Analisi matematica di base
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$f(x,y)={((xe^y-ye^x)/(x-y),if x!=y),(e^x-xe^x,if x=y):}$
l'esercizio chiede la differenziabilità in $(0,0)$
calcolando le derivate parziali con la definizione trovo
$d_f/d_x (0,0)=lim_(t->0) (f(t,0)-f(0,0))/t = (t*1-0*e^t-1)/((t-0)*t)=(t-1)/t^2=-infty$
$d_f/d_y (0,0)=lim_(t->0) (f(0,t)-f(0,0))/t = (0*e^t-t*e^0-1)/((0-t)*t)=(t+1)/t^2=+infty$
e dunque $f$ non è differenziabile in $(0,0)$
tuttavia la soluzione riporta che $d_f/d_x (0,0)=0=d_f/d_y(0,0)$ e io non riesco a trovare l'errore nei miei calcoli.
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Grazie
Ciao a tutti,
Sto andando in crisi con un limite.
Devo calcolare $ \lim_{x \to -1^-} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $
Il risultato dovrebbe essere $ 0 $ (come per $ \lim_{x \to -1^+} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $ ), ma continua a venirmi una forma indeterminata per via di:
$ e^(-3/((-1^-)+1)) $ , cioè $ e^(-3/(0^-) $, quindi $ e^(\+infty) $
Pensando al grafico di $ e $ che tende ad infinito, alla fine mi viene la forma indeterminata $ (0) (\+infty) $... Cosa sto sbagliando?
Grazie a chi vorrà aiutarmi
Stavo svolgendo degli esericizi riguardo alle equazioni differenziali, per l'esame di Analisi 2, ed mi sono imbattuto in questo esercizio
${(y''(t) - 4y(t)=exp(-2t)), (y(0) =0), ( \lim_{t \to \infty}y(t) = 0):}$
Provo a risolverlo , e riesco ad arrivare a questo punto
$ y = c1*exp(2t) + c2*exp(-2t) -1/4 * exp(-2t)$
A questo punto dovrei trovare c1 e c2, ma non so come fare con il limite come condizione, qualcuno di voi sa come posso procedere?
Siano $X$ e $Y$ spazi metrici e $f:X -> Y$ e $h: X -> X$. Se $ f (x)$ è continua in $x_0$ e $h(y)$ è continua in $y_0$ e tale che $h(y_0)=x_0$ si ha:
$ lim_(x -> x_0)f(x)= lim_(y -> y_0)f(h(y)) $
Questo framwork teorico è sufficiente a giustificare il passaggio alle coordinate polari nello studio di un limite come negli esempi? In che modo esattamente?
$ lim_((x, y) ->(0, 0))\frac(x^2 - y^2)(\sqrt(x^2+y^2))=lim_(\rho -> 0)\rho(costheta - sintheta)=0 $
Oppure:
$ lim_((x, y) ->(0, 0))\frac(x^2 - y^2)(x^2+y^2)=lim_(\rho -> 0)costheta - sintheta= non \ \ esiste $
Ciao, il libro Marcellini/Sbordone chiede di verificare la monotonia della successione
\[
a_n=\sin\frac{1}{n}
\]
Ho provato a leggere questa discussione che però riguarda la funzione omologa nell'intorno di zero
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... p?t=130545
Se provo ad applicare la definizione di successione monotona decrescente ottengo
\[
\sin\frac{1}{n+1}\leq\sin\frac{1}{n}
\]
Con le formule di prostaferesi si complica tutto. Avete un suggerimento?
Salve a tutti!
Mi servirebbe un aiuto su questo esercizio:
Calcolare il seguente integrale triplo
$$\iiint\limits_T\frac{dx\,dy\,dz}{z(x^2+y^2)}$$ essendo
$T={(x, y, z)∈R^3: x ≤ y ≤ 2x , z ≤ xy ≤ 2x , 1/4 ≤ z ≤ 1/2}$
Ho integrato per sezioni di piede $z$ ed ho ottenuto:
$$\int\limits_{1/4}^{1/2}dz\iint\limits_{T_z}\frac{dx\,dy}{z(x^2+y^2)}$$
Ma usando le coordinate polari ottengo queste condizioni $ { ( pi/4\le \theta \le \arctan(2) ),( sqrt{\frac{z}{\cos \theta \sin \theta}}\le\rho \le \frac{2}{\sin \theta} ):}$ e mi blocco qui ...
Buonasera a tutti, sto facendo questo esercizio:
Scrivere la formula di Taylor in $x_0=-3$ della funzione
$$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}-\frac{1}{\sqrt{4-x}}$$
Ma devo calcolare tutte le derivate o c'è un modo per scrivere in generale la derivata n-esima?
Buonasera a tutti,
non mi è chiara la differenza tra la continuità semplice e la continuità uniforme. La prima è riferita ad uno specifico punto, la seconda ad un intervallo, ma la condizione $AA \epsilon>0 EE \delta>0": "|f(x)-f(x_0)|<\epsilon AA x in A": "|x-x_0|<\delta$ è comune ad entrambe le definizioni, dico bene? Inoltre, se non erro, nel caso dell'uniforme continuità $\delta$ dipende da $x_0$ ed $\epsilon$, giusto? Non comprendo però la differenza a livello pratico.
devo risolvere la seguente equazione differenziale con problema di Cauchy:
$ { ( 2yprime+y=(x-1)y^3 ),( y(0)=1 ):} $
ho un equazione differenziale di Bernoulli
risolvendo l'equazione ottengo un equazione differenziale del primo ordine:
$ zprime(x)=-1/2z(x)+(x-1)/2 $
chiamo:
$p(x)=-1/2$
$int(px)dx=-1/2x$
$q(x)=(x-1)/2$
applico la formula risolutiva:
$e^(-int(p(x)dx)(c+inte^(intp(x)dx))=$
$e^(1/2x)(c+int(x-1)/2e^(-1/2x)dx)$
se fin qui va tutto bene come devo procedere nel risolvere l'integrale in modo semplice?
grazie
data la funzione $f(x,y)=xe^(y^2-x)$ definita su $D={x^2+y^2<=4}$utilizzando il metodo delle Lagrangiana ottengo questi punti estremanti $p_1=(0,+-2)$, $p_2=(-1,+-sqrt(3))$ e $p_3=(1/2,+-sqrt(15)/2)$ da cui sfruttando il teorema di Weierstrass e calcolando il valore di $f(p_2)$ e $f(p_3)$ ottengo che $p_2$ è un minimo assoluto mentre $p_3$ è un massimo assoluto.
Ora però non ho capito come definire il punto $p_1$ dato che so solo che ...
Buongiorno a tutti, sto facendo questo esercizio ma sto riscontrando un pò di difficoltà:
Dopo aver determinato la classe di continuità dell seguente funzione, scrivere, se possibile, il suo polinomio di Mac Laurin di II grado
$$f(x)=\left \{ \begin{array}{cc}
\frac{\sin|x|}{|x|} & x\not =0\\
1 & x=0.
\end{array}
\right.$$
Qualcuno può darmi una mano?
Ciao
Cerco un aiuto su un fatto che non riesco a dimostrarmi formalmente ed uso in modo intuitivo e non mi piace perché vorrei capire più a fondo.
Noto che spesso nei limiti a infinito non ha alcuna importanza se si somma o sottrae una quantità finita.
Ad esempio se avessi $lim_(x->oo) x^2+x+3$ potri anche avere $lim_(x->oo) x^2+x$ e nulla cambierebbe nel risultato. Inoltre valeanche se il risultato fosse finito, ad esempio: $lim_(x->oo) (3x+1)/x=3$ tanto quanto $lim_(x->oo) (3x+100)/x=3$
Mi sembra quindi che ...
Ciao RobBobMob,
La serie geometrica è la seguente:
$\sum_{n = 0}^{+\infty} z^n = 1/(1 - z) $
per $|z| < 1 $. La sua derivata è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n z^{n - 1} = z/(1 - z)^2 $
Salve a tutti ho un dubbio riguardante il calcolo delle derivate parziali di questa funzione in \( \mathbb{R}^2 \) :
\[
f(x_1,x_2) := \begin{cases}
x_1-x_2 &\text{, quando } x_1\geq0 \text{ o } x_2\geq0 \\ 0 &\text{, quando } x_1
Ciao a tutti, ho un dubbio con un esercizio riguardante la ricerca dei massimi e minimi in una funzione a due variabili.
La traccia mi chiede di individuarli in un disco di centro l'origine e raggio pari a 2. Ho iniziato quindi a studiare (dopo aver svolta l'intera parte precedente) i punti di frontiera e la relativa restrizione ottenendo 2cost-2sent.
Supponendo tale funzione g(t) la derivata prima è maggiore di 0 se -2cost-2sent>0 cioè se sent+cost
Salve,
sono un po arrugginito con le sommatorie, qualcunio potrebbe spiegarmi come fare per calcolare $sum_(i=1)^N sum_(j != i) x_(i,j)$ con $i!=j$ da 1 fino a N per entrambe le somme, con valore costante della x.
(Dovrebbe dare come risultato N(N-1) oppure N(N-1)/2).
Ciao ragazzi, spero abbiate passato una buona Pasqua. Ma fra il capretto e la colomba si annida un limite da calcolare con Taylor:
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2-\sin (x^2)-2\cos x}{e^x-1+\ln (1-x)+\dfrac{x^3}{6}}. \)
Ho scritto gli sviluppi di tutte quelle funzioni arrestandomi al secondo ordine:
\( \sin (x^2)=x^2+o(x^2) \)
\( \cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \)
\( e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \)
\( \ln (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2). \)
Per cui:
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} ...
data $a in [-sqrt(2),sqrt(2)]$ e $f(x)=(x+a)^2+ln(x)-(1-ln(2))/2$ , $x>0$ determinare gli zeri di $f(x)$ al variare di $a$ e individuare per quali valori di $x$ è soddisfatta la condizione $f(x)*f''(x)>0$
Ho provato a risolverlo ma non riesco a venire ad una soluzione: posto i passaggi del mio ragionamento:
$lim_(x->0^+) f(x)=-infty$ e $lim_(x->+infty) f(x)=+infty$
se $a>0$ $f'(x)=2(x+a)+1/x>0$ $AAx>0$ e dunque $f(x)$ ha un solo zero.
se ...
Le funzioni di 2 variabili da $ R^2 $ a $ R $ , ad esempio un cilindro parabolico di equazione $ y - x^2 $ , è suriettivo?
Grazie
Ho il problema di Cauchy
\begin{cases}
u'=u\log(u)+\sin^{2}(t+u)\\ u(0)=4
\end{cases}
Secondo voi si può usare il teorema del confronto[nota]l'enunciato che ho a disposizione: $\Omega\subseteq \mathbb{R}^{2}$ aperto, $I$ intervallo, $t_{0}\in I$ e $f,g:\Omega\to \mathbb{R}$ localmente lip in $y$ unif in $t$. Se per ogni $t\in I$ si ha
\[
u'(t)\le f(t,u(t)) \quad v'(t)\ge g(t,v(t)) \qquad \forall t\in I
\]
e
\[
f(t,u(t))\le g(t,u(t)) ...
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