Formula di Stiriling

[Edex1]

Salve a tutti ragazzi!
Il professore ci ha dato da dimostrare la formula di Stiriling seguendo alcuni passi. Li ho svolti tutti tranne l'ultimo, di cui non sono certo. Potreste dirmi se va bene?

Sapendo che:

$ n^n e^(-n) sqrt(2 pi n) = n^(n+1) e^(-n) int_(-infty)^(+infty) e^(-n1/2t^2) dt$

$ n! = n^(n+1) e^(-n) int_(-1)^(+infty) e^(-n varphi(t)) dt$

$varphi(t) = t - log(1+t)$

dimostrare che:

$lim_(n->+infty) sqrt(n){int_(-1)^(+infty) e^(-n varphi(t)) dt - int_(-infty)^(+infty) e^(-n 1/2 t^2) dt} = 0$

Io ho fatto così:
sfruttando le formule iniziali ho riscritto il limite nel seguente modo

$lim_(n->+infty) sqrt(n){(n!e^(-n))/(n^(n+1)) - sqrt(2 pi)/sqrt(n)} = lim_(n->+infty) (n!e^(-n))/(n^n \cdot sqrt(n)) - sqrt(2 pi) = 0$

Che succede se e solo se:

$lim_(n->+infty) (n!e^(-n))/(n^n \cdot sqrt(n)) = sqrt(2 pi)$

Ora io so che:

$sqrt(n) \cdot int_(-infty)^(infty) e^(-n1/2 t^2) dt = sqrt(2 pi) rarr lim_(n->+infty) sqrt(n) \cdot int_(-infty)^(infty) e^(-n1/2 t^2) dt = sqrt(2 pi)$ (giusto no?)

Se allora dimostro che:

$lim_(n->+infty) (n!e^(-n))/(n^n \cdot sqrt(n)) = lim_(n->+infty) sqrt(n) \cdot int_(-infty)^(infty) e^(-n1/2 t^2) dt$

ho finito.
Ma l'affermazione sopra vale solo se:

$lim_(n->+infty) (n!e^(-n))/(n^(n+1)) = lim_(n->+infty) int_(-infty)^(infty) e^(-n1/2 t^2) dt$

Ma:

$lim_(n->+infty) int_(-infty)^(infty) e^(-n1/2 t^2) dt = lim_(n->+infty) sqrt(2 pi) / sqrt(n) = 0$

Inoltre:

$lim_(n->+infty) (n!e^(-n))/(n^(n+1)) = 0$

E quindi si ottiene l'affermazione cercata.

E' giusto o ho sbagliato qualcosa?

[elianto84]

No, direi che non torna. Ad un certo punto asserisci qualcosa di analogo a:

\(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sqrt{n}\cdot g(n) = \lim_{n\to +\infty}\sqrt{n}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\,dx \)
"vale solo se"
\(\displaystyle \lim_{n\to +\infty} g(n) = \lim_{n\to +\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\,dx \)

ma non è lecito manipolare dei limiti cancellando fattori che dipendono dal parametro del limite.
D'altro canto nella tua "dimostrazione" la funzione \(\displaystyle e^{-n\phi(t)} \) non figura mai, per cui non vedo come il tuo argomento possa provare quello che ti è chiesto di provare, ossia:

\(\displaystyle \int_{-1}^{+\infty}(1+t)^n e^{-nt}\,dt - \int_{\mathbb{R}}e^{-nt^2/2}\,dt = o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right). \)

Qui abbiamo:

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{-1}e^{-nt^2/2}\,dt < \int_{1}^{+\infty}e^{-nt/2}dt < \int_{0}^{+\infty}e^{-nt/2}dt = \frac{2}{n}\)

e

\(\displaystyle \int_{1}^{+\infty}(1+t)^n e^{-nt}\,dt < \int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t^n}=\frac{1}{n-1}, \)

per cui è sufficiente dimostrare:

\(\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(e^{-n\phi(t)}-e^{-nt^2/2}\right)\,dt = o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \)

o ancor più semplicemente:

\(\displaystyle \int_{-1}^{0}\left(e^{-nt^2/2}-e^{-n\phi(t)}\right)\,dt = o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right). \)

Ora ci si può appoggiare alla seguente disuguaglianza: se \(\displaystyle A>B>0 \), allora \(\displaystyle A^n-B^n \leq n\cdot(A-B)\cdot A^{n-1}. \)
Poiché su \(\displaystyle [-1,0) \) abbiamo \(\displaystyle e^{-t^2/2}>e^{-\phi(t)} \) ma la differenza è controllata da \(\displaystyle -t^3 \), vale:

\(\displaystyle \int_{-1}^{0}\left(e^{-nt^2/2}-e^{-n\phi(t)}\right)\,dt < \int_{-1}^{0}-nt^3\cdot e^{-(n-1)t^2/2}\,dt = \frac{n}{(n-1)^2}\int_{0}^{\sqrt{n-1}}t^3\cdot e^{-t^2/2}\,dt < \frac{2n}{(n-1)^2}. \)

Rimontando i pezzi otteniamo:

\(\displaystyle \int_{-1}^{+\infty}(1+t)^n e^{-nt}\,dt - \int_{\mathbb{R}}e^{-nt^2/2}\,dt = O\left(\frac{1}{n}\right), \)

che è anche più forte di quanto dovevamo dimostrare.