Limite di xe^(sinx)
Salve, sto preparando l'esame di analisi 1 ed oggi mi sono imbattuto in un esercizio che mi ha messo parecchi dubbi, ovvero questo:
$lim_(x \to \+infty)(xe^(sin(x)))$
ho provato a cercare su internet qualche post che desse una soluzione, ma niente da fare... Perciò ho provato da solo e sono arrivato alla conclusione che tale limite sia indeterminato in quanto $e^(sin(x))$ è limitata (poichè $|sin(x)| <= 1$ e di conseguenza $1/e <= e^(sin(x)) <= e$) mentre $x$ è infinito... Ora, so per certo che
$ "infinitesimo" * "limitata" = "infinitesimo" $
e che
$ ("limitata")/("infinito") = "infinitesimo"$
ciò vuol dire che $ "infinito" * "limitata" = "indeterminata" $ dato che in questo caso il limite non esiste?
sono 2 ore che ci ragiono... Potreste dirmi se sto sbagliando ragionamento o meno?
$lim_(x \to \+infty)(xe^(sin(x)))$
ho provato a cercare su internet qualche post che desse una soluzione, ma niente da fare... Perciò ho provato da solo e sono arrivato alla conclusione che tale limite sia indeterminato in quanto $e^(sin(x))$ è limitata (poichè $|sin(x)| <= 1$ e di conseguenza $1/e <= e^(sin(x)) <= e$) mentre $x$ è infinito... Ora, so per certo che
$ "infinitesimo" * "limitata" = "infinitesimo" $
e che
$ ("limitata")/("infinito") = "infinitesimo"$
ciò vuol dire che $ "infinito" * "limitata" = "indeterminata" $ dato che in questo caso il limite non esiste?
sono 2 ore che ci ragiono... Potreste dirmi se sto sbagliando ragionamento o meno?
Risposte
Se hai ovunque $1/e <= e^(sin x)$, moltiplicando ambo i membri per $x>0$ trovi $x/e <= x e^(sin x)$, dunque per $x -> +oo$ trovi...
Questo è indice di una situazione più generale: puoi divertirti a dimostrare il seguente risultato:
Cosa succede, invece, se $g$ ha un maggiorante negativo intorno a $x_0$?
Questo è indice di una situazione più generale: puoi divertirti a dimostrare il seguente risultato:
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f,g:X -> RR$ funzioni ed $x_0$ un p.d.acc. per $X$.
Se $lim_(x-> x_0) f(x) = +oo$ [risp. $lim_(x-> x_0) f(x) = -oo$] e se $g$ ha un minorante positivo intorno a $x_0$ allora $lim_(x->x_0) f(x)g(x) = +oo$ [risp. $lim_(x->x_0) f(x)g(x) = -oo$].
Cosa succede, invece, se $g$ ha un maggiorante negativo intorno a $x_0$?
Ciao @Ema5584 e ciao @gugo !
Perdonate se mi intrometto, ma questo thread ha catturato la mia attenzione. Dal basso della mia ignoranza, anche io avrei detto che quel limite valga $+infty$. Tuttavia, per curiosità e verifica, sono andato a metterlo in wolfram alpha (ed anche in Mathematica, ma tanto sono praticamente lo stesso programma), il quale mi restituisce indeterminato
. Ora so che wolfram a volte può sbagliare, ma anche su un limite del genere ? In tal caso, dove sarebbe il problema di wolfram ? Ammesso che "l'errore" sia di wolfram e che quel limite faccia davvero $+infty$, cosa della quale non sono più affatto sicuro. Ho messo errore tra virgolette, perché magari si tratta solo di scriverlo in un determinato modo, ma non saprei. Questa cosa mi ha lasciato perplesso.
P.S.
Questa cosa non mi sembra vera: se prendo come controesempio la funzione $f(x)=x*(sin(x)+2)$, $sin(x)+2$ è una funzione limitata che non ammette limite, ma il limite di f(x) esiste ed è $+infty$. Ma ormai non sono certo più di nulla
Saluti
Perdonate se mi intrometto, ma questo thread ha catturato la mia attenzione. Dal basso della mia ignoranza, anche io avrei detto che quel limite valga $+infty$. Tuttavia, per curiosità e verifica, sono andato a metterlo in wolfram alpha (ed anche in Mathematica, ma tanto sono praticamente lo stesso programma), il quale mi restituisce indeterminato
. Ora so che wolfram a volte può sbagliare, ma anche su un limite del genere ? In tal caso, dove sarebbe il problema di wolfram ? Ammesso che "l'errore" sia di wolfram e che quel limite faccia davvero $+infty$, cosa della quale non sono più affatto sicuro. Ho messo errore tra virgolette, perché magari si tratta solo di scriverlo in un determinato modo, ma non saprei. Questa cosa mi ha lasciato perplesso.P.S.
"Ema5584":
ciò vuol dire che infinito⋅limitata=indeterminata dato che in questo caso il limite non esiste?
Questa cosa non mi sembra vera: se prendo come controesempio la funzione $f(x)=x*(sin(x)+2)$, $sin(x)+2$ è una funzione limitata che non ammette limite, ma il limite di f(x) esiste ed è $+infty$. Ma ormai non sono certo più di nulla
Saluti
Accidenti !
Grazie mille @Mephlip ! Ammetto che questa volta non ho cercato nel forum una risposta alla mia domanda, faccio mea culpa
. Grazie davvero !
Conoscevo il fatto del real root di wolfram, avendoci sbattuto la testa io stesso in passato, ma non mi era proprio venuto in mente che trattasse la x come variabile complessa. Beh, che dire, grazie di aver chiarito il mio dubbio.
Saluti
Grazie mille @Mephlip ! Ammetto che questa volta non ho cercato nel forum una risposta alla mia domanda, faccio mea culpa
. Grazie davvero ! Conoscevo il fatto del real root di wolfram, avendoci sbattuto la testa io stesso in passato, ma non mi era proprio venuto in mente che trattasse la x come variabile complessa. Beh, che dire, grazie di aver chiarito il mio dubbio.
Saluti
"gugo82":
Se hai ovunque $1/e <= e^(sin x)$, moltiplicando ambo i membri per $x>0$ trovi $x/e <= x e^(sin x)$, dunque per $x -> +oo$ trovi...
mi sento in imbarazzo a non averci pensato prima... e ammetto che ciò che mi ha dato lo spunto per concludere l'indeterminatezza del limite è stato l'aver controllato con wolfram
avevo notato il grafico coi complessi, ma sinceramente non ho pensato al fatto che $|sinx| <= 1$ non è vera nei complessi... perciò è lecito $ "infinita" * "limitata" = +_infty$ ?"gugo82":
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f,g:X -> RR$ funzioni ed $x_0$ un p.d.acc. per $X$.
Se $lim_(x-> x_0) f(x) = +oo$ [risp. $lim_(x-> x_0) f(x) = -oo$] e se $g$ ha un minorante positivo intorno a $x_0$ allora $lim_(x->x_0) f(x)g(x) = +oo$ [risp. $lim_(x->x_0) f(x)g(x) = -oo$].
Cosa succede, invece, se $g$ ha un maggiorante negativo intorno a $x_0$?
Ammetto di non aver compreso a pieno questa parte, tuttavia, se ho capito bene, nel caso in cui $g$ abbia un maggiorante negativo intorno a $x_0$ il limite sarebbe uguale a $infty$ con segno opposto, giusto?
Chiedo venia per la figuraccia fatta... tuttavia questa domanda mi attanagliava da mesi e non ho trovato risposta da nessuna parte
Grazie ancora per la risposta e l'approfondimento, li ho trovati molto utili 
"Ema5584":
[quote="gugo82"]Se hai ovunque $1/e <= e^(sin x)$, moltiplicando ambo i membri per $x>0$ trovi $x/e <= x e^(sin x)$, dunque per $x -> +oo$ trovi...
mi sento in imbarazzo a non averci pensato prima... e ammetto che ciò che mi ha dato lo spunto per concludere l'indeterminatezza del limite è stato l'aver controllato con wolfram
avevo notato il grafico coi complessi, ma sinceramente non ho pensato al fatto che $|sinx| <= 1$ non è vera nei complessi... [/quote]Mai usare software.
Fortunatamente, il nostro cervello è ancora un mezzo di calcolo piuttosto efficiente.
"Ema5584":
perciò è lecito $ "infinita" * "limitata" = +_infty$ ?
No.
"Ema5584":
[quote="gugo82"]
Siano $X sube RR$ non vuoto, $f,g:X -> RR$ funzioni ed $x_0$ un p.d.acc. per $X$.
Se $lim_(x-> x_0) f(x) = +oo$ [risp. $lim_(x-> x_0) f(x) = -oo$] e se $g$ ha un minorante positivo intorno a $x_0$ allora $lim_(x->x_0) f(x)g(x) = +oo$ [risp. $lim_(x->x_0) f(x)g(x) = -oo$].
Cosa succede, invece, se $g$ ha un maggiorante negativo intorno a $x_0$?
Ammetto di non aver compreso a pieno questa parte, tuttavia, se ho capito bene, nel caso in cui $g$ abbia un maggiorante negativo intorno a $x_0$ il limite sarebbe uguale a $infty$ con segno opposto, giusto?[/quote]
Sì.
Dimostralo.
"Ema5584":
Chiedo venia per la figuraccia fatta... tuttavia questa domanda mi attanagliava da mesi e non ho trovato risposta da nessuna parte
Nessuna figuraccia.
Piuttosto, questi teoremi sui limiti ci sono su ogni testo decente di Analisi, perciò mi pare strano che questi dubbi ti attanaglino “da mesi”… Che libro usi?
Ti chiedo scusa, @Ema, mi rendo conto di non essere stato sufficientemente chiaro. Quello che intendevo con questo mio esempio
è che, in generale, non puoi dire nulla di un limite infinito*limitata.
no, come dice gugo non è lecito. In generale non puoi dire nulla sul limite di una cosa del genere. Prendiamo, ad esempio, $g(x)=x*sin(x)$ che sembra molto simile al mio esempio precedente, ma, in questo caso, $sin(x)$ è limitata e non ammette limite e neppure g(x) ammette limite.
Qual è la differenza tra i due, ti chiederai, allora ? In parole mooooolto semplici e non precise, è che, nel primo esempio, tu hai un infinito che moltiplica una funzione limitata sempre positiva, per cui il limite varrà $+infty$, mentre nel secondo caso, $sin(x)$ è una funzione sì limitata, ma assume valori sia positivi che negativi e, come se non bastasse, anche il valore 0, per cui avresti un infinito che moltiplica valori positivi, negativi o nulli di cui niente puoi dire riguardo al limite.
"BayMax":
Questa cosa non mi sembra vera: se prendo come controesempio la funzione $f(x)=x⋅(sin(x)+2)$, $sin(x)+2$ è una funzione limitata che non ammette limite, ma il limite di f(x) esiste ed è +∞.
è che, in generale, non puoi dire nulla di un limite infinito*limitata.
"Ema5584":
perciò è lecito infinita⋅limitata=+∞ ?
no, come dice gugo non è lecito. In generale non puoi dire nulla sul limite di una cosa del genere. Prendiamo, ad esempio, $g(x)=x*sin(x)$ che sembra molto simile al mio esempio precedente, ma, in questo caso, $sin(x)$ è limitata e non ammette limite e neppure g(x) ammette limite.
Qual è la differenza tra i due, ti chiederai, allora ? In parole mooooolto semplici e non precise, è che, nel primo esempio, tu hai un infinito che moltiplica una funzione limitata sempre positiva, per cui il limite varrà $+infty$, mentre nel secondo caso, $sin(x)$ è una funzione sì limitata, ma assume valori sia positivi che negativi e, come se non bastasse, anche il valore 0, per cui avresti un infinito che moltiplica valori positivi, negativi o nulli di cui niente puoi dire riguardo al limite.
"gugo82":
Mai usare software.
Fortunatamente, il nostro cervello è ancora un mezzo di calcolo piuttosto efficiente.
Hai ragione, mea culpa. Erano ore che provavo a trovare un modo, passando ai logaritmi ecc. ecc. ma niente. Allora ho sbirciato e mi sono creato una teoria su quel risultato
"gugo82":
No.
perciò non posso dire nulla a priori come per $ "infinitesima" * "limitata"$ e $ "limitata"/"infinito"$ se non ragionandoci su? (scusa l'insistenza, ma voglio capire bene questo fatto perchè non trovo da nessuna parte una domanda simile)
"gugo82":
Sì.
Dimostralo.
Dunque, premessa: non me la cavo con le dimostrazioni. Provo a scriverla a parole.
Poiché si tratta di un maggiorante negativo, sappiamo, per definizione di maggiorante, che anche la funzione $g$ è sempre negativa $\forall x \in g$. Di conseguenza per $x \to x_0$ si ha che $g(x)$ è negativa almeno definitivamente, perciò il limite del prodotto tra $f$ che tende a $+\infty$ e $g$, sarà, per l'aritmetizzazione parziale di infinito, uguale a $-\infty$. (Discorso analogo nel caso in cui $f \to -\infty$ per $x \to x_0$).
O almeno questo è ciò che mi ha portato a dare quella risposta.
"gugo82":
Piuttosto, questi teoremi sui limiti ci sono su ogni testo decente di Analisi, perciò mi pare strano che questi dubbi ti attanaglino “da mesi”… Che libro usi?
Uso il Bramanti, Pagani, Salsa... E no, prima di darmi quell'esercizio non ho incontrato tale teorema... Vi è soltanto il teorema per cui un infinitesimo per una limitata da come risultato un infinitesimo in senso di limite.
"BayMax":
Qual è la differenza tra i due, ti chiederai, allora ? In parole mooooolto semplici e non precise, è che, nel primo esempio, tu hai un infinito che moltiplica una funzione limitata sempre positiva, per cui il limite varrà $+infty$, mentre nel secondo caso, $sin(x)$ è una funzione sì limitata, ma assume valori sia positivi che negativi e, come se non bastasse, anche il valore 0, per cui avresti un infinito che moltiplica valori positivi, negativi o nulli di cui niente puoi dire riguardo al limite.
OKAY! Penso di aver capito e penso anche di riuscire a visualizzare ed a comprendere bene il motivo di tale incertezza
Perfetto! Grazie mille ad entrambi!! 
Siete stati di grandissimo aiuto!Comunque, @gugo82 mi sembra di aver mandato la risposta alla tua risposta tipo 2 giorni fa... spero vivamente di non aver premuto solo anteprima... Nel caso i miei timori fossero fondati e concreti, rispondo semplicemente all'ultima parte perchè non ho il tempo materiale per ricordare e riscrivere ciò che ho detto... In pratica uso il Bramanti, Pagani, Salsa e questi teoremi non ci sono prima della proposta di quell'esercizio... C'è solo quello secondo cui $"infinitesimo"*"limitata" = "infinitesimo"$.
Ritardi in coda di approvazione, scusa.
perciò non posso dire nulla a priori come per $ "infinitesima" * "limitata"$ e $ "limitata"/"infinito"$ se non ragionandoci su? (scusa l'insistenza, ma voglio capire bene questo fatto perchè non trovo da nessuna parte una domanda simile)[/quote]
Esatto.
Dunque, premessa: non me la cavo con le dimostrazioni. Provo a scriverla a parole.
Poiché si tratta di un maggiorante negativo, sappiamo, per definizione di maggiorante, che anche la funzione $g$ è sempre negativa $\forall x \in g$. Di conseguenza per $x \to x_0$ si ha che $g(x)$ è negativa almeno definitivamente, perciò il limite del prodotto tra $f$ che tende a $+\infty$ e $g$, sarà, per l'aritmetizzazione parziale di infinito, uguale a $-\infty$. (Discorso analogo nel caso in cui $f \to -\infty$ per $x \to x_0$).
O almeno questo è ciò che mi ha portato a dare quella risposta.[/quote]
Giusto, ma c'è da formalizzare bene.
Ad ogni buon conto, il Bramanti, Pagani & Salsa è la brutta copia del Pagani & Salsa ed è un testo che non consiglierei neanche sotto tortura.
Possibile che non ti sia stato consigliato nulla di meglio?
Cosa studi?
"Ema5584":
[quote="gugo82"]No.
perciò non posso dire nulla a priori come per $ "infinitesima" * "limitata"$ e $ "limitata"/"infinito"$ se non ragionandoci su? (scusa l'insistenza, ma voglio capire bene questo fatto perchè non trovo da nessuna parte una domanda simile)[/quote]
Esatto.
"Ema5584":
[quote="gugo82"]Sì.
Dimostralo.
Dunque, premessa: non me la cavo con le dimostrazioni. Provo a scriverla a parole.
Poiché si tratta di un maggiorante negativo, sappiamo, per definizione di maggiorante, che anche la funzione $g$ è sempre negativa $\forall x \in g$. Di conseguenza per $x \to x_0$ si ha che $g(x)$ è negativa almeno definitivamente, perciò il limite del prodotto tra $f$ che tende a $+\infty$ e $g$, sarà, per l'aritmetizzazione parziale di infinito, uguale a $-\infty$. (Discorso analogo nel caso in cui $f \to -\infty$ per $x \to x_0$).
O almeno questo è ciò che mi ha portato a dare quella risposta.[/quote]
Giusto, ma c'è da formalizzare bene.
Ad ogni buon conto, il Bramanti, Pagani & Salsa è la brutta copia del Pagani & Salsa ed è un testo che non consiglierei neanche sotto tortura.
Possibile che non ti sia stato consigliato nulla di meglio?
Cosa studi?
"gugo82":
Ritardi in coda di approvazione, scusa.
Fa niente, mi ero semplicemente spaventato
"gugo82":
Esatto.
Perfetto, ora mi è tutto più chiaro.
"gugo82":
Giusto, ma c'è da formalizzare bene.
Ne sono consapevole, ma non ne sarei in grado. Non sono molto portato a spiegare sinceramente
"gugo82":
Ad ogni buon conto, il Bramanti, Pagani & Salsa è la brutta copia del Pagani & Salsa ed è un testo che non consiglierei neanche sotto tortura.
Possibile che non ti sia stato consigliato nulla di meglio?
Cosa studi?
Ingegneria Informatica e sono d'accordo con te... Il libro è pessimo... pieno di errori anche molto gravi se non si è attenti e con lacune non da poco. Purtroppo non mi è stato consigliato nulla di meglio... Il professore copia spudoratamente dal libro. Infatti su 160 di solito lo passano solo in 20
Qualche consiglio su un buon libro dal quale studiare? Anche perchè sto facendo per conto mio ed ad esempio adesso mi ritrovo al Test di Monotonia per le derivate con tanta confusione in testa...
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