Limitatezza di una funzione e carattere di una serie
Ciao a tutti, qualche giorno fa mi sono imbattuto in questo esercizio:
La funzione $f(x)=\sin (x^2)$ è un esempio di funzione definita, limitata e derivabile su $\mathbb{R}$ con derivata continua e non limitata su $\mathbb{R}$.
(1) Provare che la funzione derivata $f '(x)$ è effettivamente una funzione non limitata.
(2) Si consideri la funzione segno $sign(f(x))$ , cioè la funzione così definita:
$$
sign(f(x))=
\begin{cases}
1,\ \text{se } f (x)\ge 0\\
0,\ \text{se } f(x)=0\\
-1,\ \text{se } f(x)\le0\\
\end{cases}
$$
Cosa si può dire dell'integrale della funzione $sign(f (x))$ tra $0$ e $+\infty$? Giustificare la risposta in modo rigoroso.
Ho provato a risolvere entrambi i punti, ma ho un po' di dubbi.
In allegato la mia soluzione.
grazie a tutti
La funzione $f(x)=\sin (x^2)$ è un esempio di funzione definita, limitata e derivabile su $\mathbb{R}$ con derivata continua e non limitata su $\mathbb{R}$.
(1) Provare che la funzione derivata $f '(x)$ è effettivamente una funzione non limitata.
(2) Si consideri la funzione segno $sign(f(x))$ , cioè la funzione così definita:
$$
sign(f(x))=
\begin{cases}
1,\ \text{se } f (x)\ge 0\\
0,\ \text{se } f(x)=0\\
-1,\ \text{se } f(x)\le0\\
\end{cases}
$$
Cosa si può dire dell'integrale della funzione $sign(f (x))$ tra $0$ e $+\infty$? Giustificare la risposta in modo rigoroso.
Ho provato a risolvere entrambi i punti, ma ho un po' di dubbi.
In allegato la mia soluzione.
grazie a tutti
Risposte
La foto (inutile dell'esercizio) ne conteneva anche lo svolgimento.
Quindi, dov'è il problema?
Quindi, dov'è il problema?
Probabilmente non mi sono spiegato bene.
La mia intenzione era quella di avere un confronto sulla mia soluzione, o comunque sapere di altri metodi di risoluzione.
Nell'inutile immagine avevo indicato alcuni passaggi sui quali non ero troppo convinto e speravo di poter trovare conferma o smentita qui.
grazie ancora
La mia intenzione era quella di avere un confronto sulla mia soluzione, o comunque sapere di altri metodi di risoluzione.
Nell'inutile immagine avevo indicato alcuni passaggi sui quali non ero troppo convinto e speravo di poter trovare conferma o smentita qui.
grazie ancora
Ah, capisco.
Allora scusa se ho cancellato l'immagine.
Puoi ricaricarla o, meglio, riscrivere i passaggi usando le formule (che vedo già padroneggi in maniera quasi ottimale)?
Allora scusa se ho cancellato l'immagine.
Puoi ricaricarla o, meglio, riscrivere i passaggi usando le formule (che vedo già padroneggi in maniera quasi ottimale)?
Nessun problema.
Dunque le questioni sono essenzialmente due:
◊La prima riguarda la dimostrazione che la funzione $f'(x)=2x \cos(x^2)$ è illimitata.
Per farlo io ho pensato di sfruttare il fatto che $\cos(x^2)$ è una funzione pari e limitata fra $-1$ e $+1$, dunque si ha
$$
\lim_{x\to +\infty} \cos(x^2)=\lim_{x\to -\infty} \cos(x^2)=L \in[-1,+1]
$$
per quanto riguarda $2x$ invece, questa è una funzione dispari e illimitata, dunque si ha
$$
\lim_{x\to \pm\infty} 2x=\mp \infty
$$
Tornando quindi alla funzione $f'(x)$ si ha
$$
\lim_{x\to \pm\infty} f'(x)=\lim_{x\to \pm\infty} 2x \cos(x^2)=\mp \infty\ \ \text{oppure}\ \ \pm \infty
$$
Il dubbio che mi è sorto riguarda il fatto che fra i valori possibili per $L$ c'è anche $0$ e in quel caso il risultato del limite non sarebbe necessariamente quello.
◊La seconda problematica riguarda invece il carattere della serie che compare sviluppando il punto 2 dell'esercizio.
Ottengo infatti:
$$
\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left[\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right]=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k+1} \sqrt{k}
$$
Io ho detto che la serie è oscillante per il teorema per serie oscillanti, ma non sono troppo convinto. In più mi domandavo perché non potrei applicare il Criterio di Leibniz alla prima delle due serie considerando $a_k=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.
Grazie mille per l'aiuto
Dunque le questioni sono essenzialmente due:
◊La prima riguarda la dimostrazione che la funzione $f'(x)=2x \cos(x^2)$ è illimitata.
Per farlo io ho pensato di sfruttare il fatto che $\cos(x^2)$ è una funzione pari e limitata fra $-1$ e $+1$, dunque si ha
$$
\lim_{x\to +\infty} \cos(x^2)=\lim_{x\to -\infty} \cos(x^2)=L \in[-1,+1]
$$
per quanto riguarda $2x$ invece, questa è una funzione dispari e illimitata, dunque si ha
$$
\lim_{x\to \pm\infty} 2x=\mp \infty
$$
Tornando quindi alla funzione $f'(x)$ si ha
$$
\lim_{x\to \pm\infty} f'(x)=\lim_{x\to \pm\infty} 2x \cos(x^2)=\mp \infty\ \ \text{oppure}\ \ \pm \infty
$$
Il dubbio che mi è sorto riguarda il fatto che fra i valori possibili per $L$ c'è anche $0$ e in quel caso il risultato del limite non sarebbe necessariamente quello.
◊La seconda problematica riguarda invece il carattere della serie che compare sviluppando il punto 2 dell'esercizio.
Ottengo infatti:
$$
\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left[\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right]=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k+1} \sqrt{k}
$$
Io ho detto che la serie è oscillante per il teorema per serie oscillanti, ma non sono troppo convinto. In più mi domandavo perché non potrei applicare il Criterio di Leibniz alla prima delle due serie considerando $a_k=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.
Grazie mille per l'aiuto
Per quanto riguarda il punto 1, non stai dimostrando nulla.
Per provare che la funzione $f^prime$ non è limitata (cosa diversa da "non ha limite"... Perché?) ti basta determinare punti $x_n,y_n$ appartenenti al dominio tali che la successione di termine generale $f^prime (x_n)$ non ha maggioranti e quella di termine generale $f^prime (y_n)$ non ha minoranti, oppure (ed anche meglio, perché è più semplice) tali che $lim_n f^prime (x_n)=+oo$ e $lim_n f^prime (y_n)=-oo$.
In questo caso, la faccenda è piuttosto semplice: se prendi $x_n$ tali che $cos x_n^2 =1$ cosa succede?
Come puoi scegliere, invece, gli $y_n$?
Per il punto 2, non mi pare che la serie sia quella giusta (manca qualche costante) e sì, potresti applicare Leibniz.
Per provare che la funzione $f^prime$ non è limitata (cosa diversa da "non ha limite"... Perché?) ti basta determinare punti $x_n,y_n$ appartenenti al dominio tali che la successione di termine generale $f^prime (x_n)$ non ha maggioranti e quella di termine generale $f^prime (y_n)$ non ha minoranti, oppure (ed anche meglio, perché è più semplice) tali che $lim_n f^prime (x_n)=+oo$ e $lim_n f^prime (y_n)=-oo$.
In questo caso, la faccenda è piuttosto semplice: se prendi $x_n$ tali che $cos x_n^2 =1$ cosa succede?
Come puoi scegliere, invece, gli $y_n$?
Per il punto 2, non mi pare che la serie sia quella giusta (manca qualche costante) e sì, potresti applicare Leibniz.
"gugo82":
Per quanto riguarda il punto 1, non stai dimostrando nulla.
Per provare che la funzione $f^\prime$ non è limitata (cosa diversa da "non ha limite"... Perché?) ti basta determinare punti $x_n,y_n$ appartenenti al dominio tali che la successione di termine generale $f^\prime (x_n)$ non ha maggioranti e quella di termine generale $f^\prime (y_n)$ non ha minoranti, oppure (ed anche meglio, perché è più semplice) tali che $lim_n f^\prime (x_n)=+oo$ e $lim_n f^\prime (y_n)=-oo$.
In questo caso, la faccenda è piuttosto semplice: se prendi $x_n$ tali che $cos x_n^2 =1$ cosa succede?
Come puoi scegliere, invece, gli $y_n$?
Dirò una bischerata, ma provare che $\exists x_0 \text{tale che} \lim_{x \to x_0} f'(x)=\infty$ non basta per dire che $f'(x)$ è illimitata?
"gugo82":
Per il punto 2, non mi pare che la serie sia quella giusta (manca qualche costante) e sì, potresti applicare Leibniz.
Si in effetti avevo lasciato qualche fattore moltiplicativo, la serie corretta dovrebbe essere questa
\[ \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left[\sqrt{(k+1)\pi}-\sqrt{k\pi}\right]=2\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k+1} \sqrt{k\pi} \]
Però:
se applico $Leibniz$ al primo membro allora risulta che la serie è convergente,
se considero il secondo membro, per il Teorema per serie oscillanti, ottengo che la serie è oscillante.
Per controllare ho provato ad aiutarmi con Wolfram Alpha, che mi suggerisce che la serie non è convergente.
Premesso che mi riguarderò meglio le varie definizioni ed enunciati, mi sapresti dare ancora un po' di aiuto?
Grazie
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