Analisi matematica di base

Buongiorno, ho un dubbio su un problema di Cauchy. La richiesta è determinare la soluzione di $y''=1/(2x)((y')^2-1)$ ,$x!=0$ che abbia un punto di contatto del secondo ordine con $h(x)=x^2-x$. $(1)$ Ciò che non mi è chiaro è questo fatto: io come punto di contatto del secondo ordine $(x_0,y_0)$ tra 2 funzioni $g(x)$ e $h(x)$ ricordavo la definizione : $g(x_0)=h(x_0)$, $g'(x_0)=h'(x_0)$, $g''(x_0) != h''(x_0)$ Dunque con un esempio pratico: data ...

Ciao a tutti, ho iniziato da poco le equazioni differenziali e sto avendo dei problemi su un tipo di problemi di cauchy. Vi metto un esempio: $\{ (y'=y-1), (y(0)=0) :}$ Il mio problema è che facendo i calcoli mi trovo $ln|y+1|$, e non so se prendere l'argomento del modulo positivo o negativo. Come posso risolvere? Grazie in anticipo

Buonasera, mi trovo in difficoltà con lo studio della convergenza uniforme su $E=(-1,1)$ di $sum_{n=1}^(+infty) ln(1+x^(2n))$ Sto facendo esercizi quasi da autodidatta per via della DAD e vedendo esercizi simili pensavo di applicare il fatto: $"conv.totale" -> "conv.uniforme"$ ma non riesco. Innanzitutto noto che $ln(1+x^(2n)$ è pari, dunque posso considerare solamente $E=[0,+infty)$ $Sup_(x in [0,1)) ln(1+x^(2n) <= Sup_(x in [0,1)) x^(2n)$ e $sum_{n=1}^(+infty) 1^(2n)$ diverge, ma ciò non mi permette di dire nulla sulla serie iniziale. Analogamente ho ...

Devo trovare il dominio di questa funzione: $f(x,y)=\sqrt{-|x^2 +y^2-2|}$ io so che la condizione d'esistenza della radice è che il suo argomento sia maggiore uguale di zero quindi il dominio sarebbe: ${(x,y)\in R^2: |x^2 + y^2 -2|<=0}$ il mio dubbio è se devo considerare anche la condizione d'esistenza del modulo , o va bene così come l'ho fatto?

Sera Mi sono trovato a risolvere una equazione trigonometrica (in un esercizio più complicato) che mi crea alcuni dubbi e non capisco il metodo usato dall esercitatore. a e b, sono parametri fissati a priori, l'incognita è in x ed f. Ci troviamo di fronte a: $(a^2+b^2-2adcostheta)f^2=a^2+x^2-2axcostheta$ In realtà per una richiesta precisa deve valere per ogni theta e quindi scrive il sistema $(a^2+d^2)f^2=a^2+x^2$ $-2adf^2=-2ax$ Non capisco perché la richiesta che debba valere per ogni $theta$ mi porti a ...

buonasera a tutti, stavo vedendo l'enunciato dell'assioma di Dedikind, ho riportato la formulazione qua sotto. Non riesco a capire perché prima ci sia scritto che ogni a appartenente ad A sia minore di ogni b appartenente a B e poi ci sia scritto a

ho dei dubbi sullo svolgimento di 2 esercizi sulle serie di funzioni $\sum_{n=1}^(+infty) (x^(n^2+1))/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ : determinare l'insieme di convergenza puntuale $E$ fisso $x$ : se $x=0$ allora $f_n(0)=0/(sqrt(n+1)-sqrt(n)=0$ e anche la serie vale $0$ se $-1<x<1$ $x^(n^2+1)$ domina su $(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ e tende a zero, dunque anche la serie vale $0$ se $x=1$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1)-sqrt(n)$ $tilde$ $\sum_{n=1}^(+infty) (1)/(sqrt(n+1))$ ...

Calcolare il seguente integrale $$F(t) = \int_{0}^{\infty} { \exp({-x^2 - t^2/x^2})} dx \hspace{10mm} t \in \mathbb{R}$$ Poi il testo dice anche: Suggerimento: calcolare $F'(t)$ e determinare un'equazione differenziale lineare soddisfatta da $F(t)$ Io ho provato a sfruttare il suggerimento: $$F'(t) = -2t\int_{0}^{\infty} { \exp({-x^2 - t^2/x^2}) \frac{1}{x^2}} dx $$ A questo punto non riesco a determinare ...

Ciao a tutti, qualche giorno fa mi sono imbattuto in questo esercizio: La funzione $f(x)=\sin (x^2)$ è un esempio di funzione definita, limitata e derivabile su $\mathbb{R}$ con derivata continua e non limitata su $\mathbb{R}$. (1) Provare che la funzione derivata $f '(x)$ è effettivamente una funzione non limitata. (2) Si consideri la funzione segno $sign(f(x))$ , cioè la funzione così definita: $$ sign(f(x))= \begin{cases} 1,\ \text{se } f (x)\ge ...

$ lim (x,y)-> (0,0)$ $ xe^-(y^2 / x )$ il libro Pagani Salsa dice che il limite non esiste, wolfram alpha dice che fa zero, io calcolandolo ( sono passato alle coordinate polari) mi darebbe zero... Grazie

Salve, sto preparando l'esame di analisi 1 ed oggi mi sono imbattuto in un esercizio che mi ha messo parecchi dubbi, ovvero questo: $lim_(x \to \+infty)(xe^(sin(x)))$ ho provato a cercare su internet qualche post che desse una soluzione, ma niente da fare... Perciò ho provato da solo e sono arrivato alla conclusione che tale limite sia indeterminato in quanto $e^(sin(x))$ è limitata (poichè $|sin(x)| <= 1$ e di conseguenza $1/e <= e^(sin(x)) <= e$) mentre $x$ è infinito... Ora, so per certo che ...

Ciao Sul mio libro di fisica2 che seguo a matematica c'è un passaggio che non capisco: $\int_(spazio) \nabla*(V\vecE)dV$ e dice essere zero. Non capisco formalmente come arrivi a questa conclusione (V ed E sono potenziale e campo elettrostatico). L'unica cosa che ho capito è che integra sullo spazio, ossia in modo migliore: $lim_(r->oo)$ dell'integrale (dove r è il raggio-vettore che indica la posizione) Cerco disperatamente di capire dal punto di vista dell'analisi matematica perché il modo "alla ...

Buongiorno, ho serie difficoltà con questo problema di Cauchy $\{(y'=(x^2y+2xy^2-y^3)/(2y^3-xy^2+x^3)),(y(0)=1):}$ Infatti non riesco a capire a quale forma "nota" dovrei ricondurmi per determinare la soluzione. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie

Ciao a tutti, vi scrivo perché avrei una domanda banale, ma comunque alla quale vorrei dare un chiarimento una volta per tutte. Ho iniziato da poco gli esercizi su continuità e derivabilità della funzioni in due variabili in Analisi2. Ecco l'esercizio che ho $ { ( (x^2y)/(x^2+y^4) ),( 0 ):} $ rispettivamente per la coppia $ (x,y)!= (0,0) $ e $ (x,y)= (0,0) $ . Ora, ho visto che il prof usa tre ''metodi'' risolutivi: il passaggio alle coordinate polari con $ rho $ e $ theta $ , le ...

Salve a tutti, sono stato assalito da un dubbio atroce e allo stesso tempo banale studiando la serie $ sum_(a = 0)^oo x^a/(a!) $ , ossia l'esponenziale; mi è sembrato impossibile poter calcolare e^0=1 se non si considera 0^0=1, che però ovunque vedo che danno come forma indeterminata. Mi è sfuggito qualcosa o effettivamente c'è una convenzione per cui 0^0=1 e dunque il calcolo con la serie di e^0 ha senso?

Salve a tutti, stavo facendo esercizi sull'applicazione del teorema di L'Hospital, e per controprova cercavo di risolvere gli stessi limiti con i metodi algebrici tramite limiti notevoli e stime asintotiche. Ecco allora il problema, ad esempio con questo limite: \[ \lim_{x\to 0}\frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^2\sin^2 x} \] Ora con L'Hospital viene, secondo il libro, $-1/12$, e quindi qualcosa non va nel mio calcolo: \begin{align*} \lim_{x\to 0}&\frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^2\sin^2 ...

Ciao, vorrei inquadrare meglio un passaggio del libro di fisica. Contestualmente sto seguento analisi 2 e non riesco bene a far combaciare le "due visioni". Vorrei capire in veste analitica questa derivata direzionale fatta solo in "d": (Inserisco l'immagine per far capire il disegno) Dovrei avere una derivata direzionale in un sistema cartesiano quindi riesco a vedere la formula del gradiente che: "gradiente per versore per d = derivata direzionale". Però non capisco la ...

Buongiorno, stavo svolgendo esercizi sui limiti e mi e' venuto un dubbio. Mi sono ritrovato in una situazione in cui potevo ricondurmi a $cosx/x$ per finire il limite ($x->0$) in fretta, ho quindi pensato a quanto potesse valere un simile limite, sono quindi partito da $\lim_{x\rightarrow 0} (1-cosx)/x^2=1/2$ per sapere che $\lim_{x\rightarrow 0} (1-cosx)/x=0$ e ho quindi pensato che $\lim_{x\rightarrow 0} (1-cosx)/x=\lim_{x\rightarrow 0} 1/x -cosx/x$ potesse ricondurmi a $\lim_{x\rightarrow 0} cosx/x=\lim_{x\rightarrow 0} 1/x$ che sarebbe quindi $+oo$. E' illegale fare una cosa del genere o ...

Ho un dubbio su un passaggio del professore durante la spiegazione del metodo risolutivo di una EDO a variabili separabili. Il problema di Cauchy è il seguente $ { ( y'(t)=py(t)-k ),( y(0)=y_0\in \mathbf{R^+} ):} $ Ora, se $py_0-k!=0$ si ottiene $\frac{y'(t)}{py(t)-k}=1$ $\Rightarrow \frac{1}{p} \ln|py-k|=t+c$ e a questo punto va discusso il modulo, e il prof dice: se $py_0-k>0$ allora abbiamo $\ln(py-k)$ altrimenti ecc ecc Bene, quello che non capisco è perchè si discute il modulo e si richiede $py_0-k!=0$ considerando ...

salve a tutti mi sto preparando per dare l'esame di analisi 1 ma c'è questo esercizio che proprio non ho idea di come fare, dati $A = {x ∈ R | (x + 5 −(√(x + 2)))/(e^x +2) >= 0}$ e $B = {x ∈ R | (log|x+2|)/((e^-x)(x-2)^3) <=0} $ determinare A U B ed A intersezione B questa è la traccia ma non ho idea di come fare vi ringrazio per l'aiuto