Analisi matematica di base

Volevo proporre un esercizio base per chiedere alcuni chiarimenti... sia data la funzione: $f(x,y)=\{(y^2log(x)/((x-1)^2+y^2)\ se\ (x,y)!=(0,0)),(1\ se\ (x,y)=(1,0)):}$ Devo verificare la continuità nel punto (1,0), quindi calcolo il limite usando le coordinate polari, ponendo $x=hcos(\theta)\; \y=hsin(\theta)$ $lim_{h->0}sin^2(\theta)log(1+hcos(\theta))=0$ Ora se ho ben capito con il passaggio seguente dovrei verificare che il limite sia uniforme rispetto all'angolo scelto, ossia che indipendentemente dall'angolo theta scelto, il limite sia sempre lo stesso(giusto?)(*). Quindi dovrei trovare una ...

Buonasera a tutti, mi aiutate con questo esercizio? Sia $f(x)$ una funzione definita da $ln(1+2x)/x$ per $x>0$ e da $a(x+1)$ per $x<=0$. Per quale valore di $a$ la funzione $f(x)$ è continua nel punto $0$? Dalla teoria so che affinché $f(x)$ risulta continua, bisogna verificare che il limite destro e sinistro per $x->0$ coincidano con il valore della funzione nel punto zero. E quindi ...

Buongiorno a tutti, ho alcuni problemi nell'individuare la natura dei punti stazionari di una funzione a due variabili. Vi scrivo il procedimento che ho seguito al fine di individuare errori. La traccia è la seguente: $f(x,y)=x^2y(x+y-1)$ Per prima cosa ho individuato le derivate parziali della funzione ottenendo: $f_x(x,y)=xy(3x+2y-2)$ $f_y(x,y)=x^2(x+2y-1)$ A questo punto occorre calcolare per quali valori il famoso gradiente $\nablaf(x,y)=0$ si annulla, e risolvo il seguente ...

io ho la seguente serie: $\sum_{n=1}^(+\infty) (cos^2(nx)/(n(n+1)))$ al variare di $x in R$ io ho provato ad applicare il metodo del confronto, in quanto penso sia l'unico applicabile, e mi risulta: $(cos^2(nx)/(n(n+1))) <= 1/(n(n+1)) <= 1/n$ la cui serie associata però diverge quindi il teorema cosi è pressochè inutile. ho provato anche con il metodo del rapporto ma non ho ottenuto nulla anche qui, qualcuno avrebbe un suggerimento?

La posto su analisi di base perché ho un dubbio che è legato in realtà ad analisi di base. Anche se in realtà il problema è di analisi complessa. Abbiamo \( f_n : U \to \mathbb{C} \) una successione di funzioni olomorfe che convergono localmente uniformemente a \(f: U \to \mathbb{C}\). Inoltre sia \( \gamma_n : [0,1] \to U \) una successione di cammini \(C^1\) tale che \( \gamma_n \to \gamma \) e \( \gamma_n ' \to \gamma ' \) uniformemente su \( [0,1] \). Dimostra che \[ \lim_{n \to \infty} ...

Ciao a tutti, avrei da risolvere questo limite: $\lim_{x \to \infty} x+e^{\frac{1}{x}}-\ln x$ Che genera una forma di indecisione del tipo $+\infty -\infty$ ho provato tramite il confronto tra infiniti ma il $e^(1/x)$ non permette tale metodo, e ho anche cercato di ricondurmi a una forma con cui applicare hopital, ma anche qui non sono riuscito. Qualcuno saprebbe come aiutarmi?

Ciao a tutti Mi rendo conto sia una domanda banale, ma non riesco a venirne a capo. Ho questa identità da risolvere: $ log_2(16) - 3^(1/log_2(3)) $ E deve dare come risultato 2. Sono abbastanza sicura che il primo logaritmo venga 4, infatti: $ log_2(16) = log_2(2^4) = 4 $ Da qui però non riesco ad andare avanti, non riesco a ricondurmi a nessun caso che ho studiato fino ad ora. Qualcuno può aiutarmi?

Perchè è errato calcolare il limite così : limite per x-----> 0 $ (sen(x) - x)/(x^3) = 1/x^2 * sinx/x - 1/x^2 $ passando al lim per x---> 0 , $ sinx/x $ tende a 1 , per cui : $ 1/x^2 - 1/x^2 = 0 $ che è errato; risolvendo con il teroema de L'Hopital si trova il limite corretto che è - 1/6 Grazie

Ciao a tutti,sono a un livello base sugli integrali e ho bisogno di alcuni consigli per il seguente integrale: $ int1/(sin^2x(1+cotx))dx $ Sono partito dal presupposto che $ cot x=cosx/(senx) $ Se vado a sostituire mi esce: $ int 1/(sin^2x(1+(cosx/sinx)))dx $ svolgendo i calcoli al denominatore mi vengono due opzioni : $ int 1/(sin^2x+sinxcosx)dx $ oppure $ int 1/(sinx(sinx+cosx)dx $ Non riesco ad andare avanti,credo devo integrare per sostituzione ma non mi viene niente Se potete aiutarmi vi ringrazio tanto

Non riesco a capire dove commetto errorri su questo integrale... $ int e^xlog(1+e^-x)dx $ Procedo per parti e decido di integrare la funzione $ log(1+e^-x) $ che mi viene $ -e^-x/(1+e^-x) $ Secondo la formula di integrazioni per parti mi verrebbe $ e^xlog(1+e^-x)-int e^x(-e^-x/(1+e^-x))dx $ Svolgendo la moltiplicazione $ e^xlog(1+e^-x)-int (-1/(1+e^-x))dx $ porto fuori il -1 $ e^xlog(1+e^-x)+int 1/(1+e^-x)dx $ Quindi il risultato sarebbe: $ e^xlog(1+e^-x)+log(1+e^-x)dx $ Guardando online mi risulta $ e^xlog(1+e^x)+log(1+e^-x)dx $ dove toppo?

Ciao a tutti Vorrei chiedere un aiuto riguardo al fatto che volevo provarmi che ogni numero dispari positivo potesse torvarsi con la formula $2n+1$ con n nei naturali compreso zero. L'idea era per induzione. 1) la base dell'induzione è facile essendo $2*0+1=1$ => dispari. OK! 2) Passo induttuivo (con ipotesi induttiva di 2n+1 vera) Devo dimostrare che 2n+1 => [2(n+1)+1 vera]. Cioè supposto vero per 2n+1 devo trovare vero (implicato) 2(n+1)+1. Correggetemi se sbaglio ...

Buongiorno. Vorrei una mano con questo limite. $lim_(x->0) ((1/(1+2x^2))^(1/4) -cosx)/(e^(x^2) -1 -sin^2 (x))$. Ho posto il primo fattore come $(1+2x^2)^(-1/4)$, per poter sfruttare gli sviluppi di Taylor, solo che con qualsiasi ordine provi, non riesco a raccapezzarmi su un possibile risultato. Potreste darmi una mano?

Buonasera, ho un dubbio sulla risoluzione di un'equazione differenziale di Clairaut $y=xy'-sin(y')$ Derivando rispetto a $x$ si ha $y'' (x-cos(y'))=0$ a) $y''=0$ $-->$ $y(x)=cx+d$ b) $x-cos(y')=0$ $->cos(y')=x -> y'=arccos(x) -> y(x)=x*arccos(x)- sqrt(1-x^2) + a$ Tuttavia nel caso b) che differenza c'è a risolvere l'equazione come ho fatto io (sperando sia corretto) rispetto a porre $y'=t$ e trovare poi la soluzione $\{(x=cos(t)),(y=tcos(t)-sin(t)):}$ ? Grazie

Buongiorno avrei bisogno di una mano nel capire se il seguente integrale esiste o no $int_-1^1 1/(x+e^x)\ \text{dx}$. La funzione integranda non è limitata nell'intervallo di integrazione perchè ha un asintoto verticale. Per confronto asintotico non posso procedere perchè con conosco con precisione qual è l'equazione dell'asintoto. Per confronto ho trovato solo che $1/(x+e^x)<x$ ma questo non mi fa concludere nulla. La soluzione è che la funzione non è integrabile. Ma perchè?

Ciao, vorrei un approfondimento sulle proprietà della produttoria. Con $\gamma$ e $\beta$ costanti devo partire da qui: $\prod_{i=1}^10 {\gamma*\beta^(-\gamma)*y_i^(\gamma-1)*exp[-(y_i/\beta)^\gamma]}$ e arrivare qui: $=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)*exp{(gamma-1) \sum_{i=1}^10 log y_i - \sum_{i=1}^10 (y_i/beta)^\gamma}$ Primo passaggio: $=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)*\prod_{i=1}^10 y_i^(\gamma-1)*\prod_{i=1}^10 exp[-(y_i/\beta)^\gamma]}$ Secondo passaggio (l'esponenziale di un logaritmo di x = x; il prodotto di esponenziali di qualcosa = l'esponenziale della sommatoria di quei qualcosa): $=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)* exp[log (\prod_{i=1}^10 y_i^(\gamma-1))]* exp[- \sum_{i=1}^10 (y_i/\beta)^\gamma]$ Terzo passaggio (log di x con esponente = valore esponente per log di x; log della produttoria ...

C'è un modo semplice per capire se una funzione è di classe C infinito? *** [xdom="gugo82"]Siccome non ci piace che un thread venga decapitato, ripristino la domanda posta dall'utente: a) Sia $ f \in C^{\infty}(\RR)$ verificante le seguenti condizioni, i) Esiste $K > 0 $ tale che per ogni $x \in \RR $ e $n \in \NN $ si ha $ |f^{(n)}(x)| <= K $, ii) Per ogni $n \in \NN $ si ha $f(1/n) = 0 $. Dimostrare che necessariamente $ f -= 0 $ su ...

Buongiorno a tutti, ho questo limite; $lim_{x \to +\infty} xlog((x+3)/(x+1))$ e vorrei capire se (i) ho svolto correttamente il ragionamento e (ii) se ho preso una strada troppo lunga pur usando o-piccolo. Faccio un semplice cambio di variabile ponendo $y=1/x$, e osservando che per $x$ che tende a $\infty$, ho $y\rightarrow 0$ con $x=1/y$. Riscrivo il limite come segue: $lim_{y \to 0} 1/y log((1+3y)/(1+y))$ Aggiungo e tolgo $1$ nell'argomento del logaritmo e ...

Buongiorno, se ho una funzione che è al contempo a quadrato sommabile e assolutamente continua, posso dire che il suo quadrato all'infinito tende a 0? E se si come lo posso dimostrare? Grazie

Buonasera a tutti. Io sto cercando la seguende serie: $\sum_{n=1}^\infty ((1-cos(1/n)) ln(n^n + 2n!))/(sqrt(n^2+5n)ln(n))$ Io tramite asintotici sono arrivato a "scomporla", sperando correttamente, fino ad ottenere la seguente successione $1/(2n^3) * ln(n^n + 2n!)/ln(n)$ Ore sicuramente $lim_{n \to \infty}1/(2n^3)=0$ mentre la seconda parte non saprei dirlo con certezza ma molto probabilmente a $+\infty$ generando una forma indeterminata, quindi il teorema di convergenza non è comunque molto utile. Vorrei capire se è possibile trovare qualche altro asintotico ...

Ciao a tutti, il mio prof mi ha dato questo esercizio. Calcolare il volume di $ A={ (x,y,z)in R^3:y>=0; 0<=z<=1; x^2+y^2+4z^2<=3+2xz} $ Sapete come risolverlo? :/