Analisi matematica di base

Salve a tutti! Se in una serie ho un fattore moltiplicato per una funzione limitata è lecito considerare solo il fattore e verificare che la serie con solo esso converga? Mi spiego, se devo verificare che $ sum_{n=1}^{\infty}\sin(\frac{1}{n^\alpha})(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $ converge, posso chiaramente considerare la convergenza assoluta $ sum_{n=1}^{\infty}|\sin(\frac{1}{n^\alpha})|(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $ e, poiché $ |\sin\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)| $ è limitata tra $[0,1]$ allora posso utilizzare il confronto con $ sum_{n=1}^{\infty}\root{n}{n} - \root{n+1}{n} $. Ma se ho invece $ sum_{n=1}^{\infty}(1 - \cos(\frac{1}{n^\alpha}))(\root{n}{n} - \root{n+1}{n}) $ posso fare la stessa cosa? Questa ...

Una versione del teorema di Weierstrass è che ogni funzione continua $f: X\to \mathbb {R}$ definita su uno spazio topologico compatto $X \subseteq \mathbb{R}^n$ è limitata Mi domando come dimostrare questo viceversa: Se $\forall f: X\to \mathbb {R}$ (con $X \subseteq \mathbb{R}^n$) continua, $f$ è limitata allora $X$ è compatto

Salve a tutti. Mi sono imbattuto in un esercizio curioso che mi sta destando non pochi problemi... Classificare i punti critici della funzione \( (-1)^2 \) con la matrice definita positiva. Mi sono messo a calcolare il gradiente, esplicitando il prodotto scalare, ma oltre che ad essere un calcolo poco simpatico ad occhio mi sembra che non mi porti molto lontano... Probabilmente c'è un "trucco" che potrebbe salvare la vita, ma non riesco a vederlo e non trovo un modo per ...

Salve a tutti, dovrei risolvere quest'integrale doppio: $\intint_{D}y dxdy$ $D={(x,y)\in R: x^2-1\leq y\leq \sqrt{1-x^2}}$ Dopo aver disegnato il grafico e trovato i punti ho trovato le variazioni di x e y: $D={(x,y)\in R: -1\leq x \leq 1 ,x^2-1\leq y\leq \sqrt{1-x^2}}$ Quindi ho integrato verticalmente: $\int_{-1}^{1}dx\int_{x^2-1}^{\sqrt{1-x^2}}y dy=\int_{-1}^{1}dx\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2-1}^{\sqrt{1-x^2}}=\int_{-1}^{1}\frac{1-x^2-(x^2-1)^2}{2}dx=\int_{-1}^{1}\frac{-x^4+x^2}{2}dx$ $=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}-x^4dx +\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{1}{2}\left[\frac{-x^5}{5}\right]_{-1}^{1}+\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{15}$ È corretto come ho trovato il dominio e ho svolto il calcolo dell'integrale?

Salve a tutti, dovrei risolvere quest'integrale doppio: $\intint_{D}(1-2x-3y) dxdy$ $D={(x,y)\in R: (x-\frac{1}{2})^2+y^2\leq \frac{1}{4}}$ Il grafico: Integrando verticalmente ottengo un'integrale nullo. Ora mi è stato chiesto di calcolarlo usando le formule di Green Gauss quindi mi trasformo l'integrale: $\intint_{D}(1-2x-3y) dxdy=\int_{+D}(x-x^2-3xy)dy$ E parametrizzo la curva $\gamma_1$: $\gamma_1=((x=\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{1}{2}),(y=\frac{1}{2}\sin(t)))$ Con: $0\leq t \leq 2\pi$ Quindi: $\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\cos(t)+\frac{3}{2}\right)\frac{1}{2}\sin(t)dt=$ $=\int_0^{2\pi}\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{1-\sin^2(t)}+\frac{3}{4}\sqrt{1-\sin^2(t)}\sin(t)-\frac{3}{4}\sin(t)$ Integrando per sostituzione ottengo un'intervallo nullo, ...

Buongiorno, Non riesco a risolvere il seguente esercizio: Si considerino le seguenti funzioni: \[ f(x):=\int_1^x (\dfrac{\pi}{2}-\text{arctan } t) \text{ tanh}(t) \text{ sin}(t) dt\] \[ g(x):=\int_1^x (\dfrac{\pi}{2}-\text{arctan } t) \text{ tanh}(t) \text{ |sin}(t)| dt\] a. Dimostrare che il limite di $f(x)$ per $x \rightarrow \infty$ esiste ed è finito. b. Determinare il limite di $g(x)$ per $x \rightarrow \infty$ Riguardo al punto a, ho utilizzato il criterio di convergenza ...

Salve ho bisogno di aiuto con questo vero e falso (le mie risposte sono 1V, 2V, 3F, 4V) Sia ${an}_n$ una successione e sia $S_n$ l'elemento ennesimo della corrispondente successione delle somme parziali: (Nota le sommatorie seguenti vanno tutte da $k=1$ a infinito) 1-)Se $\sum_{k=1}a_k$ converge se e solo se $S_(n+1)-S_n$ tende a 0 per n che tende a infinito 2-)se $S_n$ è limitata superiormente, allora $\sum_{k=1}a_k$ converge ...

Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo limite? $\lim_{x\to 0}\frac{(\cos(3x)-1)^3-e^{x^2}+1}{\ln(1+3x^4)}$ Io ho provato così: $\lim_{x\to 0}\frac{\left[-\frac{(1-\cos(3x))\cdot 9x^2}{9x^2}\right]^3+\frac{(e^{x^2}-1)\cdot x^2}{x^2}}{\frac{\ln(1+3x^4)\cdot 3x^4}{3x^4}}=\frac{\left[-\frac{9x^2}{2}\right]^3+x^2}{3x^4}=\frac{-\frac{9^3x^6}{8}+x^2}{3x^4}=\frac{-\frac{9^3x^4}{8}+1}{3x^2}$ Non so più come procedere

Mi serve una mano con questo limite è più di un'ora che ci combatto: $lim[(((logx)^2)^(1/3)-(((logx)^2)+3)^(1/3))*logx] as x->+\infty$ Io ho provato a fare un cambio di variabile ponendo $t= logx$ e poi ho provato a moltiplicare il numeratore e il denominatore per $t^(1/3)$ ma non ho concluso niente. la mia intenzione era di liberarmi delle radici a numeratore ma la cosa è praticamente impossibile dato che si tratta di radici cubiche. Inoltre non ci sono limiti notevoli applicabili e nemmeno cambi di variabile furbi che mi ...

Salve a tutti avrei da risolvere questo limite $lim_(x -> 3^+) (sqrt(x^2-9)-(x-3))/(e^-(1/(x^2-9)))$ Io ho fatto così: l' $(x-3)$ al numeratore tende a zero perciò possiamo anche 'ignorarlo' l'esponenziale lo porto a numeratore dato che ha esponente negativo e poi provo a fare un cambio di variabile pongo $t= x^2-9$ e quindi ho $lim_(t -> 0^+) sqrt(t)*e^(1/t)$ e qui mi sono bloccato perché non riesco a liberarmi della forma indeterminata Grazie in anticipo a chi mi aiuterà

Salve mi servirebbe aiuto con delle successioni e degli esercizi un po' particolari cui non riesco proprio a venire a capo non avendoli mai svolti nemmeno col prof di analisi. 1. Provare che la successione $\{ a_n \}_(n in NN)$ definita per ricorrenza da $\{ (a_0 = 0), (a_(n+1) = sqrt(2 + a_n)) :}$ soddisfa le seguenti proprietà: [list=1][*:e2xhxxey] $a_n <= 2$ per ogni $n in NN$; [/*:m:e2xhxxey] [*:e2xhxxey] $a_n < a_(n+1)$ (è crescente).[/*:m:e2xhxxey][/list:o:e2xhxxey] 2. Stabilire se la successione ...

Salve, ragionando su un problema di natura probabilistica sono giunto alla seguente serie: $sum_(i=0)^(oo)sum_(j=0)^(oo)(1/8)^i(5/18)^j((i+j)!)/(i!*j!)=72/43$ Per il risultato mi sono affidato a wolfram alpha. La precedente serie corrisponde al caso $n=2$; nel caso in cui invece fosse $n=3$ dovremmo avere: $sum_(i=0)^(oo)(p_1)^isum_(j=0)^(oo)(p_2)^jsum_(k=0)^(oo)(p_3)^k((i+j+k)!)/(i!*j!*k!)$ con $p in(0,1)$ Detto ciò avrei due domande: - come si formalizza la suddetta formula per $n$ generico? - come andrebbero inquadrate e risolte serie di questo tipo? E' ...

Come ragiono per calcolare il limite puntuale di questa successione? $f_n(x)=(senx)^n, x in[0,pi]$

Buongiorno. Mi è stato sottoposto il seguente esercizio: Dimostrare che la funzione f definita da: \( f(t)=\int_{0}^{t^2} arctan(tx^2)\, dx \) ammette punto di flesso in 0. Ora, premettendo che non ho molta dimestichezza con questo tipo di integrali, seguendo la formula per la derivazione e osservando che tutte le funzioni sono \( C^\infty \), ho ottenuto, sperando di non aver fatto errori: \( f'(t)=arctan(t^4)\cdot 2t + \int_{0}^{t^2} {{x^2}\over{1+(tx^2)^2}}\, dx \) , che effettivamente ...

Ho trovato questo integrale "spacca meningi" (per lo meno le mie)...e su cui non si vede la luce (manco usando i complessi tools che la rete mette a disposizione e capaci con oltre 150000 righe di codice di processare la pressochè totalità dei processabili). Vediamo se qualcuno riesce a capire dove si annida il trucco: $ \int {ln^3(sqrt(x)+1)}/cos^2( root(3)(x) -ln x) \text{d}x $ Intuizioni?:-)

Ciao a tutti, sono una studentessa al primo anno dell'università di Matematica. Sto avendo difficoltà nel svolgere questi due esercizi. La traccia è la seguente Determinare l'estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi e stabilire in ogni caso se l'estremo superiore è massimo e l'estremo inferiore è minimo (con dimostrazione) $A=\{ x in QQ :\ x^2 <=2\} $ $B=\{x in RR :\ x^2 >=2 \}$ Grazie in anticipo a chi mi aiuterà.

Ciao a tutti! Ho un problema con questo esercizio. Consideriamo il problema di Cauchy \[ \begin{cases} \dot{x}(t)=t(1+\frac{1}{x(t)})\\ x(0)=x_0 \end{cases} \] con $x_0 \in \mathbb{R}-{0}$. Devo dimostrare che la soluzione è definita su tutto $\mathbb{R}$. La mia idea è di usare il fatto che se l'intervallo massimale fosse finito, $I=(t_-,t_+)$, allora $\lim_{t\rightarrow t_+}|x(t)|=+\infty$. Ma in questo caso avremmo che $\lim_{t\rightarrow t_+}\dot{x}=+\infty$ e ciò non è possibile perché se prendo un qualche $t_0 \in I$ si ...

Ciao a tutti, scusate la stupidità della domanda, vorrei capire una cosa, quando mi trovo davanti a d equazioni di questo tipo, dove ogni lettera può essere un numero o un incongita: $$a+b=\frac{c}{d}+z+v$$ In quali occasioni posso fare ciò: $$\frac{a+b}{d}=c+z+v$$ Grazie.

È da un po' che sbatto la testa su questa serie, qualcuno saprebbe aiutarmi a dimostrare il comportamento della serie? $ \sum_{n=1}^{\infty} |\sin\frac{x}{n}| \qquad x\in\mathbb{R} $

Salve a tutti dovrei studiare il carattere di questa serie: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n+1}{n 5^n}\left(\frac{5}{2}\right)^n \) Sia effettuando il criterio del rapporto che della radice mi esce il limite uguale a 1 quindi non so come poter studiare la seguente serie: \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n+1}{n 5^n}\left(\frac{5}{2}\right)^n} = 1 \) \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{(2^{n+1}+1)n}{(n+1) 2(2^n+1)}= 1\) Qualcuno potrebbe aiutarmi?