a fare la trasformata di ogni singolo fattore con la proprietà di riscalamento e non mi ero accorto che davanti al 6 c'era la funzione gradino. Vabè ti ringrazio come sempre. Appena hai tempo potresti dare l'occhiata anche all'altro mio post? Grazie ancora!

[Quinzio]

Siccome mi e' capitato sotto agli occhi questo esercizio, durante una ricerca che ho fatto, vorrei comunque far notare una scorciatoia che rende meno faticoso questo esercizio (spero), ed evita fastidiosi errori di calcolo.
Si noti come in questo modo, l'esponente "4" diventa in pratica ininfluente.
La sequenza $cos^4 (n \pi /2 )$ e' piu' semplicemente $1, 0, 1, 0, 1, 0, ...$
La sequenza e' altresi' ottenibile prendendo il classico gradino ed operando una espansione temporale con scala $2$.
Ovvero $Z{u[n]} = 1/(1- z^{-1})$.
Con il riscalamento o espansione temporale (https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_zeta#Propriet%C3%A0),
$Z{cos^4 (n \pi /2 )} = Z{u[n]}(z^2) = 1/(1- z^{-2}) = z^2 / (z^2 -1)$