Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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sto cercando di fare lo sviluppo di $ f(z)=z/(1-cos(z)) $ per trovare le singolarità della funzioni ma non riesco a trovare lo giusto sviluppo che sarebbe: $ 2/z+z/6+z^3/120+O(z^5) $
Potreste dirmi cosa sbaglio?
io sviluppo il coseno al denominatore:
$ z/(1-[1-z^2/2+z^4/(4!)+O(z^6))]=z/((z^2/2)+z^4/(4!)+O(z^6)) $
ho difficoltà a capire anche quali siano le singolarità per la funzione $ e^{sen(1/z)} $
Ho trovato lo sviluppo della funzione, che è $ 1+1/z+O(1/z^2) $ usando gli sviluppi noti di taylor del seno e dell’esponenziale.
avendo potenze ...
$ f(z)=cos(1/z) $ ha uno sviluppo di Laurent che coincide con quello di Taylor perché è assente la parte regolare (ossia non ci sono potenze positive di z).
Riporto qui lo sviluppo che ho trovato:
$ cos(1/z)=1-1/(2z^2)+O(z^(-4)) $
da cui deduco che l’infinito è una singolarità essenziale. Lo zero è invece una singolarità eliminabile, perchè $ lim_{z->0 $ dello sviluppo è $ =1 $ .
Confermate?
sto cercando di determinare le singolarità di $ f(z)=sin(1/(2z+1)) $ e ho trovato che
$ z=oo $ è una singolarità essenziale
$ z=-1/2 $ è un polo di ordine 1. tuttavia non è l'unico, ma è giusto scrivere $ z=-1/2+(2kpi) $ $ ,k∈ZZ $ ?
lo 0 è una singolarità eliminabile perchè $ f(0)=sin(1)-2zcos(1)+O(z^-2) $ ha $ lim_[z->0}f(0)=sin(1) $
ciao ragazzi, in un esercizio c'è il segue passaggio: $ 1/{2pi}R*F[-1/(1+iomega)](t)=i/{2pi)R*F[1/(omega-i)](t) $ dove ho indicato con $ F $ la trasformata di Fourier e con $ R $ la riflessione (ossia $ R $ manda $ t->-t $
mi chiedevo come sia possibile avere una $ i $ al numeratore al secondo membro, forse mi sfugge il raccoglimento che è stato fatto, che dovrebbe essere $ -i $ ma non mi tornano i calcoli
potreste darmi una mano?
ciao,
ho un dubbio relativo alle equazioni differenziali-algebriche (DAE: Differential Algebaric Equations).
Consideriamo la DAE lineare tempo-invariante $Ax' + Bx = q(t)$ con $q(t)$ funzione continua in un intervallo $I sub RR$. Le matrici $A$ e $B$ sono quadrate n x n ed $x in RR^n$. In generale tale DAE puo' ammettere un vettore soluzione $x(t)$ in cui ciascuna componente e' continua in $I$ ma non necessariamente ...
salve ragazzi, per dimostrare la periodicità del coseno iperbolico, devo dimostrare l'uguaglianza $ (e^(z+ipi)+e^(-z-ipi))/2=(-e^(-z)-e^(z))/2 $ ma mi sfugge il passaggio algebrico che non è stato esplicitato
nel calcolo dell'integrale $ ∫_0^oox^(alpha)/(1+x)^ndx $ mi sono imbattuto nel calcolo del residuo del polo $ x=-1 $ di ordine n che mi ha messo in difficoltà. potete darmi una mano a capire come calcolarlo?
$ ∫_0^oox^(alpha)/(1+x)^ndx=2pii*Res(-1)=2pii1/((n-1)!)lim_(z->-1)(d^(n-1)/dz^(n-1)z^(alpha)/(z+1)^n (z+1)^n)$
qui mi blocco: $ =2pii1/((n-1)!)((d^(n-1)/dz^(n-1)z^alpha))|_{z=-1 $
salve ragazzi, lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $ sen(1/(1+z^2)) $ . avevo operato con la sostituzione $ t=1/(1+z^2) $ per poi sviluppare $ sen(t) $ ma non è giusto. non so in che altro modo procedere
lo sviluppo in serie di Laurent in $ z=oo $ della funzione $ 1/z 1/(1-e^(1/z)) $ risulta essere $ -1+1/(2z)+O(z^(-2)) $ .
il mio dubbio è: ci sono infinite potenze negative di z. quindi $ z=oo $ dovrebbe essere una singolarità essenziale.
però il $ lim_{z->oo}f(z)=-1 $ . quindi, anche se ci sono infinite potenze negative di z, devo concludere che $ z=oo $ è una singolarità eliminabile. confermate?
Salve a tutti, premesso che è da qualche giorno che ho studiato la trasformata di Laplace, volevo confrontarmi con voi col seguente esercizio.
$ L^-1[e^-(pis)/((s-3)^2+4)] $
Il risultato che mi esce è :
$ -i/8*e^((3+4i-pi)*t)+i/8*e^((3-4i-pi)*t) $
Ringrazio tutti in anticipo.
Salve a tutti, proprio oggi ho iniziato a studiare la trasformata di Fourier e mi sono imbattuto nel seguente esercizio. Calcolare la trasformata di Fourier di :
$ Lambda (t)= (1+t)[u(t+1)-u(t)]+(1-t)[u(t)-u(t-1)] $
E qui mi sorgono i dubbi, perchè a questo punto il libro fa la derivata di $ Lambda (t) $ :
$ dLambda/dt=u(t+1)-2u(t)+u(t-1) $
E mi chiedo, come fa a fare la derivata della funzione di Heaviside?
Grazie a tutti in anticipo.
Salve, risolvendo un esercizio mi è sorto un dubbio, l'esercizio è il seguente:
Risolvere il seguente integrale:
$ int_0^oo(xlogx)/(x^2+x+1)dx $
Chiaramente l'integrale non converge, lo calcolo comunque in valore principale, sfruttando successivamente il teorema dei residui.
Scelgo la funzione complessa:
$ g(z)=(zlog^2z)/(z^2+z+1) $
con relativa determinazione del logaritmo tale che:
$ -pi/2<arg(z)<3/2pi $
A questo punto scelgo un dominio regolare:
$ T= {zin C: epsi<|z|<R, Im(z)>0, 0<epsi<1<R} $ :
In $ T $ la funzione ...
Buonasera,
vorrei provare la seguente proprietà: $ delta (ax)=1/| a| delta(x) $
se faccio l'integrale $ int_(-oo )^(+oo) f(x) delta (ax)dx $ e il cambio variabile $ xrarr y/a $
ottengo $ int_(-oo )^(+oo) f(y/a) delta (y)1/ady=1/adelta (y) $
quindi $ int_(-oo )^(+oo) f(x) delta (ax)dx=1/adelta (xa) $
Posso dire allora di aver dimostrato che $ delta (ax)=1/adelta (xa);a>0 $ oppure no?
Per quanto riguarda il valore assoluto di a, non riesco proprio a capire da dove salta fuori.
Grazie del vostro tempo.
Per uno spazio vettoriale $X$ di dimensione infinita, dato un insieme di vettori linearmente indipendenti (anche numerabile) \(\displaystyle \{l_1,l_2,...\} \) completo per \(\displaystyle X \), non è automatico affermare che \(\displaystyle \{l_1,l_2,...\} \) è anche una base per $X$.
Per mostrare che questi due concetti sono distinti, il libro che sto leggendo (Zorich, Mathematical Analysis II, pag. 509, Example 14) prende in considerazione lo spazio vettoriale ...
Buonasera, mi servirebbe, se fosse possibile, un aiuto per un esercizio che recita così:
Sviluppare in serie di Laurent la seguente funzione:
$ f(z)=1/(z(z-1)^2(z-2) $ in $ 0<|z-1|<1 $
Io ho proceduto in tal modo:
Ho diviso in fratti semplici la funzione trovando la seguente relazione:
$ f(z)=1/2*1/z-1/(z-1)^2+1/2*1/(z-2) $
Cerco di ricondurmi ad una serie geometrica nel seguente modo:
$ 1/z=1/(z-1+1)=1/(1-(-(z-1))) $
per $ 0<|z-1|<1 $ si ha:
$ sum_(n=0)^oo (-1)^n*(z-1)^n $
Procedo allo stesso modo per il terzo fratto:
...
chiedo gentilmente un aiuto su come espandere $ f(z)=(√(z-1)√z)/(z+i) $ attorno a $ z=oo $ .
è giusto procedere per sostituzione $ t=1/z $ in modo tale che quando $ z->oo $ allora $ t->0 $ e posso usare gli sviluppi con cui si è soliti lavorare?
facendo così non riesco però a trovare la stessa espansione che mi dà il libro
a me viene $ ((1-t/2-t^2/8)/(1+it)) $ ...
dovrei arrivare a calcolare il residuo che è $ 1/2+i $
sia dato l'operatore $ phi(f):RR->CC $ così definito $ phi(f)(x)=(√2/(1+x^2))f(2arctan(x)) $ .
vale la relazione (che ho già dimostrato) $ phi(e^(-ikt))(x)=(√(2/(1+x^2)))((i+x)/(i-x))^k $ con $ k∈ZZ $ .
vorrei chiedervi una mano su come dimostrare che $ {1/((√2pi))(√2/(1+x^2))((i+x)/(i-x))^k}_{k∈ZZ $ è un sistema ortonormale completo su $ L^2(RR) $
grazie infinite
sto risolvendo l'esercizio in cui ho:
$ d^2/dt^2f(t)+beta(d)/dtf(t)=F(t) $ con $ beta $ appartenente al campo complesso e $ R_e[beta]≠0 $
e non riesco a risolvere il. punto in cui mi viene chiesto che $ Adelta(omega) $ è soluzione dell'equazione omogenea $ d^2/dt^2f(t)+beta(d)/dtf(t)=0 $ . come suggerimento, c'è scritto che l'antitrasformata di $ Adelta(omega) $ è $ G(t)=A/(2pi) $
altra domanda: mi servirebbe sapere le singolarità di $ 1/(omega(omega+ibeta) $ dove $ R_e[beta]>0 $ . dal momento che dovrei ...
un esercizio mi chiede di dimostrare che l'operatore lineare $ T:H->H $ la cui azione sugli elementi del sistema ortonormale completo $ {e^((n))}_{n=1}^oo $ è $ T(e^((n)))=(e^((2n-1))+e^((2n)))/(√2) $, non è unitario.
dovrei riuscire a spiegare che non è unitario perchè non è invertibile, dal momento che i vettori $ e^((2n-1))-e^((2n)) $ sono ortogonali a tutti i vettori di $ Im(T) $.
so che l'ortogonalità, in generale, è soddisfatta se il prodotto scalare tra due qualsiasi vettori (diversi) del sistema ...
Salve a tutti, studiando metodi matematici, mi sono imbattuto nella convoluzione. Tutto mi è abbastanza chiaro, tranne quando espone queste due proprietà senza però alcun passaggio algebrico:
-$ u(t)*u(t)=tu(t) $
- $ x*u(t)=int_(-oo )^(+oo ) x(s)u(t-s) ds=int_(-oo )^(t) x(s)ds $
P.S Dove ho messo il per si tratta di convoluzione, non sono riuscito a trovare il simbolo.
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