Equazione del calore sbarra unidimensionale
Buongiorno,
Sto studiando l'equazione del calore e ho un dubbio specifico riguardo un passaggio.
$ { ( u_t=ku_(x x) ),( u_x(0,t)=u(1,t)=0 ),( u(x,0)=u_0(x)=1-x ) ,( x in (0,1)) , (t>0):} $
$k in RR, k>0$
La soluzione $u(x,t)$ rappresenta la temperatura nel punto $x$ al tempo $t$ di una sbarra di metallo di lunghezza $1$.
La soluzione è del tipo
$u(x,t)= X_n(x) T_n(t)$
Salto tutti i passaggi che mi hanno portato a trovare $X$ e $T$ in quanto sono sicuro del fatto che siano giusti.
Si ha
$X_n(x)=cos(((1+2n)pi x)/2)$
$T_n(x)= A_n e^(-1/4 (1+2n)^2pi^2kt)$
$n in NN$
Dunque la soluzione è della forma
$(1) u_n(x,t)=cos(((1+2n)pi x)/2) A_n e^(-1/4 (1+2n)^2pi^2kt)$
[highlight]Il mio dubbio
[/highlight]
Per quale ragione, se so per certo che la soluzione è della stessa forma della $(1)$, allora posso dire per certo che la soluzione ha anche la seguente forma:
$u(x,t)= sum_(n=1)^(+oo) cos(((1+2n)pi x)/2) A_n e^(-1/4 (1+2n)^2pi^2kt)$
Una sommatoria infinita di funzioni esponenziali è soluzione se la funzione esponenziale n-esima è soluzione?
E' vero che la funzione esponenziale può essere riscritta utilizzando le formule di Eulero, però non sono sicuro di quest'ultimo passaggio...
Sto studiando l'equazione del calore e ho un dubbio specifico riguardo un passaggio.
$ { ( u_t=ku_(x x) ),( u_x(0,t)=u(1,t)=0 ),( u(x,0)=u_0(x)=1-x ) ,( x in (0,1)) , (t>0):} $
$k in RR, k>0$
La soluzione $u(x,t)$ rappresenta la temperatura nel punto $x$ al tempo $t$ di una sbarra di metallo di lunghezza $1$.
La soluzione è del tipo
$u(x,t)= X_n(x) T_n(t)$
Salto tutti i passaggi che mi hanno portato a trovare $X$ e $T$ in quanto sono sicuro del fatto che siano giusti.
Si ha
$X_n(x)=cos(((1+2n)pi x)/2)$
$T_n(x)= A_n e^(-1/4 (1+2n)^2pi^2kt)$
$n in NN$
Dunque la soluzione è della forma
$(1) u_n(x,t)=cos(((1+2n)pi x)/2) A_n e^(-1/4 (1+2n)^2pi^2kt)$
[highlight]Il mio dubbio
[/highlight]
Per quale ragione, se so per certo che la soluzione è della stessa forma della $(1)$, allora posso dire per certo che la soluzione ha anche la seguente forma:
$u(x,t)= sum_(n=1)^(+oo) cos(((1+2n)pi x)/2) A_n e^(-1/4 (1+2n)^2pi^2kt)$
Una sommatoria infinita di funzioni esponenziali è soluzione se la funzione esponenziale n-esima è soluzione?
E' vero che la funzione esponenziale può essere riscritta utilizzando le formule di Eulero, però non sono sicuro di quest'ultimo passaggio...
Risposte
Facendo entrare le derivate nella somma hai che entrambi i membri dell'equazione si annullano se ogni termine della somma la risolve
"LoreT314":
Facendo entrare le derivate nella somma hai che entrambi i membri dell'equazione si annullano se ogni termine della somma la risolve
In che senso "facendo entrare le derivate"?
In $u_n (x,t)$ ed in $u(x,t)$ non ho parlato di derivate
Supponi che $u_n$ sia soluzione e prendi $u=\sum u_n$. Ci sarà da stare attenti alla convergenza della serie e al perchè è giustificato lo scambio però se supponi di poter scambiare serie e derivata hai che $\partial_t u=\partial_t \sum u_n=\sum \partial_t u_n=\sum k\partial_{x x}u_n=k\partial_{x x} \sum u_n=k\partial_{x x}u$ e quindi $u$ è soluzione
Comprendo sia poco rigoroso ma credo l'idea grezza sia questa
Comprendo sia poco rigoroso ma credo l'idea grezza sia questa
ci devo pensare un po', ma il ragionamento mi sembra sensato supponendo che la serie converga.
Grazie!
Grazie!
"impe":
ci devo pensare un po', ma il ragionamento mi sembra sensato supponendo che la serie converga.
Questi sono tutti ragionamenti formali, fai i conti senza preoccuparti di convergenze e simili. Alla fine trovi una formula per la soluzione ed è a quel punto che vai a pensare se converge, in che senso, per quali dati iniziali, etc...
grazie dissonance
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