Disequazione esponenziale
Salve a tutti, nel risolvere questa disequazione
$4^x+3^-x+10>=0$ ho notato subito che é verificata $AA x in RR$.
Dopo ho pensato all'utilizzo dei logaritmi
$log4^x+log3^-x+log10>=0$ che ha come risultato $x>= -log10/(2log2-log3)$
Ma come mai che con i logaritmi il risultato é dato da un intervallo, mentre come disequazione esponenziale ha dominio $RR$?
Sicuramente mi sfugge qualcosa.Grazie
$4^x+3^-x+10>=0$ ho notato subito che é verificata $AA x in RR$.
Dopo ho pensato all'utilizzo dei logaritmi
$log4^x+log3^-x+log10>=0$ che ha come risultato $x>= -log10/(2log2-log3)$
Ma come mai che con i logaritmi il risultato é dato da un intervallo, mentre come disequazione esponenziale ha dominio $RR$?
Sicuramente mi sfugge qualcosa.Grazie
Risposte
Ciao! Faresti vedere con tutti i passaggi come hai applicato i logaritmi al membro di sinistra e destra? È sbagliato così come hai scritto. Poi attenzione, è vero che il dominio della disequazione è $\mathbb{R}$, ma credo tu volessi dire "l'insieme delle soluzioni è $\mathbb{R}$".
Si, intendevo l'insieme delle soluzioni con $RR$.
Ho applicato i logaritmi cosí:
$log4^x+log3^-x+log10>=0 rarr log2^(2x)+log3^-x+log10>=0 rarr 2xlog2-xlog3>=-log10 rarr x(2log2-log3)>=-log10 rarr x>=-log10/(2log2-log3)$
Ho applicato i logaritmi cosí:
$log4^x+log3^-x+log10>=0 rarr log2^(2x)+log3^-x+log10>=0 rarr 2xlog2-xlog3>=-log10 rarr x(2log2-log3)>=-log10 rarr x>=-log10/(2log2-log3)$
Il punto è che non capisco come sei passato dalla disequazione $4^x+3^{-x}+10 \geq 0$ alla disequazione $\log 4^x+\log 3^{-x}+\log 10 \geq 0$; non sono equivalenti.
Temo che tu abbia fatto una cosa tipo: applicare il logaritmo solo a sinistra, applicandolo tra l'altro a ogni termine anziché a tutta la somma (che non ha senso) e senza considerare che a destra ti verrebbe un logaritmo con argomento $0$ (che non è definito).
Te ne puoi accorgere che non possono essere equivalenti: hai giustamente notato che la prima disequazione è sempre verificata (in quanto somma tra tre quantità strettamente positive), tuttavia la seconda con i logaritmi non è sempre verificata (come hai notato facendo i conti, tralasciando momentaneamente che le operazioni con cui hai applicato i logaritmi non hanno senso).
Già questo dovrebbe essere un campanello di allarme, se la prima è vera per ogni $x\in\mathbb{R}$ una sua forma equivalente deve essere anch'essa vera per ogni $x\in\mathbb{R}$ (altrimenti non sarebbe equivalente).
Un modo rapido per notare che non la disequazione non può essere vera per ogni $x\in\mathbb{R}$ è farne il limite per $x\to\-infty$: hai che
$$\lim_{x\to-\infty} (\log 4^x+\log 3^{-x}+\log 10)=\lim_{x\to-\infty} (x\log 4-x\log 3+\log 10)$$
$$=\lim_{x\to-\infty} x\left(\log 4-\log 3+\frac{\log 10}{x}\right)=-\infty$$
Quindi definitivamente la funzione $\log 4^x+\log 3^{-x}+\log 10$ è negativa, perciò non può essere sempre vero che $\log 4^x+\log 3^{-x}+\log 10 \geq 0$.
Quindi consiglio: è importante imparare a fare queste prove, per acquisire fiducia e per evitare errori grossolani!
Temo che tu abbia fatto una cosa tipo: applicare il logaritmo solo a sinistra, applicandolo tra l'altro a ogni termine anziché a tutta la somma (che non ha senso) e senza considerare che a destra ti verrebbe un logaritmo con argomento $0$ (che non è definito).
Te ne puoi accorgere che non possono essere equivalenti: hai giustamente notato che la prima disequazione è sempre verificata (in quanto somma tra tre quantità strettamente positive), tuttavia la seconda con i logaritmi non è sempre verificata (come hai notato facendo i conti, tralasciando momentaneamente che le operazioni con cui hai applicato i logaritmi non hanno senso).
Già questo dovrebbe essere un campanello di allarme, se la prima è vera per ogni $x\in\mathbb{R}$ una sua forma equivalente deve essere anch'essa vera per ogni $x\in\mathbb{R}$ (altrimenti non sarebbe equivalente).
Un modo rapido per notare che non la disequazione non può essere vera per ogni $x\in\mathbb{R}$ è farne il limite per $x\to\-infty$: hai che
$$\lim_{x\to-\infty} (\log 4^x+\log 3^{-x}+\log 10)=\lim_{x\to-\infty} (x\log 4-x\log 3+\log 10)$$
$$=\lim_{x\to-\infty} x\left(\log 4-\log 3+\frac{\log 10}{x}\right)=-\infty$$
Quindi definitivamente la funzione $\log 4^x+\log 3^{-x}+\log 10$ è negativa, perciò non può essere sempre vero che $\log 4^x+\log 3^{-x}+\log 10 \geq 0$.
Quindi consiglio: è importante imparare a fare queste prove, per acquisire fiducia e per evitare errori grossolani!
Il logaritmo non è lineare.
Urge un ripasso, serio, della matematica delle superiori.
Urge un ripasso, serio, della matematica delle superiori.
Geazie dei consigli!
Si, con l'applicazione dei logaritmi mi sono confuso! Premesso questo, questa disequazione si puó risolvere solo graficamente?
Si, con l'applicazione dei logaritmi mi sono confuso! Premesso questo, questa disequazione si puó risolvere solo graficamente?
Ciao milos144,
Scusa, ma cosa devi risolvere?
L'hai scritto tu stesso nell'OP che la disequazione è verificata $\AA x \in \RR $...
"milos144":
questa disequazione si puó risolvere solo graficamente?
Scusa, ma cosa devi risolvere?
L'hai scritto tu stesso nell'OP che la disequazione è verificata $\AA x \in \RR $...
Certo che la disequazione é verificata $AA x in RR$....intendevo che in questo caso, almeno per me, i logaritmi non si possono applicare e le uniche vie possono essere quella grafica o facendo vedere che
$4^x>0 ^^3^-x>0^^10>0 rarr 4^x+3^-x+10>=0$
Per esempio se avessi avuto
$4^x+3^-x-5 >=0$ come avrei potuto applicare i logaritmi?
Grazie
$4^x>0 ^^3^-x>0^^10>0 rarr 4^x+3^-x+10>=0$
Per esempio se avessi avuto
$4^x+3^-x-5 >=0$ come avrei potuto applicare i logaritmi?
Grazie
"milos144":
Per esempio se avessi avuto
$4^x+3^-x-5 >=0$ come avrei potuto applicare i logaritmi?
Non avresti potuto.
Grazie!
Prego... Ma comunque avresti potuto dire vita morte e miracoli su quella disequazione. Come?
Penso facendo lo studio della funzione.
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