Analisi matematica di base

Salve, oggi ad analisi 1, abbiamo dimostrato una caratterizzazione del limite inferiore e del limite superiore di una successione a valori reali. Tuttavia non abbiamo dimostrato la controimplicazione e inoltre non avendo capito un passo che la professoressa aveva fatto, ho provato a rifare quel punto della dimostrazione. Ora, ho cercato sui libri per trovare qualche riferimento, ma effettivamente nessuno riportava la stessa proposizione. La proposizione (che qui riporto solo per il limite ...

Come da titolo, devo determinare il carattere della serie numerica $sum_{n=1}^{infty} cos(arcsin(\frac{n}{n+1}))$. Ho pensato di risolvere così: riscrivo il termine generale $a_n = cos(arcsin(\frac{n}{n+1}))$ come $cos(arcsin(\frac{n}{n+1})) = \sqrt{1-sin^2(arcsin(\frac{n}{n+1}))} = \sqrt{1-(\frac{n}{n+1})^2}$ dove, nell'ultima uguaglianza, ho sfruttato la proprietà della composizione di funzioni tra di loro inverse. Svolgendo anche il minimo comune multiplo ottengo, in definitiva $a_n = \frac{\sqrt{2n+1}}{n+1}$ A questo punto, applico il criterio del confronto asintotico per le serie, considerando come termine di paragone ...

Buonasera a tutti, Oggi mi sono imbattuto in una funzione derivabile in un punto in cui le sue derivate parziali non erano definite. Non potendo calcolare il valore per sostituzione diretta, ho usato la definizione. Suppongo sia un caso piuttosto comune, ma mi domando: come studiare la derivabilità di una funzione in due variabili?

Ciao a tutti, apro la mia presenza in questo forum con una domanda banale ma di cui vorrei discutere per afferrare meglio il concetto che ci sta dietro. Immaginando una funzione a tratti: $y=5$ per x=1 essendo non continua è sicuramente (teorema) non derivabile in quanto derivabilità implica continuità. Se però pensassi banalmente di derivare le due funzioni costanti anche trovo che varrebbe 0 la derivata in ogni suo tratto. Quello che mi chiedo è ...

Buongiorno, sto trovando difficoltà a risolvere questo esercizio: determinare per quali $a in RR$, $f(x,y)=(pi/2 - arctan(|y|^a))/(1+x^2+|y|)$ è $L^1(RR^2)$ $f(x,y)=f(-x,y)$ e $f(x,y)=f(x,-y)$, dunque posso studiare l'integrabilità in $(0,+infty)$ $\int_(RR^2) f(x,y) dxdy$ $= \int_0^(+infty) int_0^(+infty) f(x,y)dxdy$ integrando prima in $x$ ottengo $\int_0^(+infty) (pi^2-2pi*arctan(|y|^a))/(4sqrt(1+|y|))dy$ da cui ottengo come punti critici per l'integrabilità solo $0$ e $+infty$ (spero di non aver sbagliato) : chiamando ...

Sia (X,d) spazio metrico e siano p∈X e A⊆X. p è di accumulazione per A se e solo se esiste una successione iniettiva di punti di A convergente a p. Ho fatto tutta la dimostrazione ma non capisco la necessità dell'iniettivitá della successione.

Ciao a tutti Sto svolgendo alcuni esercizi proposti in classe durante le esercitazioni di Analisi 2. Mi sono trovata davanti a questo problema e ammetto che non so bene come partire. Non sto chiedendo di darmi la soluzione né lo svolgimento, ma solamente un input su come ragionare con questo tipo di problemi Perché detta in modo banale, so come fare con quelli standard, ma non come fare con questi in cui non ho il problema di continuità in (0,0) o in cui devo trovare al funzione g(x)! Data ...

Ciao a tutti ho un problema nel calcolare un limite, so che è una domanda stupida, ma non capisco bene come fare. Mi viene chiesto di verificare che il gradiente della seguente funzione sia nullo. Questa è la funzione in due variabili che ho $ f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)(1-e^((x^2+y^2)/abs(x))) $ Ho calcolato $ (partial f)/(partial x) (0,0)=lim_(t -> 0) (f(t,0)-f(0,0))/t $ e mi viene 0 Se calcolo $ (partial f)/(partial y) (0,0)=lim_(t -> 0) (f(0,t)-f(0,0))/t $ incappo in un problema , ovvero ottengo $ lim_(t -> 0) (abs(t)(1-e^(-t^2/abs(0))))/t $ ora, all'esponente mi viene un $ e^(-infty) $ che tende a 0 e mi rimane solo un ...

Ciao a tutti, cercouna risposta a un dubbio su cui non riesco bene a rispondermi da solo. Spero in un aiuto e ringrazio anticipatamente. La mia domanda, come da titolo, si rifà ai sistemi di equazioni e non capisco se vi sia un modo per capire prima quante soluzioni aspettarmi. Vorrei portare alcuni esempi e capire in generale il ragionamento. Partendo da un sistema lineare mi rendo conto di poter avere una ennupla di valori che sono la mia soluzione, altrimenti ho altri due casi un numero ...

Ho trovato questa uguaglianza \(\displaystyle o(x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^3)) = o(x^2) \) per $x->0$ tuttavia mi chiedo, se ad esempio \(\displaystyle x^2 = o(x) \), allora avremmo \(\displaystyle o(o(x) - \frac{x^4}{2} + o(x^3)) = o(o(x)) = o(x)\) per $x->0$ quindi mi chiedo: com'è possibile che l'uguaglianza dipenda dalle sostituzioni che scelgo? Addirittura, potrei sostituire anche $x^2$ con $o(1)$, avendo ancora un ulteriore ...

salve ho problemi nel trovare i punti critici di questa funzione $ f(x,y)=x^2+2(x+y)+2sqrt(2) (x+1)sqrt(y) $ ho calcolato le derivate parziali della funzione e le ho messe a sistema $ f'x=2x+2+2sqrt(2y) $ $ f'y=(2x+2+2sqrt(2y)) /sqrt(2y) $ $ { ( f'x=0 ),( f'y=0 ):} $ il sistema mi viene $ x=-1-sqrt(2y) $ $ y=y $ a questo punto non so come muovermi...

Buongiorno, ho un po' di confusione e quindi la mia domanda può essere banale: nello studiare il cambio base nel piano cartesiano vedo, se non sbaglio, che la matrice jocobiana della trasformazione per rotazione rigida degli assi ortogonali può essere anche 'usata' come matrice di trasformazione delle coordinate di un vettore, mentre in un passaggio da polari a cartesiane o viceversa questo non vale. Noto che in questo secondo caso le relazioni tra vecchie e nuove variabili non sono ...

Ciao, chiedo aiuto per il seguente limite: Nell'argomento di arctg il rapporto a primo termine, considerando gli infiniti di grado maggiore e trascurando gli altri verrebbe 2. Il prodotto al secondo termine non fa zero perchè a denominatore (x+3) o (x+4) sono un infinito di ordine maggiore de rispettivi numeratori? $\lim_{x \to \+infty} arctan [(2x^2+logsinhx+3x+2)/(x^2-3x+5logcoshx) - (logsinhx)/(x+3) (logcoshx)/(x+4)] = \pi/4$ Invece dovrebbe venir fuori 1 per giustificare il risultato. Dove sbaglio? Grazie

Quando bisogna risolvere l'equazione di Schrödinger per la particella su un anello, data la simmetria del sistema è conveniente passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate cilindriche. Quindi, l'operatore laplaciano diventa da $$ \nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} $$ a $$ \nabla^2 = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r \dfrac{\partial}{\partial r} \right) + \dfrac{1}{r^2} ...

Ciao a tutti. Avrei bisogno un aiuto su questo limite, sono riuscito a scomporlo fino a qua, ma mi sono bloccato. $\lim_{n \to \+infty}cos(1/n)^(n^2)$

Buongiorno a tutti, sono alle prese con lo studio dei punti critici di una funzione in più variabili. Il nostro docente ci ha mostrato due metodi, il criterio della matrice Hessiana e il metodo del segno. Mi domando se esistano altri criteri che uno studente debba conoscere per affrontare un esame di Analisi 2. Mi rendo conto che la domanda sia abbastanza "opportunista", ma credo che in questo caso sia concessa Grazie in anticipo!

risolvere la seguente equazione differenziale al variare di $t in RR$ $(1+tx)y''+t^2(xy'-y)=(1+tx)^2$ se $t=0$ allora $y''=1$ da cui $y=1/2x^2+Cx+D$ se $t!=0$ allora $(1+tx)y''+t^2xy'-t^2y=(1+tx)^2$, da cui se $1+tx !=0$ cioè $x !=1/t$ allora $y''+(t^2x)/(1+tx)y'-t^2/(1+tx)y=1+tx$ tuttavia poi non riesco a capire come poter andare avanti: ho cercato e dovrei aver capito che è un' equazione ordinaria lineare a coefficienti variabili del secondo ordine ma non ho idea su come ...

Devo studiare il carattere della serie $\sum_{n=2}^infty log^(5)n/(n^2)$. L'esercizio suggerisce di fare il confronto asintotico con la successione $b_n=1/n^(3/2)$. Potrste spiegarmi perchè funziona proprio quel tipo di successione e come bisognerebbe dedurlo? Perchè non funziona ad esempio $1/n$ oppure $1/n^2$?

Buongiorno, ho un dubbio su un problema di Cauchy. La richiesta è determinare la soluzione di $y''=1/(2x)((y')^2-1)$ ,$x!=0$ che abbia un punto di contatto del secondo ordine con $h(x)=x^2-x$. $(1)$ Ciò che non mi è chiaro è questo fatto: io come punto di contatto del secondo ordine $(x_0,y_0)$ tra 2 funzioni $g(x)$ e $h(x)$ ricordavo la definizione : $g(x_0)=h(x_0)$, $g'(x_0)=h'(x_0)$, $g''(x_0) != h''(x_0)$ Dunque con un esempio pratico: data ...

Ciao a tutti, ho iniziato da poco le equazioni differenziali e sto avendo dei problemi su un tipo di problemi di cauchy. Vi metto un esempio: $\{ (y'=y-1), (y(0)=0) :}$ Il mio problema è che facendo i calcoli mi trovo $ln|y+1|$, e non so se prendere l'argomento del modulo positivo o negativo. Come posso risolvere? Grazie in anticipo