Analisi matematica di base

Sto studiando un teorema che fornisce delle condizioni sufficienti affinché due integrali impropri commutino. Siccome si tratta davvero di vedere un estratto preso paro paro dal libro (Zorich, Mathematical Analysis II, Capitolo 17.2), posto un'immagine: dove l'equazione (17.23) che richiama nella dimostrazione è questa uguaglianza (cioè quando uno dei due integrali non è ancora improprio): \(\displaystyle \int_c^d dy \int_a^\omega f(x,y) dx = \int_a^\omega dx \int_c^d ...

devo studiare il carattere della serie $ sum_(n=1)^(+oo \) 1/n^3((x+2)/(x-2))^n $ al variare di $ x ∈RR $ . allora ho posto $ y=(x+2)/(x-2) $ trovando una serie di potenze con raggio di convergenza 1. per y>1 è convergente perchè $ 1/n^3 $ è una serie armonica generalizzata giusto?

dato il seguente PdC $ { ( y'=ycos^3x-(ycosx)^3 ),( y(pi/2)=-1/2 ):} $ , col metodo delle separazioni delle variabili, trovo $ -1/2ln|(1/y^3-2)|=sinx-1/3sin^3x+c $ ho tre domande da porvi 1) potreste darmi conferma che sostituendo i dati iniziali del PdC si ottenga $ c=-1/6-1/2ln(3) $ ? 2) il libro dice che, per procedere e isolare la $ y(x) $ dall'equazione che ho scritto, si osserva che in un intorno dell'istante iniziale $ x_0=pi/2 $ la funzione y assumerà valori tali che l'argomento del valore assoluto assumerà valori ...

devo discutere la convergenza dell'integrale $ int_(0)^(+oo) (e^x-1-sinx)/(e^(pix)-1-sin(pix)) dx $ . ho problemi nel studiare la convergenza in un intorno di $ +oo $ . la funzione integranda si comporta come $ e^((1-pi)x) $ ma non capisco come mai si arrivi a dire che $ e^((1-pi)x) $ è una funzione integrabile in senso generalizzato su $ [1,+oo) $ perchè a me invece $ lim_(a ->+oo ) int_(1)^(a) e^(x-pix) dx $ risulta divergente

Ciao, Un esercizio chiede di verificare se è vera la seguente affermazione ($**$ denota l'insieme dei minoranti) \[ 3\notin\lbrace [1+(-1)^n]\cdot n : n\in N\rbrace_* \] Io ho risolto così. Posto \[ A=\lbrace [1+(-1)^n]\cdot n : n\in N\rbrace \] scrivo la definizione di minorante \[ m\in A_*\Leftrightarrow m\leq a, \forall a \in A \] e la nego \[ m\notin A_*\Leftrightarrow\exists a\in A : a

temo purtroppo di non aver capito bene come determinare l'intervallo massimale di esistenza di una soluzione di un'equazione differenziale. riporto qui due esempi che non riesco a capire. 1) $ { ( x'-1/3x=-2e^tx^4 ),( x(0)=1 ):} $ la soluzione della quale devo calcolare l'intervallo massimale è $ x(t)=(3e^t-2e^(-t))^(-1/3) $ . allora calcolo il dominio di: $ x(t)=1/(3e^t-2e^(-t))^(1/3) $ trovando i punti in cui $ 3e^t-2e^(-t) $ è diverso da zero, ossia $ RR-1/2log(2/3) $ . la risoluzione dell'esercizio però mi dice che l'intervallo ...

Buongiorno, Considerate la seguente EDO lineare. $y''+ a_1(x)y'+ a_0(x)y= b(x)$ dove $a_1(x)$ e $a_0(x)$ e $b(x)$ sono di classe $C^(oo)$ La soluzione dell'omogenea è *) $tilde(y)= c_1y_1(x)+ c_2y_2(x)$ Una soluzione particolare viene trovata pensando la (*) a coefficienti variabili $bar(y) =c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)$ Derivando due volte (ottenendo dunque $bar(y)'$ e $bar(y)''$) e sostituendo nella (*) si ottiene **) $c'_1(x)y'_1(x) +c_1(x)y''_1(x) + c'_2(x)y'_2(x) + c_2(x)y''_2(x) + a_1( c_1(x)y'_1(x) + c_2(x)y'_2(x)) + a_0 (c_1(x)y_1(x) + c_2(x)y_2(x) = b(x)$ Ho due dubbi... 1) come mai, tenendo ...

Ciao! Devo scrivere questo integrale utilizzando le serie di potenze $ int e^x/x dx$ $=int 1/x sum_(n = 0)^oo x^n/(n!)dx $ Quello che non capisco è come da quest'ultima espressione si riesca a giungere a questa: $=int 1/x + sum_(n = 1)^oo x^(n-1)/(n!)dx $ Il fattore $1/x$ moltiplica l'intera sommatoria, e non soltanto il primo addendo corrispondente ad $n=0$. O mi sto sbagliando?

Il mio dubbio viene dall' esercizio di una serie di Fourier ma riguarda solo la risoluzione di un integrale Ho la funzione di periodo T=6 (facendo il grafico direi che non è nè pari nè dispari): $f(x)=\{(0 AAx in(-1,1]uu(2,4)),(1 AAx in(1,2)),(-1 AAx in[4,5)),(-1/2 per x=5):}$ Devo calcolare i coefficienti della serie, per calcolare $a_n$ uso la formula: $a_n=2/T\int_{0}^{T} f(x)cos(2pinx/T) dx$. Inserendo i dati e siccome $f=0$ in due intervalli faccio: $a_n=1/3[\int_{1}^{2} 1*cos(pinx/3) dx + \int_{4}^{5} -1*cos(pinx/3)dx] = $ (saltando un pò di passaggi) $1/3[pin/3(sen(2/3pin)-sen(pin/3))-pin/3(sen(5/3pin)-sen(4/3pin))]$ e qui mi blocco perchè non so ...

Buon pomeriggio, Ho bisogno di aiuto riguardo a un elaborato di fisica-matematica sulla continuità e derivabilità del flusso magnetico: Φ = AB • cosθ Io ho pensato di utilizzare il teorema che dice: “ se una funzione è derivabile nel punto Xo allora è necessariamente continua in Xo” Risparmio la dimostrazione del limite del rapporto incrementale perché sono nuova e non so come scrivere tutto il procedimento secondo la guida delle formule. Quindi, come dicevo, penso che si può ...

Ciao, c'è un risultato cui non riesco a pervenire ossia l'enunciato dato dal mio libro: Indicando con $I(A,B)$ l'insieme delle funzioni inietive. Se A,B sono insiemi finiti. Se $|A|>|B|$ (notazione |..| = cardinalità) allora $|I(A,B)|=0$. Altrimenti posto $a:=|A|$ e $b:=|b|$, $|I(A,B)|=(b!)/((b-a)!)$ Dice che è dimostrabile per induzione su a, ma ci ho provato in mille modi non riesco a dimostrarmelo né a trovarlo dimostrato. La ...

ciao non riesco a risolvere l'integrale indefinito di questa funzione. qualcuno riesce a farlo senza usare cologaritmi o funzioni iperboliche? $ (x-​1)/(sqrt(​e^(2*​x)+​1)) $ grazie infinite!!

calcolare $ int_F e^zdxdydz $ dove $ F={(x,y,z)∈RR^3:z^2<=x^2+y^2<=1-z^2,-(√3)y<=x<=y} $ . l'esercizio suggerisce di scrivere l'insieme in coordinate sferiche $ (theta,phi,rho) $ ottenendo $ F=[1/4pi,5/6pi]xx [1/4pi,3/4pi]xx[0,1] $ calcolare $ int_(F)(x^2+y^2)/z^2dxdydz $ dove $ F={(x,y,z)∈RR^3:2z<=x^4+2x^2y^2+y^4<=5z,3z<=x^2+y^2<=4z} $ . qui l'esercizio suggerisce di scrive l'insieme in coordinate cilindriche ottenendo $ F={(r,theta,z):theta∈[0,2pi],2z<=r^4<=5z,3z<=r^2<=4z} $ vi prego potreste aiutarmi a capire come è possibile riscrivere gli insiemi in questo modo?

ragazzi volevo una conferma su quando vale che $ tan(theta)>=√3 $ è giusto rispondere per $ theta∈[pi/3,2/3pi]+kpi $ o, equivalentemente, $ theta∈[4/3pi,-pi/3]+kpi $ ?

Dato: $u_n=\int_{n}^{n+1}f(t)\ "d"t$ dimostrare con il principio di induzione che: $f(n+1)<=u_n<=f(n)$ per ogni naturale $n$ Ho provato a scrivere: 1) $n=0$; $u_0=\int_{0}^{1}f(t)dt$ $f(1)<=u_0<=f(0)$ 2) se vera $f(n+1)<=u_n<=f(n)$ allora è vera $f(n+2)<=u_{n+1}<=f(n+1)$ Qualcuno sa aiutarmi nello sviluppo di 1) e 2)? Grazie 1000

Ciao, cerco un aiuto per capire meglio un passaggio che non mi torna, vorrei provare a esorre il dubbio con un primo esercizio più semplice (1) che mi sono porto per provare a formalizzare la parte finale di un esercizio (2). Mi trovo di fronte a voler mostrare che qualunque $a$ nei reali si può scrivere come $a=b+1$ con b nei reali ( a parolacce "che copro tutti i reali di nuovo". Ho pensato di prendere i due insiemi seguenti $A={x|x in R}$ in altre parole: ...

Ciao non riesco a esplicitare e descrivere tale insieme ${z in CC|z^2 in iRR}$ e non capisco che strategia usare per mostrarlo concretamente. - Inizialmente ho pensato di scrivere $z=a+i b$ dacui quadrando: $a^2+b^2+i(2ab)$ ho detto beh poniamo $a^2+b^2$ ma da questo ottengo $a=+- i b$ ed è un belproblema perché se è pur vero che ottengo $0+i(2ab)$ ho altresì che $i(2(+- i b)b)$ e mi si leva la "i". Strada poco proficua. - Ho provato allora a porre ...

Buongiorno mi sono imbattuto nel seguente problema che non so come risolvere: Si consideri l'equazione differenziale A= Bf'(x)+Cf(x) dove A,B e C sono costanti positive supposte note. Dimostrare che una funzione del tipo y=f(x)= $\alpha$ (1- $(e^x$\beta$)$) con $\alpha$ e $\beta$ appartenenti a R può essere soluzione dell'equazione precedente e stabilisci come i coefficienti $\alpha$ e $\beta$ devono dipendere dai ...

Ciao a tutti, mi potreste correggere quest'esercizio, perchè il risultato cui sono giunta è diverso da quello del mio libro. Il testo cita "Determinare $ (dy)/(dx) $ per derivazione implicita $ ye^arctan(x)=2 $ il risultato del libro è $ (-2e^-arctan(x))/(1+x^2) $ , dove sbaglio?? Io l'ho svolto cosi: $ d/dx(y)*e^(arctan(x))+y*d/dx(e^(arctan(x)))*d/(dx)(arctan(x))=d/dx(2) $ $ d/dx(y)*(dy)/(dx)*e^(arctan(x))+ye^(arctan(x))*1/(1+x^2)*1=0 $ $ (dy)/dx*e^(arctan(x))=-(ye^(arctan(x)))/(1+x^2) $ $ (dy)/(dx)=-(ye^(arctan(x)))/(e^(arctan(x))(1+x^2)) $ $ (dy)/(dx)=-y/(1+x^2) $ Grazie a tutti

Ripassando il teorema del Dini ho notato un passaggio che non mi tornava nella dimostrazione di \[g'(x)=-\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}\] La dimostrazione per questa equazione data dal professore è: "Dimostriamo che se g esiste ed è derivabile allora vale la formula per la derivata (quella indicata sopra). Sappiamo che f(x,g(x))=0, quindi la sua derivata è identicamente 0, ma questa è \[f_x(x,g(x))+f_y(x,g(x))\cdot g'(x)=0\] ottenendo quindi \[g'(x)=-\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}\] è ...