Analisi matematica di base

Buongiorno, torno dopo qualche tempo sul forum per una richiesta di aiuto con un limite di cui non riesco a trovare una soluzione completa... Il limite in questione è quello della successione \[(a_n)_{n>0}=\left(\left(\frac{(1+\frac{1}{n})^{n+1}}{e}\right)^n\right)_{n>0}\] che (soluzione alla mano) tende a \(\sqrt e\). Evidentemente, si genera una forma indeterminata del tipo \([1^\infty]\) quindi ho pensato di impiegare i log o arrivare addirittura alla ricerca diretta dell'estremo superiore ...

Buonasera a tutti Come si risolve questo esercizio? Per quale valore di $a$ la serie $\sum ln(1+n^a)$ converge? io ho pensato: $\sum ln(1+n^a) = ln(1+1/n^-a)$ $\cong 1/n^(-a)$ e converge per $-a>1$ $\rightarrow$ $a<-1$ Infatti per confronto, anche $\sum 1/n^a$ converge per $a>1$ e diverge per $a<=1$ Non sono sicuro però, non ho molta dimestichezza con le serie... è giusto? altrimenti, come procedere?

Buonasera, non riesco a risolvere i seguenti limiti: $ lim_(x -> 4+) (sqrt(1+(sqrt(x)-2))-1)/(e^(x^2-16)-1) $ e $ lim_(x -> 1) (xe^(tan(x-1))-e^ln(x))/ln(1+arcsin(x-1) $ Per il primo ho provato ad usare i limiti notevoli adatti per arrivare a: $((sqrt(x)-2)/2)/(x^2-16)$ ma non so come continuare. Per il secondo ho provato di nuovo con i limiti notevoli arrivando a: $(xe^(x-1)-e^x)/(x-1)$ ma non trovo un modo per raccogliere le e in modo da avere un limite notevole

Ciao a tutti, sto svolgendo un esercito sulle equazioni differenziali e mi è richiesto di considerare la soluzione del problema di Cauchy al variare del parametro reale $ alpha $ . Ecco il problema di Cauchy: $ { ( y'=(2y+y^2)/(1+x^2) ),( y(0)=alpha ):} $ Io ho trovato la soluzione finale, che è $ y(x)=(2e^(2arctg(x)))/(((2+alpha)/(alpha))-e^(2arctg(x))) $ La mia domanda è: il primo punto è finito qui così? Nel senso, devo discutere ulteriormente il parametro alpha? L'unica cosa che mi è venuta in mente è stata quella che per alpha=-2 la soluzione ...

Buonasera a tutti. Devo risolvere i seguenti esercizi: Considero il primo esercizio che ho svolto, visto che la metodologia sarà simile per tutti. Ho provato a sviluppare ogni funzione con McLaurin (fino al terzo grado), ottenendo: $ sin (x)^2 = x^2 + o(x^4) $ $ cos (x^2) = 1 + o(x^4) $ $ ln (1+x) = x-x^2/2+x^3/3 + o(x^4) $ Sostituendo, mi si annulla il numeratore; al denominatore, avendo il limite per 0, considero il termine dello sviluppo del logaritmo di grado minore, ottenendo alla fine: ...

La domanda proviene da un esercizio riguardante i limiti usando il teorema del confronto su questa successione: l = 0 (limite tende a zero per la successione ) $ b_n = ( sen (n) ) / n $ $ |b_n| <= c_n $ $ a_n = - c_n $ $ , l = 0 $ La risoluzione sarebbe... $ |b_n| <= (|sen(n)|)/ |n| $ $ |b_n| <= (1)/ n $ $ c_n -> 0 $ , per $ n -> oo $ $ lim_(n-> oo )b_n = 0 $ Perchè il $ |sen(n)| <= 1 $ ? Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi tutto l'esercizio nel dettaglio con i singoli ...

Si calcoli il volume dell'insieme $$ E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1,\hspace{1mm}\sqrt{2}(x^2+y^2) \leq z \leq \sqrt{6}(x^2+y^2) \} $$ Io ho provato in coordinate cilindriche, in questo sistema di coordinate: $$ E = \{( \rho, \theta ,z) \in \mathbb{R}^3 : \rho^2 + z^2 \leq 1,\hspace{1mm}\sqrt{2}\rho^2 \leq z \leq \sqrt{6}\rho^2, \hspace{1mm}0 \leq \theta \leq 2\pi, \hspace{1mm} \rho \geq 0 \} $$ Da ...

Per dimostrare che $ f(x) = \sqrt{x} $ è localmente holderiana con $ \alpha = \frac{1}{2} $ , ho sfruttato il fatto che $ | a^2 - b^2 | \le | a - b| | a + b | $ e ponendo $ a = \sqrt{x} $ e $ b = \sqrt{b} $ ho svolto i seguenti calcoli: $ |\sqrt{x} - \sqrt{y} |^2 = \frac{| x - y |}{( \sqrt{x} + \sqrt{y} )^2}|x - y |$ E quindi $ \forall x,y \in I $ (un intervallo contenuto nel dominio della funzione ) ottengo che: $ |\sqrt{x} - \sqrt{y} |^2 \le \frac{\mbox{sup}(I)}{( \sqrt{x} + \sqrt{y} )^2} |x - y |$ Cioè $ | \sqrt{x} - \sqrt{y} |\le \frac{\sqrt{mbox{sup}(I)}}{2\sqrt{\mbox{inf}(I)}} |x - y |^{\frac{1}{2} $ E quindi $ f $ è localmente holderiana con $ H = \frac{\sqrt{mbox{sup}(I)}}{2\sqrt{\mbox{inf}(I)}} $ Questo è il ragionamento che ho fatto, però mi sembra un po' ...

Buonasera a tutti e buon anno. Mi aiutate con questi due esercizi? Esercizio 1 Trovare opportuni valori dei parametri $a$ e $b$ relativi alla funzione $y=x+a+b/x$ avente un estremo relativo in $x=2$ e asintoto obliquo passante per il punto $(3,8)$. per questo esercizio ho pensato: $y=mx+q$ $m=lim_(x->+infty) (x+a+b/x)*(1/x) = lim_(x->+infty) (1+a/x+b/x^2)= 1$ , $x\ne0$ $q=lim_(x->+infty) (x+a+b/x)- x = a$ $y=x+a$ impongo il passaggio per il punto $(3,8)$ e trovo ...

Buongiorno a tutti, di recente sto affrontando degli esercizi che richiedono di trovare massimo e/o minimo di un determinato insieme. Il mio problema è che non capisco la logica che ci sta dietro, cioè non so se ci sono calcoli immediati che conducono ad una soluzione precisa oppure bisogna fare diverse prove, vi lascio alcuni esempi che ho trovato per intenderci: $A = { (2+(-1)^n)/(2^n+(-1)^(n+1)), n in NN, n >= 1}$ $B = { (2+2^(-n))/(3-3^(-n)), n in NN, n >= 1}$ Se qualcuno conosce un metodo efficace per calcolare i massimi e minimi mi salverebbe dal ...

Salve a tutti, postai tempo fa una successione di funzioni che vi riporto: $ f_n(x) = \{ (( \frac{x-1}{x+1} )^{n} , ", per " 1<= x <= 2n), <br /> (e^(\frac{n}{x}), ", per " x > 2n) :}<br /> $ Possiamo dire che la successione converge uniformente in ogni intervallo chiuso del tipo $ [1,a] $ con $ a>1 $. Mi chiedo perchè nello studio specifico: 1- Va esclusa la seconda successione 2- Nei casi generali in cui gli estremi del dominio di definizione fossero assegnati come successioni in $n$, è lecito considerare, per l'operazione di limite che ne garantisce ...

Buongiorno, ho un problema con questo esercizio: $ sum_(n = \1)^(oo) e^sinn(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn $ Sapendo che il seno di n è compreso tra -1 ed 1 ho risolto in questo modo: $ e^sinn(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn <= e(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn $ Considerando le stime asintotiche ottengo: $ e(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn ~ e* 1/n * !/sqrtn = e/n^(3/2) $ A questo punto il mio libro riporta che, per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente 3/2 la serie di partenza converge assolutamente. Il mio dubbio è questo: come posso affermare che la serie $ sum(e/n^(3/2)) $converge se vale la relazione ...

Ciao, ho da svolgere questo limite di successioni: $\lim_{n \to +\infty}(nln(n)^3 - sqrt(n) + n^(3/2))/(2n + 3n^(1/3) - nln(n)^4)$ Io ho usato il metodo di prendere i preponderanti al numeratore e denominatore e quindi rimarebbe: $(nln(n)^3)/(nln(n)^4)$ il cui limite tenderebbe a $0$ mentre il libro dice che il risultato è $-\infty$ Qualcuno sa cosa potrei sbagliare?

Ciao a tutti, chiedevo un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio di Analisi II: Stabilire per quale parametro $ alpha in RR $ è definito su $ RR^3-(0,0,0) $ un potenziale $ U $ per $ F(x,y,z)=((alpha x+(alpha-1)y)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (alpha y+(alpha-1)x)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (alpha z+(alpha-1)xy)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))) $. Per tale valore di $ alpha $ determinare $ U $ tale che $ U(1,0,0)=alpha $ . Per prima cosa ho verificato l'irrazionalità del campo e ho trovato che $ F(x,y,z) $ è conservativo per $ alpha=1 $ , quindi ho ottenuto $ F(x,y,z)=((x)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (y)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (z)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))) $. ...

Buonasera vorrei proporvi una dimostrazione alternativa per il calcolo dell'area del cerchio. Normalmente viene dimostrata dividendo la circonferenza in molti spicchi ma a mio avviso è una soluzione un po' macchinosa. TEOREMA "Il valore della superficie di una circonferenza di raggio “R”, è pari al valore della superficie del triangolo isoscele con altezza “R” e base equivalente al valore della circonferenza “C”." Circonferenza del cerchio $ C=2piR $ Area del ...

Buongiorno a tutti e buon anno! Vorrei proporvi 2 serie, di cui ne ho risolta una, ma non sono sicuro sul procedimento: $1) \sum_{n=1}^infty((1+n)^(n-1) log(e^(-n) +1))/(n!)$. Ho visto che con il criterio del rapporto/radice non si ottiene nulla, ho quindi provato con delle stime asintotiche, ponendo $(1+n)^(n-1) = ((1+n)^n)/(1+n) = (n^n)/n = n^(n-1), n->+infty$, e $log(e^(-n) +1) = e^(-n)$. Anche così però non ho saputo granchè come procedere, avreste suggerimenti? $2) \sum_{n=1}^infty(-1)^n 1/(2n-15)$. Ho applicato il criterio di Leibniz, e nel dimostrare che $An$ è decrescente, ho ...

Definizione (stessa cosa per le funzioni concave): se f è derivabile 2 volte , è convessa se e solo se $ f'' >= 0 $ se f è derivabile 2 volte , è strettamente convessa se $ f'' > 0 $ Perchè nel caso di stretta convessità "se e solo se" diventa "se " ( cioè non vale piu' il viceversa)? Non trovo un controesempio in cui f'' sia >0 ma la f non sia strettamente convessa! Grazie

Salve, a lezione il prof ha proposto un esercizio . Data la seguente funzione : $f(x)= e^((1)/(x-3))$. Stabilire se la funzione è continua in $x=3$. Lui arriva alla conclusione che il punto $x=3$ è un punto di discontinuità di seconda specie, ma non è di terza specie? Infatti la funzione non è definita nel punto e quindi ricado nella singolarità ( e non discontinuità ) di terza specie. Stessa cosa con la funzione $f(x)= sen ((1)/(x-1))$. Nel punto $x=1$ la funzione ...

Si consideri la funzione: $f_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)\; \ \x in RR$ studiare la convergenza puntuale ed uniforme. Convergenza puntuale: Le funzioni sono dispari, quindi basta studiarle da $x>=0$. $lim_{n->+\infty}(nx)/(1+n^2x^2)=0$, quindi $f_n$ converge puntualmente ad $f=0$ su tutto $R^+$ Convergenza uniforme: studio la funzione $\SUP\_{x>=0}{|(nx)/(1+n^2x^2)-0|}$ ovvero la massima distanza tra$ f=0$ e $f_n$. Individuo il sup derivando la funzione e cercando il punto x in cui ...

Buonasera a tutti, ho appena risolto il seguente integrale $\int\int_Hxydxdy$ con $H:={(x,y)\inRR^2:1<=x^2-y^2<=9,2<=x+y<=4}$ applicando il seguente cambiamento di variabili ${(x+y=u),(x^2-y^2=w):}$ ottenendo come risultato $5.54...$. Ho poi provato a verificarlo su Wolfram Alpha, il quale restituisce come risultato circa $3$. Chi è in errore? Non scrivo la soluzione perché l'integrale è molto semplice e mi richiederebbe fin troppo tempo, concedetemelo. Grazie in anticipo!