Equazione differenziale a variabili separabili

[Nickbru1]

Ho un dubbio su un passaggio del professore durante la spiegazione del metodo risolutivo di una EDO a variabili separabili.
Il problema di Cauchy è il seguente
$ { ( y'(t)=py(t)-k ),( y(0)=y_0\in \mathbf{R^+} ):} $
Ora, se $py_0-k!=0$ si ottiene
$\frac{y'(t)}{py(t)-k}=1$
$\Rightarrow \frac{1}{p} \ln|py-k|=t+c$
e a questo punto va discusso il modulo, e il prof dice:
se $py_0-k>0$ allora abbiamo $\ln(py-k)$ altrimenti ecc ecc

Bene, quello che non capisco è perchè si discute il modulo e si richiede $py_0-k!=0$ considerando $y_0$ e non una generica $y(t)$

[Quinzio]

quello che non capisco è perchè si discute il modulo

Non e' che si "discute" il modulo.
Il modulo "fa il suo dovere" e dice semplicemente che $|a| = a$ se $a \ge 0 $ altrimenti $|a| = -a$.

Il problema di Cauchy ti impone un punto della curva risultato, con cui fissi la curva, altrimenti la curva ha un parametro libero.
La $y(x_0)$ che ti viene imposta fa in modo che $py-k$ abbia un certo segno, da li "risolvi il modulo" e quindi prendi $py-k$ oppure $-(py-k)$ a seconda del segno.

e si richiede $py_0−k≠0$

Ragazzo mio, $py-k$ a un certo punto e' al denominatore quindi deve essere diverso da zero, altrimenti e' un pasticcio. Le regole di base valgono sempre.
Il "pasticcio" significa alla fine che la soluzione e' $y = "costante"$, ma non ci arrivi per via algebrica.
Se vuoi puoi provare a procedere con ${y'} / 0 = \infty$, anche se non e' corretto, e vedrai che non vai da nessuna parte.

considerando $y_0$ e non una generica $y(t)$

$y_0$ ti viene imposta, in modo da fissare la curva.

Prendi ad esempio il problema $y' = py$, con $p$ costante.
La soluzione e' $y = ke^x$.
Ma il $k$ come si determina ? Ti devo dare un punto da cui passa la curva. Ok ?
Da dove viene la soluzione $y = ke^x$ ? Prova a rispondere.

Questi ragionamenti si vedono facendo delle prove con numeri "veri" al posto delle lettere $p, k$, ecc...
Sono problemi semplici e ci si riesce senza perdere una giornata.

[pilloeffe]

Ciao Nickbru,

Si sa nulla sul segno dei parametri $k$ e $p$?

Comunque porterei avanti la soluzione:

$ frac{1}{p} ln|py(t)-k| = t + c $

Dato che $y(0) = y_0 in RR^+ $, si ha:

$ frac{1}{p} ln|py(0)-k| = c $

$ c = frac{1}{p} ln|py_0-k| $

Dunque:

$ frac{1}{p} ln|py(t)-k| = t +frac{1}{p} ln|py_0-k| $

$ frac{1}{p} ln|py(t)-k| - frac{1}{p} ln|py_0-k| = t $

$ ln|frac{py(t)-k}{py_0-k}| = pt $

$ |frac{py(t)-k}{py_0-k}| = e^{pt} > 0 ext{ } AA p in RR $

Quindi se $py_0 - k > 0 implies py(t) - k > 0 $ (supponendo che $k$, $p $ e $t $ siano positivi, in tal caso $y(t) >= y_0 > 0 $ $AA t >= 0 $) e si ha:

$ py(t) - k = e^{pt} (py_0 - k) $

$y(t) - k/p = (y_0 - k/p)e^{pt} $

$ y(t) = (y_0 - k/p)e^{pt} + k/p $

[gugo82]

Ho già due discussioni sulle EDO in cui devo aggiungere qualcosa; anche qui mi andrebbe di scrivere e cercherò di farlo appena possibile.

[Nickbru1]

Grazie per le risposte, ma mi sa che c'è stato un fraintendimento. Sapevo come risolvere il problema, ed infatti la mia soluzione è uguale a quella di pilloeffe. Il mio dubbio riguardava solo la legittimità di considerare solo $y_0$ come discriminante per valutare il modulo e come discriminante per determinare che l'estremo destro è diverso da 0. (so che discriminante non è la parola più adatta ma non me ne vengono in mente di migliori).

"pilloeffe":

Quindi se $py_0 - k > 0 \implies py(t) - k > 0 $ (supponendo che $k$, $p $ e $t $ siano positivi, in tal caso $y(t) >= y_0 > 0 $ $\AA t >= 0 $)

Questo procedimento mi sembra molto più rigoroso da quello proposto dal mio professore, perché la positività di $y_0$ mi garantisce la positività della funzione in un suo intorno (per la continuità di y), ma non in tutto l'intervallo di definizione.