Analisi matematica di base
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Si calcoli il volume dell'insieme $$ E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1,\hspace{1mm}\sqrt{2}(x^2+y^2) \leq z \leq \sqrt{6}(x^2+y^2) \} $$
Io ho provato in coordinate cilindriche, in questo sistema di coordinate:
$$ E = \{( \rho, \theta ,z) \in \mathbb{R}^3 : \rho^2 + z^2 \leq 1,\hspace{1mm}\sqrt{2}\rho^2 \leq z \leq \sqrt{6}\rho^2, \hspace{1mm}0 \leq \theta \leq 2\pi, \hspace{1mm} \rho \geq 0 \} $$
Da ...
Per dimostrare che $ f(x) = \sqrt{x} $ è localmente holderiana con $ \alpha = \frac{1}{2} $ , ho sfruttato il fatto che $ | a^2 - b^2 | \le | a - b| | a + b | $ e ponendo $ a = \sqrt{x} $ e $ b = \sqrt{b} $ ho svolto i seguenti calcoli:
$ |\sqrt{x} - \sqrt{y} |^2 = \frac{| x - y |}{( \sqrt{x} + \sqrt{y} )^2}|x - y |$
E quindi $ \forall x,y \in I $ (un intervallo contenuto nel dominio della funzione ) ottengo che:
$ |\sqrt{x} - \sqrt{y} |^2 \le \frac{\mbox{sup}(I)}{( \sqrt{x} + \sqrt{y} )^2} |x - y |$
Cioè
$ | \sqrt{x} - \sqrt{y} |\le \frac{\sqrt{mbox{sup}(I)}}{2\sqrt{\mbox{inf}(I)}} |x - y |^{\frac{1}{2} $
E quindi $ f $ è localmente holderiana con $ H = \frac{\sqrt{mbox{sup}(I)}}{2\sqrt{\mbox{inf}(I)}} $
Questo è il ragionamento che ho fatto, però mi sembra un po' ...
Buonasera a tutti e buon anno.
Mi aiutate con questi due esercizi?
Esercizio 1
Trovare opportuni valori dei parametri $a$ e $b$ relativi alla funzione $y=x+a+b/x$ avente un estremo relativo in $x=2$ e asintoto obliquo passante per il punto $(3,8)$.
per questo esercizio ho pensato:
$y=mx+q$
$m=lim_(x->+infty) (x+a+b/x)*(1/x) = lim_(x->+infty) (1+a/x+b/x^2)= 1$ , $x\ne0$
$q=lim_(x->+infty) (x+a+b/x)- x = a$
$y=x+a$ impongo il passaggio per il punto $(3,8)$ e trovo ...
Buongiorno a tutti, di recente sto affrontando degli esercizi che richiedono di trovare massimo e/o minimo di un determinato insieme. Il mio problema è che non capisco la logica che ci sta dietro, cioè non so se ci sono calcoli immediati che conducono ad una soluzione precisa oppure bisogna fare diverse prove, vi lascio alcuni esempi che ho trovato per intenderci:
$A = { (2+(-1)^n)/(2^n+(-1)^(n+1)), n in NN, n >= 1}$
$B = { (2+2^(-n))/(3-3^(-n)), n in NN, n >= 1}$
Se qualcuno conosce un metodo efficace per calcolare i massimi e minimi mi salverebbe dal ...
Salve a tutti,
postai tempo fa una successione di funzioni che vi riporto:
$ f_n(x) = \{ (( \frac{x-1}{x+1} )^{n} , ", per " 1<= x <= 2n), <br />
(e^(\frac{n}{x}), ", per " x > 2n) :}<br />
$
Possiamo dire che la successione converge uniformente in ogni intervallo chiuso del tipo $ [1,a] $ con $ a>1 $.
Mi chiedo perchè nello studio specifico:
1- Va esclusa la seconda successione
2- Nei casi generali in cui gli estremi del dominio di definizione fossero assegnati come successioni in $n$, è lecito considerare, per l'operazione di limite che ne garantisce ...
Buongiorno, ho un problema con questo esercizio:
$ sum_(n = \1)^(oo) e^sinn(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn $
Sapendo che il seno di n è compreso tra -1 ed 1 ho risolto in questo modo:
$ e^sinn(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn <= e(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn $
Considerando le stime asintotiche ottengo:
$ e(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn ~ e* 1/n * !/sqrtn = e/n^(3/2) $
A questo punto il mio libro riporta che, per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente 3/2 la serie di partenza converge assolutamente.
Il mio dubbio è questo: come posso affermare che la serie $ sum(e/n^(3/2)) $converge se vale la relazione ...
Ciao, ho da svolgere questo limite di successioni:
$\lim_{n \to +\infty}(nln(n)^3 - sqrt(n) + n^(3/2))/(2n + 3n^(1/3) - nln(n)^4)$
Io ho usato il metodo di prendere i preponderanti al numeratore e denominatore e quindi rimarebbe:
$(nln(n)^3)/(nln(n)^4)$
il cui limite tenderebbe a $0$ mentre il libro dice che il risultato è $-\infty$
Qualcuno sa cosa potrei sbagliare?
Ciao a tutti,
chiedevo un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio di Analisi II:
Stabilire per quale parametro $ alpha in RR $ è definito su $ RR^3-(0,0,0) $ un potenziale $ U $ per $ F(x,y,z)=((alpha x+(alpha-1)y)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (alpha y+(alpha-1)x)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (alpha z+(alpha-1)xy)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))) $. Per tale valore di $ alpha $ determinare $ U $ tale che $ U(1,0,0)=alpha $ .
Per prima cosa ho verificato l'irrazionalità del campo e ho trovato che $ F(x,y,z) $ è conservativo per $ alpha=1 $ , quindi ho ottenuto $ F(x,y,z)=((x)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (y)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (z)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))) $. ...
Buonasera vorrei proporvi una dimostrazione alternativa per il calcolo dell'area del cerchio. Normalmente viene dimostrata dividendo la circonferenza in molti spicchi ma a mio avviso è una soluzione un po' macchinosa.
TEOREMA
"Il valore della superficie di una circonferenza di raggio “R”, è pari al valore della superficie del
triangolo isoscele con altezza “R” e base equivalente al valore della circonferenza “C”."
Circonferenza del cerchio
$ C=2piR $
Area del ...
Buongiorno a tutti e buon anno! Vorrei proporvi 2 serie, di cui ne ho risolta una, ma non sono sicuro sul procedimento:
$1) \sum_{n=1}^infty((1+n)^(n-1) log(e^(-n) +1))/(n!)$. Ho visto che con il criterio del rapporto/radice non si ottiene nulla, ho quindi provato con delle stime asintotiche, ponendo $(1+n)^(n-1) = ((1+n)^n)/(1+n) = (n^n)/n = n^(n-1), n->+infty$, e $log(e^(-n) +1) = e^(-n)$. Anche così però non ho saputo granchè come procedere, avreste suggerimenti?
$2) \sum_{n=1}^infty(-1)^n 1/(2n-15)$. Ho applicato il criterio di Leibniz, e nel dimostrare che $An$ è decrescente, ho ...
Definizione (stessa cosa per le funzioni concave):
se f è derivabile 2 volte , è convessa se e solo se $ f'' >= 0 $
se f è derivabile 2 volte , è strettamente convessa se $ f'' > 0 $
Perchè nel caso di stretta convessità "se e solo se" diventa "se " ( cioè non vale piu' il viceversa)?
Non trovo un controesempio in cui f'' sia >0 ma la f non sia strettamente convessa!
Grazie
Salve, a lezione il prof ha proposto un esercizio .
Data la seguente funzione : $f(x)= e^((1)/(x-3))$. Stabilire se la funzione è continua in $x=3$. Lui arriva alla conclusione che il punto $x=3$ è un punto di discontinuità di seconda specie, ma non è di terza specie? Infatti la funzione non è definita nel punto e quindi ricado nella singolarità ( e non discontinuità ) di terza specie.
Stessa cosa con la funzione $f(x)= sen ((1)/(x-1))$. Nel punto $x=1$ la funzione ...
Si consideri la funzione: $f_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)\; \ \x in RR$ studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
Convergenza puntuale:
Le funzioni sono dispari, quindi basta studiarle da $x>=0$.
$lim_{n->+\infty}(nx)/(1+n^2x^2)=0$, quindi $f_n$ converge puntualmente ad $f=0$ su tutto $R^+$
Convergenza uniforme:
studio la funzione $\SUP\_{x>=0}{|(nx)/(1+n^2x^2)-0|}$ ovvero la massima distanza tra$ f=0$ e $f_n$.
Individuo il sup derivando la funzione e cercando il punto x in cui ...
Buonasera a tutti,
ho appena risolto il seguente integrale
$\int\int_Hxydxdy$ con $H:={(x,y)\inRR^2:1<=x^2-y^2<=9,2<=x+y<=4}$
applicando il seguente cambiamento di variabili
${(x+y=u),(x^2-y^2=w):}$
ottenendo come risultato $5.54...$.
Ho poi provato a verificarlo su Wolfram Alpha, il quale restituisce come risultato circa $3$. Chi è in errore?
Non scrivo la soluzione perché l'integrale è molto semplice e mi richiederebbe fin troppo tempo, concedetemelo.
Grazie in anticipo!
Volevo proporre un esercizio base per chiedere alcuni chiarimenti...
sia data la funzione: $f(x,y)=\{(y^2log(x)/((x-1)^2+y^2)\ se\ (x,y)!=(0,0)),(1\ se\ (x,y)=(1,0)):}$
Devo verificare la continuità nel punto (1,0), quindi calcolo il limite usando le coordinate polari, ponendo $x=hcos(\theta)\; \y=hsin(\theta)$
$lim_{h->0}sin^2(\theta)log(1+hcos(\theta))=0$
Ora se ho ben capito con il passaggio seguente dovrei verificare che il limite sia uniforme rispetto all'angolo scelto, ossia che indipendentemente dall'angolo theta scelto, il limite sia sempre lo stesso(giusto?)(*). Quindi dovrei trovare una ...
Buonasera a tutti, mi aiutate con questo esercizio?
Sia $f(x)$ una funzione definita da $ln(1+2x)/x$ per $x>0$ e da $a(x+1)$ per $x<=0$. Per quale valore di $a$ la funzione $f(x)$ è continua nel punto $0$?
Dalla teoria so che affinché $f(x)$ risulta continua, bisogna verificare che il limite destro e sinistro per $x->0$ coincidano con il valore della funzione nel punto zero.
E quindi ...
Buongiorno a tutti, ho alcuni problemi nell'individuare la natura dei punti stazionari di una funzione a due variabili. Vi scrivo il procedimento che ho seguito al fine di individuare errori.
La traccia è la seguente: $f(x,y)=x^2y(x+y-1)$
Per prima cosa ho individuato le derivate parziali della funzione ottenendo:
$f_x(x,y)=xy(3x+2y-2)$
$f_y(x,y)=x^2(x+2y-1)$
A questo punto occorre calcolare per quali valori il famoso gradiente $\nablaf(x,y)=0$ si annulla, e risolvo il seguente ...
io ho la seguente serie:
$\sum_{n=1}^(+\infty) (cos^2(nx)/(n(n+1)))$ al variare di $x in R$
io ho provato ad applicare il metodo del confronto, in quanto penso sia l'unico applicabile, e mi risulta:
$(cos^2(nx)/(n(n+1))) <= 1/(n(n+1)) <= 1/n$
la cui serie associata però diverge quindi il teorema cosi è pressochè inutile.
ho provato anche con il metodo del rapporto ma non ho ottenuto nulla anche qui, qualcuno avrebbe un suggerimento?
La posto su analisi di base perché ho un dubbio che è legato in realtà ad analisi di base. Anche se in realtà il problema è di analisi complessa. Abbiamo \( f_n : U \to \mathbb{C} \) una successione di funzioni olomorfe che convergono localmente uniformemente a \(f: U \to \mathbb{C}\). Inoltre sia \( \gamma_n : [0,1] \to U \) una successione di cammini \(C^1\) tale che \( \gamma_n \to \gamma \) e \( \gamma_n ' \to \gamma ' \) uniformemente su \( [0,1] \).
Dimostra che
\[ \lim_{n \to \infty} ...
7
Studente Anonimo
28 dic 2020, 18:59
Ciao a tutti, avrei da risolvere questo limite:
$\lim_{x \to \infty} x+e^{\frac{1}{x}}-\ln x$
Che genera una forma di indecisione del tipo $+\infty -\infty$
ho provato tramite il confronto tra infiniti ma il $e^(1/x)$ non permette tale metodo, e ho anche cercato di ricondurmi a una forma con cui applicare hopital, ma anche qui non sono riuscito.
Qualcuno saprebbe come aiutarmi?
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