Analisi matematica di base

Salve! In questi giorni sto affrontando il calcolo degli integrali, e non riesco a risolvere questo: $ int ln(1+x^3)^(x^2)dx $ Riesco ad arrivare solo fino a qui: $ int ln(1+x^3)^(x^2)dx=int x^2ln(1+x^3)dx= $ $ =(x^3ln(1+x^3))/3-intx^5/(1+x^3)dx $ A questo punto, però, il problema si sposta sul calcolo di $ intx^5/(1+x^3)dx $ E non so proprio come fare. Il libro da cui sto studiando non ha ancora affrontato l'integrazione per sostituzione, quindi l'integrale va risolto senza farne uso.

Ciao, ho provato a risolvere l'esercizio 6 della raccolta di esercizi proposta dal Prof. Canuto: chiede di determinare \[ f^{-1}((-\infty, 0]) \] della funzione \[ f(x)=\log(2-|x|) \] dopo aver determinato il dominio della funzione, l'intervallo $(-2,2)$ ho tracciato il grafico della funzione aiutandomi con i limiti. Allora basandomi sul grafico ho stabilito che la funzione non è invertibile. Però il libro di analisi 1 che sto leggendo (S. Lancilotti, Analisi I), nel capitolo sulle ...

Buongiorno! Non riesco a capire come procedere per la risoluzione di questo esercizio prelevato da un tema di analisi 1: La funzione f(x) di classe $ C^3 $ soddisfa: $ f(x) = 1 + a(a − 1)(a + 2)x + ax^2 + x^3 + o(x^3) $ per x → 0, dove a∈R è un parametro. Allora la funzione f ha: a) minimo in x=0 per a=1; b) ha minimo in x = 0 per a = −2; c) ha minimo in x = 0 per a = 0; d) non ammette minimo in x = 0 per alcun valore di a ∈ R. La risposta è la a, ma non ne capisco il motivo. Spero possiate aiutarmi, grazie!

Buongiorno a tutti, vorrei sapere se qualcuno conosce un esempio di serie numerica a termini positivi, di cui attualmente nessuno è mai riuscito a stabilire il carattere. grazie a tutti.

Come si tratta questo limite all'infinito? $\lim_{x \to \ -infty}$ $root(3)(x)$ $e^(1+root(3)(x))$ Ho provato con un cambio di variabile credendo di potermi ricondurre a un limite notevole al finito o ho provato a riscrivermi il prodotto come rapporto per applicare la gerarchia degli infiniti ma non riesco e non ho altre idee.

Scrivi l'equazione della parabola di vertice V(2;5), asse parallelo all'asse y e passante per il punto A(1;4) e rappresentala graficamente. Scrivi l'equazione della parabola avente il vertice in V(0;-2) e per direttrice la retta d di equazione x=1. Disegna la parabola nel piano cartesiano e scrivi le coordinate del fuoco F Potete aiutarmi? Devo consegnarli e non ho idea su come farli. (Potete scrivermi ogni passaggio? )

$f(x,y)={((xe^y-ye^x)/(x-y),if x!=y),(e^x-xe^x,if x=y):}$ l'esercizio chiede la differenziabilità in $(0,0)$ calcolando le derivate parziali con la definizione trovo $d_f/d_x (0,0)=lim_(t->0) (f(t,0)-f(0,0))/t = (t*1-0*e^t-1)/((t-0)*t)=(t-1)/t^2=-infty$ $d_f/d_y (0,0)=lim_(t->0) (f(0,t)-f(0,0))/t = (0*e^t-t*e^0-1)/((0-t)*t)=(t+1)/t^2=+infty$ e dunque $f$ non è differenziabile in $(0,0)$ tuttavia la soluzione riporta che $d_f/d_x (0,0)=0=d_f/d_y(0,0)$ e io non riesco a trovare l'errore nei miei calcoli. Qualcuno riesce ad aiutarmi? Grazie

Ciao a tutti, Sto andando in crisi con un limite. Devo calcolare $ \lim_{x \to -1^-} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $ Il risultato dovrebbe essere $ 0 $ (come per $ \lim_{x \to -1^+} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $ ), ma continua a venirmi una forma indeterminata per via di: $ e^(-3/((-1^-)+1)) $ , cioè $ e^(-3/(0^-) $, quindi $ e^(\+infty) $ Pensando al grafico di $ e $ che tende ad infinito, alla fine mi viene la forma indeterminata $ (0) (\+infty) $... Cosa sto sbagliando? Grazie a chi vorrà aiutarmi

Stavo svolgendo degli esericizi riguardo alle equazioni differenziali, per l'esame di Analisi 2, ed mi sono imbattuto in questo esercizio ${(y''(t) - 4y(t)=exp(-2t)), (y(0) =0), ( \lim_{t \to \infty}y(t) = 0):}$ Provo a risolverlo , e riesco ad arrivare a questo punto $ y = c1*exp(2t) + c2*exp(-2t) -1/4 * exp(-2t)$ A questo punto dovrei trovare c1 e c2, ma non so come fare con il limite come condizione, qualcuno di voi sa come posso procedere?

Siano $X$ e $Y$ spazi metrici e $f:X -> Y$ e $h: X -> X$. Se $ f (x)$ è continua in $x_0$ e $h(y)$ è continua in $y_0$ e tale che $h(y_0)=x_0$ si ha: $ lim_(x -> x_0)f(x)= lim_(y -> y_0)f(h(y)) $ Questo framwork teorico è sufficiente a giustificare il passaggio alle coordinate polari nello studio di un limite come negli esempi? In che modo esattamente? $ lim_((x, y) ->(0, 0))\frac(x^2 - y^2)(\sqrt(x^2+y^2))=lim_(\rho -> 0)\rho(costheta - sintheta)=0 $ Oppure: $ lim_((x, y) ->(0, 0))\frac(x^2 - y^2)(x^2+y^2)=lim_(\rho -> 0)costheta - sintheta= non \ \ esiste $

Ciao, il libro Marcellini/Sbordone chiede di verificare la monotonia della successione \[ a_n=\sin\frac{1}{n} \] Ho provato a leggere questa discussione che però riguarda la funzione omologa nell'intorno di zero https://www.matematicamente.it/forum/vi ... p?t=130545 Se provo ad applicare la definizione di successione monotona decrescente ottengo \[ \sin\frac{1}{n+1}\leq\sin\frac{1}{n} \] Con le formule di prostaferesi si complica tutto. Avete un suggerimento?

Salve a tutti! Mi servirebbe un aiuto su questo esercizio: Calcolare il seguente integrale triplo $$\iiint\limits_T\frac{dx\,dy\,dz}{z(x^2+y^2)}$$ essendo $T={(x, y, z)∈R^3: x ≤ y ≤ 2x , z ≤ xy ≤ 2x , 1/4 ≤ z ≤ 1/2}$ Ho integrato per sezioni di piede $z$ ed ho ottenuto: $$\int\limits_{1/4}^{1/2}dz\iint\limits_{T_z}\frac{dx\,dy}{z(x^2+y^2)}$$ Ma usando le coordinate polari ottengo queste condizioni $ { ( pi/4\le \theta \le \arctan(2) ),( sqrt{\frac{z}{\cos \theta \sin \theta}}\le\rho \le \frac{2}{\sin \theta} ):}$ e mi blocco qui ...

Buonasera a tutti, sto facendo questo esercizio: Scrivere la formula di Taylor in $x_0=-3$ della funzione $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}-\frac{1}{\sqrt{4-x}}$$ Ma devo calcolare tutte le derivate o c'è un modo per scrivere in generale la derivata n-esima?

Buonasera a tutti, non mi è chiara la differenza tra la continuità semplice e la continuità uniforme. La prima è riferita ad uno specifico punto, la seconda ad un intervallo, ma la condizione $AA \epsilon>0 EE \delta>0": "|f(x)-f(x_0)|<\epsilon AA x in A": "|x-x_0|<\delta$ è comune ad entrambe le definizioni, dico bene? Inoltre, se non erro, nel caso dell'uniforme continuità $\delta$ dipende da $x_0$ ed $\epsilon$, giusto? Non comprendo però la differenza a livello pratico.

devo risolvere la seguente equazione differenziale con problema di Cauchy: $ { ( 2yprime+y=(x-1)y^3 ),( y(0)=1 ):} $ ho un equazione differenziale di Bernoulli risolvendo l'equazione ottengo un equazione differenziale del primo ordine: $ zprime(x)=-1/2z(x)+(x-1)/2 $ chiamo: $p(x)=-1/2$ $int(px)dx=-1/2x$ $q(x)=(x-1)/2$ applico la formula risolutiva: $e^(-int(p(x)dx)(c+inte^(intp(x)dx))=$ $e^(1/2x)(c+int(x-1)/2e^(-1/2x)dx)$ se fin qui va tutto bene come devo procedere nel risolvere l'integrale in modo semplice? grazie

data la funzione $f(x,y)=xe^(y^2-x)$ definita su $D={x^2+y^2<=4}$utilizzando il metodo delle Lagrangiana ottengo questi punti estremanti $p_1=(0,+-2)$, $p_2=(-1,+-sqrt(3))$ e $p_3=(1/2,+-sqrt(15)/2)$ da cui sfruttando il teorema di Weierstrass e calcolando il valore di $f(p_2)$ e $f(p_3)$ ottengo che $p_2$ è un minimo assoluto mentre $p_3$ è un massimo assoluto. Ora però non ho capito come definire il punto $p_1$ dato che so solo che ...

Buongiorno a tutti, sto facendo questo esercizio ma sto riscontrando un pò di difficoltà: Dopo aver determinato la classe di continuità dell seguente funzione, scrivere, se possibile, il suo polinomio di Mac Laurin di II grado $$f(x)=\left \{ \begin{array}{cc} \frac{\sin|x|}{|x|} & x\not =0\\ 1 & x=0. \end{array} \right.$$ Qualcuno può darmi una mano?

Ciao Cerco un aiuto su un fatto che non riesco a dimostrarmi formalmente ed uso in modo intuitivo e non mi piace perché vorrei capire più a fondo. Noto che spesso nei limiti a infinito non ha alcuna importanza se si somma o sottrae una quantità finita. Ad esempio se avessi $lim_(x->oo) x^2+x+3$ potri anche avere $lim_(x->oo) x^2+x$ e nulla cambierebbe nel risultato. Inoltre valeanche se il risultato fosse finito, ad esempio: $lim_(x->oo) (3x+1)/x=3$ tanto quanto $lim_(x->oo) (3x+100)/x=3$ Mi sembra quindi che ...

Ciao RobBobMob, La serie geometrica è la seguente: $\sum_{n = 0}^{+\infty} z^n = 1/(1 - z) $ per $|z| < 1 $. La sua derivata è la seguente: $\sum_{n = 1}^{+\infty} n z^{n - 1} = z/(1 - z)^2 $

Salve a tutti ho un dubbio riguardante il calcolo delle derivate parziali di questa funzione in \( \mathbb{R}^2 \) : \[ f(x_1,x_2) := \begin{cases} x_1-x_2 &\text{, quando } x_1\geq0 \text{ o } x_2\geq0 \\ 0 &\text{, quando } x_1