Sigma-additività

[impe1]

Ciao a tutti, vi chiedo una conferma.

Consideriamo un'algebra $\alpha$ di parti di un insieme $X$

Consideriamo una funzione

$mu : \alpha -> [0,+oo)$

tale che

$mu(O/)=0$

Mi confermate che la seguente frase è Vera?

"Anche nel caso in cui $\alpha$ non fosse una sigma-algebra, $mu$ potrebbe comunque essere sigma-additiva"

Grazie a tutti

[gabriella127]

Be', sì, è una questione di definizioni.

Nel caso non hai una $sigma$-algebra ma solo un algebra non è detto che l'unione numerabile di sottoinsiemi di $X$ appartenga all'algebra, va specificato.
La $mu$ in quel caso è $sigma$- additiva se per ogni famiglia numerabile $A_1, A_2,...,A_n,...$ di insiemi dell'algebra, a due a due disgiunti, tali che a loro unione numerabile appartiene all'algebra, vale

$ mu (uu _(i=1,..,oo) A_i)= sum_(i = \1dot,..,oo)mu(A_i) $.

[impe1]

"gabriella127":Be', sì, è una questione di definizioni.

Nel caso non hai una $sigma$-algebra ma solo un algebra non è detto che l'unione numerabile di sottoinsiemi di $X$ appartenga all'algebra, va specificato.
La $mu$ in quel caso è $sigma$- additiva se per ogni famiglia numerabile $A_1, A_2,...,A_n,...$ di insiemi dell'algebra, a due a due disgiunti, tali che a loro unione numerabile appartiene all'algebra, vale

$ mu (uu _(i=1,..,oo) A_i)= sum_(i = \1dot,..,oo)mu(A_i) $.

Perfetto grazie mille

[gabriella127]

Fugurat!