Analisi matematica di base

Ciao ragazzi per risolvere il seguente integrale in fratti semplici $\int (x^2+7x+12)/(x^3(x+3))dx$ Si può procedere in questo modo con il cubo al denominatore? O devo avere per forza come grado massimo $x^2$? $(Ax+B)/x^3+C/(x+3)$

Ciao, l'autore S. Lancelotti, nel suo libro "Lezioni di Analisi Matematica I", per dimostrare la derivabilità della funzione $f\cdot g$ prodotto di funzioni derivabili in un punto $x_0$ esegue, dopo aver applicato la definizione di derivata in $x_0$ e aggiunto e tolto opportunamente il termine $f(x_0)g(x)$ a numeratore, i seguenti ultimi passaggi \[ =\lim_{x\rightarrow x_0}\Big[{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x)}+f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\Big] ...

buongiorno, devo calcolare il seguente limite, mediante i limiti notevoli,purtroppo non ho il risultato, vi chiedo se vi sembra corretto lo svolgimento, sia : $lim_(x to 0^+)((tan^3(((1+x^(2/3))^(1/3)-1))+ln(1+sin^2(x)))/(arctan^3(3x)+5^(x^4)-1))(sqrt((1+x+x^2)/(x^2))-1/x)$ Pongo $I=((tan^3(((1+x^(2/3))^(1/3)-1))+ln(1+sin^2(x)))/(arctan^3(3x)+5^(x^4)-1)),$ $II=(sqrt((1+x+x^2)/(x^2))-1/x).$ Risulta $lim_(x to 0^+)I=lim_(x to 0^+) (([[tan^3((1+x^(2/3))^(1/3)-1))/(((1+x^(2/3))^(1/3)-1))]^3((1+x^(2/3))^(1/3)-1)^3+sin^2(x)[[ln(1+sin^2(x)))/(sin^2(x))]]/([arctan(3x)/(3x)]^3(3x)^3+x^4[(5^(x^4)-1)/x^4]))=cdots$ Adoperando: 1) $lim_(y to 0) tany/y=1=k$ 2)$lim_(y to 0) arctany/y=1$ 3)$lim_(y to 0) ln(1+y)/y=1$ 4)$lim_(y to 0) (a^y-1)/y=ln(4)$ e le relative sostituzione risulta $cdots=lim_(x to 0^+)(((1+x^(2/3))^(1/3)-1)^3+sin^(2)(x))/(27x^3+x^4)=lim_(x to 0)([((1+x^(2/3))^(1/3)-1)/(x^(2/3))]^3x^2+x^2[sinx/x]^2)/(27x^3+x^4)=cdots$ Adoperando: 5) $lim_(y to 0)((1+y)^k-1)/y$ con la relativa sostituzione risulta $cdots=lim_(x to 0^+)(x^2/27+x^2)/(27x^3+x^4)=lim_(x to 0^+)(28/27)x^2/(x^3(27+ln(5)x))=28/27lim_(x to 0^+)1/(x(27+ln(5)x))$ Procedo con ...

Salve a tutti! Sono un nuovo iscritto a questo forum molto utile e che spero di poter arricchire attivamente dal più presto possibile! Apro tuttavia quest'argomento chiedendo se qualcuno saprebbe risolvere questo esercizio, che mi ha portato a scoprire l'esistenza del forum. Calcolare,quando esiste, la somma della serie di Mengoli: Σ (da n>= 2) di (x^n)/n - (x^(n+1))/ (n+1). Sapendo che una serie di Mengoli converge alla somma S per il lim n-> di Sn; non capisco come continuare dopo aver ...

Salve ragazzi, devo studiare la convergenza di questa serie $ sum_(n = \1)^(infty) ln^2(n+2)/n^2 $ Ho studiato la serie con il criterio degli infinitesimi e la serie converge. Ora il mio dubbio è, avrei potuto notare che converge considerandola una serie armonica con $ alpha $ (esponente del denominatore) >1? Se si come posso mostrarlo? basta far vedere che $ sum_(n = \1)^(infty) ln^2(n+2)/n^2 = sum_(n = \1)^(infty) ln^2 (n+2)*(1)/n^2 $ Non credo basti, ho provato a studiarla per confronto asintotico ma non ne vengo a capo. Mi date una mano?

Ciao a tutti non riesco a spiegarmi la formula per il calcolo della derivata di $F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt$ So che la derivata di $\int_{x}^{b}f(t) dt$ è $-f(x)$ per il teorema fondamentale del calcolo, ma non capisco perché nel caso di$\int_{a(x)}^{b}f(t) dt$ diventa $-f(a(x))*a'(x)$. Inoltre la derivata di $\int_{a}^{b}f(x,t) dt$ è $\int_{a}^{b}f'(x) dt$ (di questa ho visto la dimostrazione che usa la uniforme continuità). Infine la formula iniziale utilizza tutti e 3 questi casi semplicemente sommandoli, perché?

Ciao ragazzi devo risolvere questo integrale per sostituzione e mi trovo in difficoltà sul termine da sostituire. $\int log(1+2x)dx$

Ciao ragazzi mi servirebbe un aiuto sul calcolo degli integrali multipli Dato un punto nel piano $P_***=(x_***,y_***)$ il sistema di coordinate polari centrato in $P_***$ è descritto da: ${(x=x_***+rcos\theta),(y=y_***+rsin\theta):}$ Prendendo un esempio: Calcoliamo l'integrale $\int int_Omega x dx dy$ sul dominio $Omega={(x,y}:x>=0,y>=0,1>=x^2+y^2<=4}$ il dominio Ω corrisponde alla regione rettangolare D nel piano r-θ data da: $D={(r,\theta):1<=r<=2,0<=\theta<=pi/2}$ Non capisco come è avvenuta questra trasformazione utilizzando il sistema scritto in ...

Ciao, il libro "Calcolo" di Marcellini e Sbordone a pagina 331 introduce la Discontinuità con un esempio di funzione definita a tratti \[ f(x)=\frac{|x|}{x} \] che assume valore costante $1$ se $x>0$ e $-1$ se $x<0$. Cito gli autori: "è continua per $x\ne 0$, ma non è continua se $x=0$. Il grafico di questa funzione presenta per $x=0$ un salto, appunto una discontinuità". Però nella dispensa dell'Università ...

Al variare del parametro $ lambda in R$ determinare numero e segno delle soluzioni dell'equazione $ e^x sqrt(x^2+2) = lambda $ Buonasera ragazzi mi date una mano a capire questo esercizio? probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Solitamente quando svolgo questo tipo di esercizio per prima cosa vedo il dominio della funzione, che in questo caso dovrebbe essere tutto $R$ Poi vado a vedere i limiti a + e - infinito che mi vengono rispettivamente $+infty$ e ...

Mi è sorta una domanda sul seguente fatto: Lo sviluppo del binomio al cubo $(1+x)^3$ con mc-laurin porta a: $1+3x+3x^2....$ Il punto è che pensavo, seio sviluppassi il cubo avrei: $1+3x+3x^2+3x^3$ Ma la cosa strana non è tanto che siano simili, è giusto perché nell'intorno di zero losviluppo "approssima" la funzione, ma in questo caso lo sviluppo è più esteso della funzione stessa. Quindi avendo lo sviluppo più termini ècome se fosse "più preciso" lo sviluppo della funzione ...

Vi pongo 3 esercizi sulla convergenza delle serie, sperando mi possiate dare una mano a risolverne 2 e a chiarirmi un dubbio sull'altro 1) $sum_1 n((e^((1/n) -sin(1/n)))/(1-cos(1/n)))$. Ho provato ad applicare il limite notevole dell'esponenziale e del coseno (quello del seno annulla il numeratore), ma non riesco a ricondurmi a nessuna asintotica equivalente. 2) $sum_1 (-1)^n *1/(n!)^(2/n)$. In questa le ho provate tutte: criterio del rapporto, della radice, ho riscritto il denominatore in funzione dell'esponenziale elevato al ...

Salve a tutti, vorrei proporvi 2 esercizi d'esame sulla convergenza di una serie: $1) sum_(n =2) (-1)^n [(n^4 +n^2)^(1/3) -(n^4 +1)^(1/3)]ln(n/(n-1))$. Essendo una serie a segni alterni ho impostato il modulo della stessa. Il mio tentativo di calcolo è stato sfruttare il limite notevole del logaritmo, ponendolo come $ln(1+1/(n-1))$ e, eliminando gli infiniti di ordine inferiore e spezzando la serie nella somma di due serie diverse, sono arrivato a $(n^(4/3))/n$. Il punto è che adesso l'armonica corrispondente diverge, quando invece ...

Buongiorno, Dovrei analizzare questa funzione: y=$x^cosx$, $x>=0$ Ho cercato di analizzarne il comportamento suddividendola in intervalli di ampiezza $\pi$/2, per poi generalizzare il risultato. Non capisco come si possono dedurre i suoi massimi e minimi dato che la sua derivata prima non si può studiare agevolmente. Avevo pensato di considerare la variazione dell'esponente in base alla crescenza/decrescenza e convessità/concavità della funzione cosx ma non ...

Sto cercando di dimostrare che nello spazio vettoriale normato \(\displaystyle (X=X_1\times...\times X_n, |\cdot |_X) \) (dove \(\displaystyle X_1,...,X_n \) sono spazi vettoriali normati, ognuno con la propria norma) deve sempre accadere, qualunque sia la norma \(\displaystyle |\cdot |_X \) che: \(\displaystyle |x|_X \to 0 \implies |x_j|_{X_j}\to 0 \) mi sembra una cosa ovvia da dire, perché se la norma di $x$ diventa nulla, si deve avere che $x=0$ e di conseguenza ...

Ciao! Ho un esercizio che proprio non riesco a risolvere: Calcolare la lunghezza di $ y(t)= t^(1/3) $ nell'intervallo [0,5]. Il mio approccio è stato di calcolare $ L(y, [0,5])=sqrt(1+(y'(t))^2 $, ma poi non riesco a risolvere l'integrale... Ho provato a risolverlo con WolframAlpha, ma nel risultato viene fuori una funzione "Hypergeometrica", che sinceramente non ho idea di cosa sia. Grazie mille!

Ciao, il libro "Esercizi di Analisi 1" di S. Lancelotti propone il seguente limite \[ \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x+\sin 3x}{x-\sin 2x}} \] La soluzione è $-4$ e l'autore raccoglie a numeratore e a denominatore il termine $x$, poi giunge al risultato utilizzando il limite notevole \[ \frac{\sin f(x)}{f(x)}\rightarrow 1 \] per $f(x)$ che tende a 0. Io ho provato a risolvere l'esercizio con i simboli di Landau in questo modo \[ \sin 3x\sim 3x, x\rightarrow ...

Buongiorno, mi trovo di fronte ad un esercizio che il docente di Analisi Matematica 2 ha assegnato allo scorso esame, tuttavia non riesco proprio a capire quale sia il ragionamento. Il testo è il seguente: per n Naturale \(f_n:[0,+\infty[ \rightarrow R , f_n=\frac{x^{4n}}{3+x^{3n}}\). Allora: a) \( (f_n)_{n \in N} \) converge uniformemente in \([0,1]\) b)\( \forall \delta \in ]0,1[ (f_n)_{n \in N} \) converge uniformemente in \( [0,\delta] \) e in \( [1+\delta,+\infty[ \) a due costanti ...

è vero che se il $\lim_{xtoinfty}f'(x)=l<0$ allora $\lim_{xtoinfty}f(x)=-infty$?

Buonasera a tutti, per favore mi aiutate nei passaggi di risoluzione di questa equazione...mi sto perdendo... 1.098.027 £ * (x/(1-(1/(1+x)^(215)))) = ( 1.413.068,00 £ - (281.297 £ * (1+x)^(-215)))/((1-(1+x)^(-215)))/(x) rispetto all'incognita "x". Grazie a tutti!!!