Passaggio del libro di fisica che non capisco (derivata direzionale)
Ciao, vorrei inquadrare meglio un passaggio del libro di fisica. Contestualmente sto seguento analisi 2 e non riesco bene a far combaciare le "due visioni". Vorrei capire in veste analitica questa derivata direzionale fatta solo in "d":
(Inserisco l'immagine per far capire il disegno)
Dovrei avere una derivata direzionale in un sistema cartesiano quindi riesco a vedere la formula del gradiente che: "gradiente per versore per d = derivata direzionale".
Però non capisco la notazione $V(\vecr+\vecd)-V(\vecr)=(partialV)/(partiald)d$, come fa una derivata direzionale (in più variabili) diventare una derivata in una variabile d? Ma ha senso?
Molte grazie!:)
PS: domanda bonus
Mi è al contempo sorta (avendo sopra scritto "coordinate cartesiane") una secodna domanda sulla formula del gradiente di cui ho studiato la dimostrazione in coordinate cartesiane. Ma, mi chiedo, vale anche in coordinate polari (gradiente per versore)? Non mi è molto chiaro ora che ci rifletto...
Spero di riuscire a chiarire questi due dubbi con voi. Grazie di nuovo!
(Inserisco l'immagine per far capire il disegno)
Dovrei avere una derivata direzionale in un sistema cartesiano quindi riesco a vedere la formula del gradiente che: "gradiente per versore per d = derivata direzionale".
Però non capisco la notazione $V(\vecr+\vecd)-V(\vecr)=(partialV)/(partiald)d$, come fa una derivata direzionale (in più variabili) diventare una derivata in una variabile d? Ma ha senso?
Molte grazie!:)
PS: domanda bonus
Mi è al contempo sorta (avendo sopra scritto "coordinate cartesiane") una secodna domanda sulla formula del gradiente di cui ho studiato la dimostrazione in coordinate cartesiane. Ma, mi chiedo, vale anche in coordinate polari (gradiente per versore)? Non mi è molto chiaro ora che ci rifletto...
Spero di riuscire a chiarire questi due dubbi con voi. Grazie di nuovo!
Risposte
"saltimbanca":
Però non capisco la notazione $V(\vecr+\vecd)-V(\vecr)=(partialV)/(partiald)d$, come fa una derivata direzionale (in più variabili) diventare una derivata in una variabile d? Ma ha senso?
Molte grazie!:)
Hai capito bene, non è una derivata rispetto a $d$, che non significa niente perché $d$ è un vettore. È semplicemente la formula di Taylor arrestata al prim'ordine per una funzione da $\mathbb{R}^n $ a $\mathbb{R}$ (a cui però devi aggiungere un resto, infatti il tuo prof. ha messo un $\approx$. Perciò è da intendersi come la derivata direzionale di $\phi$ nella direzione $d$, che per la formula del gradiente (e la supposta differenziabilità di $\phi$) è esattamente $\nabla \phi \cdot d$.
È la stessa cosa quando si parla di derivata normale( vedi qui) :si scrive $\frac{\partial u}{\partial n}$ intendendo $\nabla u \cdot n$ dove $n$ è il versore normale.
Molte grazie feddy, mi è chiaro ora.
Invece per la domanda "bonus" (scorrelata dal dubbio principale)? Non reisco bene a capire come rispondermi, ammetto di non essere ancora molto pratica con questi concetti studiati da poco e non capisco bene se è sensato con coordinate polari parlare di formula del gradiente (ossia se esiste qualcosa del genere)
Invece per la domanda "bonus" (scorrelata dal dubbio principale)? Non reisco bene a capire come rispondermi, ammetto di non essere ancora molto pratica con questi concetti studiati da poco e non capisco bene se è sensato con coordinate polari parlare di formula del gradiente (ossia se esiste qualcosa del genere)
Scusa, mi ero dimenticato di risponderti 
Il problema del passare a coordinate polari $x=x(
ho, heta)$ e $y = y(
ho, heta)$ è che il gradiente lo devi esprimere in quelle coordinate. Si tratta di utilizzare il teorema della funzione composta. È un conto che puoi trovare ovunque nel web, tipo qui oppure qui
Il problema del passare a coordinate polari $x=x(
ho, heta)$ e $y = y(
ho, heta)$ è che il gradiente lo devi esprimere in quelle coordinate. Si tratta di utilizzare il teorema della funzione composta. È un conto che puoi trovare ovunque nel web, tipo qui oppure qui
Mi sono spiegata male, scusami 
.
Come calcolare il gradinete in polari più o meno l'ho capito, però volevo capire se si potesse esprimere una derivata direzionale sfruttando quel gradiente MA in coordinate polari, perché in tal caso non capisco come definire il prodotto scalare per un versore essendo il gradiente in polari e non più in coordinate cartesiane.
Cioè vorrei capire se in polari vale: "grad(f)*v=derivata" direzionale lungo v. Basta esprimere v in polari?
.Come calcolare il gradinete in polari più o meno l'ho capito, però volevo capire se si potesse esprimere una derivata direzionale sfruttando quel gradiente MA in coordinate polari, perché in tal caso non capisco come definire il prodotto scalare per un versore essendo il gradiente in polari e non più in coordinate cartesiane.
Cioè vorrei capire se in polari vale: "grad(f)*v=derivata" direzionale lungo v. Basta esprimere v in polari?
@saltimbanca: Si, devi esprimere sia (
abla f) sia (v) in coordinate polari. Se chiami tali coordinate ((r, heta, phi)), i corrispondenti versori saranno (e_r, e_ heta, e_phi), e sono ortonormali; questo é molto importante per il conto che segue. Come puoi vedere, ad esempio, su MathWorld, il gradiente in tali coordinate é
[
abla =e_r partial_r + e_phifrac1r partial_phi +e_ heta frac1{rsinphi}partial_ heta,]
ma attenzione alle convenzioni, nei libri di fisica spesso la (phi) e la ( heta) sono scambiate rispetto a questo post (io sto seguendo la convenzione di MathWorld). Quindi, se il vettore (v) é dato da
[v=v_r e_r +v_phi e_phi + v_ heta e_ heta, ]
allora il prodotto scalare sará
[vcdot
abla f = v_r partial_r f + frac1 r v_phi partial_phi f + frac1{rsin phi}v_ heta partial_ heta f.]
abla f) sia (v) in coordinate polari. Se chiami tali coordinate ((r, heta, phi)), i corrispondenti versori saranno (e_r, e_ heta, e_phi), e sono ortonormali; questo é molto importante per il conto che segue. Come puoi vedere, ad esempio, su MathWorld, il gradiente in tali coordinate é
[
abla =e_r partial_r + e_phifrac1r partial_phi +e_ heta frac1{rsinphi}partial_ heta,]
ma attenzione alle convenzioni, nei libri di fisica spesso la (phi) e la ( heta) sono scambiate rispetto a questo post (io sto seguendo la convenzione di MathWorld). Quindi, se il vettore (v) é dato da
[v=v_r e_r +v_phi e_phi + v_ heta e_ heta, ]
allora il prodotto scalare sará
[vcdot
abla f = v_r partial_r f + frac1 r v_phi partial_phi f + frac1{rsin phi}v_ heta partial_ heta f.]
@saltimbanca non ti sei spiegata male. Ho letto male io, credevo il dubbio fosse come scrivere il gradiente in polari, non se valesse la formula del gradiente in coordinate polari. Fortunatamente dissonance mi ha preceduto 
Ok direi che mi torna, l'ortogonalità in effetti è imprescindibile per svolgere il prodotto (scalare) termine a termine.
Grazie mille ragazzi, molto disponibili!
Buon we.
Grazie mille ragazzi
, molto disponibili!Buon we.
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