Analisi matematica di base

Si consideri, al variare del parametro reale $alpha$, il problema di Cauchy : $x' -tx = cos t$ $ x(0) = alpha $ *Discutere esistenza e unicità del problema di Cauchy e determinarne la soluzione $x_(alpha) $ (alle quadrature ). ** Studiare, in dipendenza di $alpha$, il $lim_(t rarr +oo) x_(alpha) (t).$ Sono già bloccato nel trovare la soluzione ......

Buonasera ragazzi, Premetto che si tratta di una pignoleria, ma è da un po' che ci penso ed è meglio togliersi il dubbio. Ammetto di essere andato un po' per le lunghe cercando di esporre le cose chiaramente per cercare di capirmi. Volendo, potete saltare subito alla domanda evidenziata in blu Nel caso \( \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \supseteq \Omega \to \mathbb{R}^m \) chiamiamo derivata di \(f\) in \(\mathbf{x} \in \Omega\), e la indichiamo con $\mathbf{f}'(\mathbf{x})$, l'applicazione lineare ...

Nel mio testo di fisica si operano i cambiamenti di coordinate con dei metodi un po' naïf. Sono alla ricerca di un metodo più solido e rigoroso per ricavare l'espressione degli operatori differenziali gradiente, divergenza e rotore in coordinate differenti da quelle cartesiane. Ho trovato questa vecchia discussione che a livello teorico mi ha dato qualche spunto ma a livello pratico nulla. Scegliamo come caso guida quello più semplice: vogliamo calcolare il gradiente di una ...

salve a tutti avrei bisogno di un chiarimento riguardo all'uso degli o piccoli in particolare per quanto riguarda lo sviluppo delle funzioni seno e coseno. in alcuni testi ho trovato che,in parole povere, l'o piccolo utilizzato nello sviluppo è di un grado maggiore rispetto all'ultima potenza usata es. $ cosx=1-x^2/2+o(x^3) $ in altri testi o esercizi svolti ho trovato invece che l'o piccolo usato è dello stesso grado dell'ordine dell'ultima potenza dello sviluppo es $ cosx=1-x^2/2+o(x^2) $ . qui mi è ...

Io ho il seguente limite, da risolvere con McLaurin. Il professore mi ha detto che basta il primo ordine, dato che ottengo direttamente la soluzione, ovvero 2/9, ma non ho capito come si arrivi a questa conclusione. Devo modificare il limite prima di procedere, così da ricondurlo a una serie nota? Da dove mi conviene partire? $lim_(x_to 0)$ $ln(2 -cos(2x))/(ln^2(sen(3x)+1))$

Ciao ragazzi, ho dei problemi nella risoluzione di questo esercizio e spero che qualcuno possa aiutarmi: $ x^2014+x^2/2=cosx+xsinx $ Dimostrare che l'equazione ha esattamente due radici reali e dimostrare almeno uno dei teoremi utilizzati. Ho capito che l'esercizio necessita dell'utilizzo del teorema degli zeri, ma non so come verificare matematicamente le ipotesi che lo sostengono e non so nemmeno quali potrebbero essere gli altri teoremi da sfruttare :/ Grazie a tutti in anticipo!

Salve a tutti, Scrivo questo messaggio per chiedere aiuto nella risoluzione di un esercizio teorico di Analisi 2. L'esercizio è preso Lezioni di Analisi Matematica 2 di Giovanni Prodi, dal capitolo 30 - Teoria Geometrica delle equazioni differenziali al 1°ordine ed è il seguente: 6) Sia f una funzione di classe C2 definita nel disco D = {(x,y): x^2+y^2= 1 in ogni punto di D. Si dimostre che in D esiste almeno un punto (x,y) tale che sia f(x,y) >= 1 ed ...

Salve ragazzi, siccome mi interessa per motivi vari, la teoria degli operatori ho iniziato a studiare un pò di analisi funzionale per avere una formazione un pò più rigorosa. Premessa che ho seguito qualche anno fa un corso di fisica matematica quindi non mi trovo spiazzato con i concetti, ma mi trovo un pò spiazzato con le dimostrazioni che mi riesce difficile a capire. Inoltre utilizzo un libro (il brezis) che mi sembra scritto abbastanza bene, ma da alcune cose secondo me per ...

Salve a tutti, sto affrontando lo studio della topologia, ma trovo parecchia difficoltà negli esercizi che richiedono lo studio delle caratteristiche topologiche di un insieme. In particolare non riesco a trovare un "modus operandi" adeguato, a causa della poca comprensibilità delle spiegazione del prof. C' è qualcuno che possa aiutarmi, magari anche fornendo qualche semplice esercizio svolto e non che funga da base di partenza?? Grazie a tutti.

Ho due esercizi su cui vorrei avere il vostro aiuto. Sono esercizi da risolvere con il principio d'induzione. PRIMO ESERCIZIO 2^n≥5n ∀n∈ N n≥5 1) primo passo n=5 2^5>=25 è vero 2) n>=5 e 2^n≥5n → 2^(n+1) =2^n(2)>= 5n(2)=2^(n+1)=2^(n+1)>=10n Secondo voi è giusto il procedimento??? SECONDO ESERCIZIO è la foto che ho allegato ma non riesco a dimostrare il passo d'induzione... come si deve fare??? Grazie mille!!

Salve a tutti ragazzi! Il professore ci ha dato da dimostrare la formula di Stiriling seguendo alcuni passi. Li ho svolti tutti tranne l'ultimo, di cui non sono certo. Potreste dirmi se va bene? Sapendo che: $ n^n e^(-n) sqrt(2 pi n) = n^(n+1) e^(-n) int_(-infty)^(+infty) e^(-n1/2t^2) dt$ $ n! = n^(n+1) e^(-n) int_(-1)^(+infty) e^(-n varphi(t)) dt$ $varphi(t) = t - log(1+t)$ dimostrare che: $lim_(n->+infty) sqrt(n){int_(-1)^(+infty) e^(-n varphi(t)) dt - int_(-infty)^(+infty) e^(-n 1/2 t^2) dt} = 0$ Io ho fatto così: sfruttando le formule iniziali ho riscritto il limite nel seguente modo $lim_(n->+infty) sqrt(n){(n!e^(-n))/(n^(n+1)) - sqrt(2 pi)/sqrt(n)} = lim_(n->+infty) (n!e^(-n))/(n^n \cdot sqrt(n)) - sqrt(2 pi) = 0$ Che succede se e solo se: $lim_(n->+infty) (n!e^(-n))/(n^n \cdot sqrt(n)) = sqrt(2 pi)$ Ora io ...

Ciao a tutti sto studiando una dimostrazione e non capisco bene che proprietà venga utilizzata durante un passaggio la dimostrazione che voglio ottenere è [tex]\displaystyle (1-q)\sum_{k=0}^{n} q^{k} = 1-q^{n+1}[/tex] distribuisco la serie all'interno della parentesi e ottengo [tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^{k}-q\sum_{k=0}^{n} q^{k}[/tex] poi porto il termine costante $q$ dentro la sommatoria e raggruppo gli esponenti [tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n} ...

Ho la seguente serie: $ sum_(n =1) ^(+oo ) (-e^x)^(n+1)/(n*(n+1)) $ , dopo aver scomposto la serie e posto $ (-e^x)=y $ , ho calcolato il raggio di convergenza che è 1. Per y=-1: la serie converge per Leibnitz, perchè infinitesima e decrescente, per y=-1: $ sum_(n =1 ) ^(+oo ) (y)^n/(n(n+1))~= sum_(n =1 )^(+oo ) 1/n^2 $ converge. Quindi le serie converge puntualmente e uniformemente in (-1,1) . Confermate il mio ragionamento?

Ho un problema ad impostare la risoluzione di questo limite, che vorrei risolvere con i limiti notevoli $\lim_{n \to \1^+} (sqrt(n^2 - 1) - sqrt ( n^2 + n - 2)) / (log n ) $ Lo spezzo in due limiti?

Salve, il seguente esercizio mi sta confondendo. Sia f una funzione olomorfa sul semipiano superiore e continua sulla chiusura del semipiano superiore. Inoltre [tex]f(x)=f(-x)[/tex] per ogni x reale. Sia inoltre f limitata. Allora f è costante. Pensavo di estendere la funzione al semipiano inferiore ottenendo così una funzione F olomorfa sui due semipiani e continua in un tutto il piano complesso. In questo caso so che la funzione F è olomorfa su tutto il piano complesso e quindi essendo ...

Ho trovato scritto su un libro che un trinomio di secondo grado (con a non negativa) è non negativo se e solo se il discriminante è non positivo. Ovvero, dato un trinomio di secondo grado: $f(x)=ax^2+bx+c$, con $a>=0$ , allora $f(x)>=0 <=> b^2-4ac <=0$ Qualcuno può dirmi come posso dimostrare ciò?

Problema 10 cap I Reed - Simon. L'idea è di costruire la funzione semplice \(s\) che approssima \(f \in \mbox{PC}[a,b]\). Se l'altezza massima del *gradino* della \(s\) che approssima \(f\) è data da \(\epsilon\) minore della distanza fra \(s\) e \(f\) allora dovremmo essere a posto. Guardare dalla seconda parte di pagina 10 in Reed - Simon, le definizioni ed il discorso sono sviluppati a partire da lì. Data \(f \in \mbox{PC}[a,b]\) (limita e continua a tratti) prendo una delle funzioni ...

Sia $f(x)= [1-cos(2x^3)] / (5x^6 + 3x^8)$ a) Determinare il campo di esistenza D di f e studiarne le proprietà topologiche. b) Dimostrare che f ammette minimo assoluto in infiniti punti, e determinarli. c) Dire se f si può estendere con continuità in tutto $RR$, ed in caso di risposta positiva determinare l'estensione continua $\bar f$ . d) Dimostrare che $\bar f$ è infinitesima per x$->$ $+-$ $\infty$. Verificare che questi infinitesimi non sono ...

$ sum_(k =1) (x^(k))/root2 n $ questa serie geometrica è assolutamente convergente per |x| $ < $ 1 ( considerando il valore assoluto) e quindi si prova che il limite delle somme parziali per k che tende a infinito deve essere zero dato che converge. per provare che la serie diverge a x=1 devo dire che il limite delle somme parziali per k che tende a infinito è uguale a infinito cosi come per x $ > $ 1 mentre, come si fa a provare che per x=-1 la serie converge? non dovrebbe non ...

Buonasera ragazzi Ho una distribuzione del tipo f(t) = (-1)^[t]*(t-[t]), dove [t] è la parte intera, di periodo 2 e devo calcolare la trasformata di Fourier. Ho applicato la formula $ Sigma $ Cn* $ delta $ (n/T) dove Cn = 1/T*integrale tra 0 e T di f(t) e^(-2$ pi $intf0) (dove f0 è 1/T). Per calcolare Cn avevo fatto l'integrale tra 0 e 2, essendo la funzione di periodo 2, andando a sostituire lo 0 alla [t], visto che la parte intera prende il numero minore in un ...