[RISOLTO] Calcolo dei limiti con limiti notevoli e De L'Hospital
Salve a tutti,
stavo facendo esercizi sull'applicazione del teorema di L'Hospital, e per controprova cercavo di risolvere gli stessi limiti con i metodi algebrici tramite limiti notevoli e stime asintotiche. Ecco allora il problema, ad esempio con questo limite:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^2\sin^2 x} \]
Ora con L'Hospital viene, secondo il libro, $-1/12$, e quindi qualcosa non va nel mio calcolo:
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}&\frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^2\sin^2 x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^4}\\
\lim_{x\to 0}&\bigg(\frac{\sin x}{x^3}-\frac{2}{x^2}\frac{1-\cos x}{x^2}\bigg)=\lim_{x\to 0}\bigg(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^2}\frac{1}{2}\bigg)=0
\end{align*}
Non capisco quale sia l'errore... le stime asintotiche? i limiti notevoli? L'applicazione delle due cose in rapporti? altro ancora?
Grazie in anticipo a chi risponderà.
stavo facendo esercizi sull'applicazione del teorema di L'Hospital, e per controprova cercavo di risolvere gli stessi limiti con i metodi algebrici tramite limiti notevoli e stime asintotiche. Ecco allora il problema, ad esempio con questo limite:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^2\sin^2 x} \]
Ora con L'Hospital viene, secondo il libro, $-1/12$, e quindi qualcosa non va nel mio calcolo:
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}&\frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^2\sin^2 x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^4}\\
\lim_{x\to 0}&\bigg(\frac{\sin x}{x^3}-\frac{2}{x^2}\frac{1-\cos x}{x^2}\bigg)=\lim_{x\to 0}\bigg(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^2}\frac{1}{2}\bigg)=0
\end{align*}
Non capisco quale sia l'errore... le stime asintotiche? i limiti notevoli? L'applicazione delle due cose in rapporti? altro ancora?
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Ciao! Sbagli qui
Non puoi andare al limite "a pezzi", quando mandi $x\to 0$ devi farlo per tutta la funzione; se lo fai in quel pezzo che ti ho citato ottieni una forma indeterminata $\infty-\infty$ e non puoi concludere nulla.
Questo perché i limiti notevoli sono risultati che valgono al limite, quindi a rigore è sbagliato sostituirli solo in pezzi di funzione e lasciare il resto immutato (proprio perché si ottengono quando si manda $x$ al limite, ma allora si dovrebbe mandare in tutta la funzione). In realtà anche questo
È sbagliato, immagino tu abbia sostituito $\sin x \approx x$; tuttavia c'è differenza tra $=$ e $\approx$, infatti si commette un certo errore a sostituire $\sin x$ con $x$. Comunque, quando vedrai gli sviluppi in serie di Taylor ti si chiarirà molto meglio tutta la questione.
Infatti, il motivo per cui con De L'Hôpital questi limiti vengono correttamente è perché gli sviluppi in serie di Taylor sono, in un certo senso, un raffinamento del teorema di De L'Hôpital.
"LucaDeVita":
$$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x^3}-\frac{2}{x^2}\frac{1-\cos x}{x^2}\right)=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^2}\frac{1}{2}\right)=0$$
Non puoi andare al limite "a pezzi", quando mandi $x\to 0$ devi farlo per tutta la funzione; se lo fai in quel pezzo che ti ho citato ottieni una forma indeterminata $\infty-\infty$ e non puoi concludere nulla.
Questo perché i limiti notevoli sono risultati che valgono al limite, quindi a rigore è sbagliato sostituirli solo in pezzi di funzione e lasciare il resto immutato (proprio perché si ottengono quando si manda $x$ al limite, ma allora si dovrebbe mandare in tutta la funzione). In realtà anche questo
"LucaDeVita":
$$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^2\sin^2 x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x+2\cos x - 2}{x^4}$$
È sbagliato, immagino tu abbia sostituito $\sin x \approx x$; tuttavia c'è differenza tra $=$ e $\approx$, infatti si commette un certo errore a sostituire $\sin x$ con $x$. Comunque, quando vedrai gli sviluppi in serie di Taylor ti si chiarirà molto meglio tutta la questione.
Infatti, il motivo per cui con De L'Hôpital questi limiti vengono correttamente è perché gli sviluppi in serie di Taylor sono, in un certo senso, un raffinamento del teorema di De L'Hôpital.
Grazie mille è tutto chiaro ora!
Ho tentato per svago di risolvere il limite tramite Taylor.
Le approssimazioni sono le seguenti
\(\displaystyle \sin(x) = x + o(x) \)
\(\displaystyle \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \)
che, sostituite nel limite, mi danno
\(\displaystyle \lim_{x->0} \frac{x(x + o(x)) + 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)) - 2}{x^4} \)
\(\displaystyle \lim_{x->0} \frac{x^2 + o(x^2) + 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} + 2o(x^4) - 2}{x^4} \)
Gli o-piccoli vanno a zero, ottenendo
\(\displaystyle \lim_{x->0} \frac{\frac{x^4}{12}}{x^4} = \frac{1}{12} \)
Mi ritrovo il limite positivo, mentre quello originario viene effettivamente negativo (conferma Wolfram). Perché?
Le approssimazioni sono le seguenti
\(\displaystyle \sin(x) = x + o(x) \)
\(\displaystyle \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \)
che, sostituite nel limite, mi danno
\(\displaystyle \lim_{x->0} \frac{x(x + o(x)) + 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)) - 2}{x^4} \)
\(\displaystyle \lim_{x->0} \frac{x^2 + o(x^2) + 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} + 2o(x^4) - 2}{x^4} \)
Gli o-piccoli vanno a zero, ottenendo
\(\displaystyle \lim_{x->0} \frac{\frac{x^4}{12}}{x^4} = \frac{1}{12} \)
Mi ritrovo il limite positivo, mentre quello originario viene effettivamente negativo (conferma Wolfram). Perché?
@CosenTheta: Fai un errore di approssimazione perché trascuri il terzo ordine del seno, devi andare oltre.
$$\sin x =x-\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^3)$$
Infatti, moltiplicando quest'ultimo sviluppo per $x$, ti esce un termine rilevante di quarto grado, che pesa sul risultato del limite.
$$\sin x =x-\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^3)$$
Infatti, moltiplicando quest'ultimo sviluppo per $x$, ti esce un termine rilevante di quarto grado, che pesa sul risultato del limite.
Grazie.
Questa è la correzione
\( \displaystyle \lim_{x->0} \frac{x^2 - \frac{x^4}{6} + o(x^4) + 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} + o(x^4) - 2}{x^4} \)
\( \displaystyle \lim_{x->0} \frac{-\frac{x^4}{6} + \frac{x^4}{12} + o(x^4)}{x^4} \)
\( \displaystyle \lim_{x->0} \frac{-\frac{x^4}{12}}{x^4} = -\frac{1}{12} \)
Questa è la correzione
\( \displaystyle \lim_{x->0} \frac{x^2 - \frac{x^4}{6} + o(x^4) + 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} + o(x^4) - 2}{x^4} \)
\( \displaystyle \lim_{x->0} \frac{-\frac{x^4}{6} + \frac{x^4}{12} + o(x^4)}{x^4} \)
\( \displaystyle \lim_{x->0} \frac{-\frac{x^4}{12}}{x^4} = -\frac{1}{12} \)
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