Maggiorazioni e continuità
Ciao a tutti,
vi scrivo perché avrei una domanda banale, ma comunque alla quale vorrei dare un chiarimento una volta per tutte.
Ho iniziato da poco gli esercizi su continuità e derivabilità della funzioni in due variabili in Analisi2.
Ecco l'esercizio che ho
$ { ( (x^2y)/(x^2+y^4) ),( 0 ):} $ rispettivamente per la coppia $ (x,y)!= (0,0) $ e $ (x,y)= (0,0) $ .
Ora, ho visto che il prof usa tre ''metodi'' risolutivi: il passaggio alle coordinate polari con $ rho $ e $ theta $ , le maggiorazioni e le successioni.
Il caso delle successioni mi è chiaro, in quanto è totalmente svolto da lui e utilizza dapprima $ f(1/n,1/n) $ e fa vedere che in questo caso la funzione tende a 0, ma , dato che la condizione non è sufficiente perché voglio che la funzione tenda a zero per ogni successione, suggerisce di usare $ f(1/n,1/n^2) $ e far vedere appunto che non tende a zero.
Ho voluto risolverlo usando le coordinate polari e giungo a un risultato dipendente dalla coordinata theta a denominatore la quale appunto dovrebbe dimostrarmi che la funzione non è continua.
Se volessi usare le maggiorazioni invece o dei problemi... come maggioro? pensavo di applicare il modulo e poi di sfruttare una maggiorazione di questo tipo,
$ x^2/(x^2+y^2)<= 1 $
tuttavia o mi incasino, oppure dimostra che la funzione è continua.
Grazie in anticipo per i chiarimenti
vi scrivo perché avrei una domanda banale, ma comunque alla quale vorrei dare un chiarimento una volta per tutte.
Ho iniziato da poco gli esercizi su continuità e derivabilità della funzioni in due variabili in Analisi2.
Ecco l'esercizio che ho
$ { ( (x^2y)/(x^2+y^4) ),( 0 ):} $ rispettivamente per la coppia $ (x,y)!= (0,0) $ e $ (x,y)= (0,0) $ .
Ora, ho visto che il prof usa tre ''metodi'' risolutivi: il passaggio alle coordinate polari con $ rho $ e $ theta $ , le maggiorazioni e le successioni.
Il caso delle successioni mi è chiaro, in quanto è totalmente svolto da lui e utilizza dapprima $ f(1/n,1/n) $ e fa vedere che in questo caso la funzione tende a 0, ma , dato che la condizione non è sufficiente perché voglio che la funzione tenda a zero per ogni successione, suggerisce di usare $ f(1/n,1/n^2) $ e far vedere appunto che non tende a zero.
Ho voluto risolverlo usando le coordinate polari e giungo a un risultato dipendente dalla coordinata theta a denominatore la quale appunto dovrebbe dimostrarmi che la funzione non è continua.
Se volessi usare le maggiorazioni invece o dei problemi... come maggioro? pensavo di applicare il modulo e poi di sfruttare una maggiorazione di questo tipo,
$ x^2/(x^2+y^2)<= 1 $
tuttavia o mi incasino, oppure dimostra che la funzione è continua.
Grazie in anticipo per i chiarimenti
Risposte
Ciao! Il tuo ragionamento è corretto, nel senso che la maggiorazione che hai proposto ti può portare al corretto svolgimento; come concludi quindi?
1) Non hai fatto una domanda precisa; 2) se la domanda era “quella cosa è continua in 0?”, la risposta è no, e questo è uno di quei casi dove la teoria dei limiti ti dice tantissimo: il limite per x->0 non esiste (x varia in R^2), e questo significa esattamente che f non sarà mai estendibile ad una funzione definita in 0 ivi continua.
@marco2132k: Perché dici così? A me risulta che la funzione sia continua in $(x,y)=(0,0)$, in quanto (suggerisco caldamente a vitunurpo di provare a fare il conto da solo prima di aprire lo svolgimento sottostante)
La domanda posta in modo chiaro (più chiaro di così non saprei...) è : la funzione è continua in (x,y)=(0,0) ? So che la risposta è no, in quanto l'ho dimostrato sia usando le successioni che usando la sostituzione in coordinate polari. Tuttavia, visto che spesso il prof usa anche le maggiorazioni, volevo capire come dimostrare la cosa con la maggiorazione. Quella che pensavo di utilizzare è appunto quella scritta.
Mephlip però il prof diceva che non era continua 
Ora non ci sto più capendo nulla ahaha Ora provo da sola e poi guardo il tuo..
Infatti, anche a me veniva così. Però il punto è che è in contrasto con gli altri due metodi.
Ora non ci sto più capendo nulla ahaha Ora provo da sola e poi guardo il tuo..Infatti, anche a me veniva così. Però il punto è che è in contrasto con gli altri due metodi.
Beh, ma $f(1/n,1/n^2) -> 0$, quindi non dimostra nulla.
Allora perché il prof l'ha fatto? Seriamente, sto andando in confusione ora ahaha
Allora. Non ho fatto i conti e rischio di fare una figuraccia, ma ricordavo che una funzione simile ha limiti (x,y) -> (0,0) diversi sulla restrizione alla retta x=ky e sulla parabola x=ky^2.
EDIT: Quello che ho detto è strafalso, ho fatto i conti. Mi ricordavo male: al denominatore ci deve essere x^4 + y^2, e allora è vero che il limite non esiste!
EDIT: Quello che ho detto è strafalso, ho fatto i conti. Mi ricordavo male: al denominatore ci deve essere x^4 + y^2, e allora è vero che il limite non esiste!
"vitunurpo":
Allora perché il prof l'ha fatto? Seriamente, sto andando in confusione ora ahaha
Si sarà confuso... Sempre un essere umano è.
"vitunurpo":
Se volessi usare le maggiorazioni invece o dei problemi... come maggioro? pensavo di applicare il modulo e poi di sfruttare una maggiorazione di questo tipo,
$ x^2/(x^2+y^2)<= 1 $
tuttavia o mi incasino, oppure dimostra che la funzione è continua.
Ma...si possono usare le maggiorazioni per mostrare che un limite non esiste?
Le maggiorazioni, mi pare, si usano quando si suppone che il limite esista, e si cerca di trovarlo (vedi quello che scrive sopra Mephlip, che usa la maggiorazione per trovare il limite, non per dire che non esiste).
Insomma, abbiamo capito che op/il prof. di op intendeva la funzione
[
f(x,y) = frac{x^2y}{x^4 + y^2}
] per la quale
[
fBigl(frac1n,frac1{n^2}Bigr)xrightarrow[n o+infty]{} frac12qquad fBigl(frac1n,frac1nBigr)xrightarrow[n o+infty]{}0
] e non la
[
f(x,y) = frac{x^2y}{ x^{color{red} 2} + y^{color{red} 4}}
]
[
f(x,y) = frac{x^2y}{x^4 + y^2}
] per la quale
[
fBigl(frac1n,frac1{n^2}Bigr)xrightarrow[n o+infty]{} frac12qquad fBigl(frac1n,frac1nBigr)xrightarrow[n o+infty]{}0
] e non la
[
f(x,y) = frac{x^2y}{ x^{color{red} 2} + y^{color{red} 4}}
]
@marco2132k: Vero, potrebbe essere un typo! In tal caso certamente il limite non esisterebbe.
@gabriella127: In tal caso l'approccio di usare le disuguaglianze per dimostrare la non esistenza del limite è in effetti anomalo; forse, se si riuscisse a dimostrare che simultaneamente il limite è, ad esempio, maggiore di $3$ e minore di $-1$, allora si potrebbe dedurre la non esistenza con le disuguaglianze; tuttavia non so quanto sia verosimile una situazione del genere, non mi è mai capitata.
@gabriella127: In tal caso l'approccio di usare le disuguaglianze per dimostrare la non esistenza del limite è in effetti anomalo; forse, se si riuscisse a dimostrare che simultaneamente il limite è, ad esempio, maggiore di $3$ e minore di $-1$, allora si potrebbe dedurre la non esistenza con le disuguaglianze; tuttavia non so quanto sia verosimile una situazione del genere, non mi è mai capitata.
Grazie della risposta, Mephlip. Sì, ci possono essere casi, come quello che citi, in cui le maggiorazioni possono essere utili per verificare che il limite non esiste, ma in effetti anche io non l'ho mai visto, e non ho trovato esempi sui libri.
Lo dicevo a vitunurpo, perché non capivo, da come scriveva, se pensava che le maggiorazioni fossero un metodo standard per provare la non esistenza di un limite, cosa che potrebbe fuorviarla.
Lo dicevo a vitunurpo, perché non capivo, da come scriveva, se pensava che le maggiorazioni fossero un metodo standard per provare la non esistenza di un limite, cosa che potrebbe fuorviarla.
Dunque, l'esempio proposto era fatto dal prof per far vedere che la funzione NON è continua e ha usato le sottosuccessioni per far vedere la cosa. Io poi ho pensato '' beh ma se io mi trovassi un problema di continuità (senza il suggerimento che mi dice che non è continua) a un esame, come faccio? Sicuro proverei le maggiorazioni! E ho voluto provare, incasinandomi un po'.
Dunque, cosa dice gabriella ora mi è chiaro, cioè che di solito non si usano le maggiorazioni per dimostra che la funzione non sia continua.. però appunto io supponevo di non sapere già il risultato finale!
Ultima cosa, potreste chiarirmi come siate arrivati al fatto che gli esponenti fossero invertiti?
Dunque, cosa dice gabriella ora mi è chiaro, cioè che di solito non si usano le maggiorazioni per dimostra che la funzione non sia continua.. però appunto io supponevo di non sapere già il risultato finale!
Ultima cosa, potreste chiarirmi come siate arrivati al fatto che gli esponenti fossero invertiti?
Il fatto che gli esponenti siano invertiti è solo una congettura, perché il limite da te proposto fa $0$; quindi, se congetturiamo che ci sia un errore di battitura per cui gli esponenti delle potenze al denominatore sono invertiti, allora effettivamente il limite non esiste (come ha mostrato marco2132k). Ma è solo una congettura, magari non è così e semplicemente il professore si è sbagliato, oppure è così ed effettivamente allora il limite non esiste.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo