Quando un trinomio di secondo grado è non negativo?

[Sk_Anonymous]

Ho trovato scritto su un libro che un trinomio di secondo grado (con a non negativa) è non negativo se e solo se il discriminante è non positivo.
Ovvero, dato un trinomio di secondo grado: $f(x)=ax^2+bx+c$, con $a>=0$ , allora $f(x)>=0 <=> b^2-4ac <=0$
Qualcuno può dirmi come posso dimostrare ciò?

[axpgn]

Dato per affermato che se il discriminante è negativo non esistono soluzioni all'equazione $ax^2+bx+c$ (che tradotto significa che la curva suddetta non interseca l'asse delle ascisse), allora suddetta curva o è sempre positiva o è sempre negativa; inoltre dato che è $b^2<4ac$ e $a>0$ allora anche a $c>0$; quindi basta mettere un valore a caso nella curva (per esempio $0$) per ottenere un valore positivo; in conclusione, dalle ipotesi il trinomio è sempre positivo.

Ti torna? Spero di sì ...

Cordialmente, Alex

[Sk_Anonymous]

Si, grazie mille

[gugo82]

"sleax":Ho trovato scritto su un libro che un trinomio di secondo grado (con a non negativa) è non negativo se e solo se il discriminante è non positivo.
Ovvero, dato un trinomio di secondo grado: $ f(x)=ax^2+bx+c $, con $ a>=0 $ , allora $ f(x)>=0 <=> b^2-4ac <=0 $
Qualcuno può dirmi come posso dimostrare ciò?

Oltre all'Algebra elementare (che è la via maestra per questo genere di cose), potresti usare fatti base di Calcolo Differenziale.
Ad esempio, la funzione \(f(x) := ax^2 +bx+c\) è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\) ed ha per derivata \(f^\prime (x)=2ax+b\); dato che \(f^\prime (x)\geq 0\) per \(x\geq -b/2a\), nel punto \(-b/2a\) la \(f\) prende il suo minimo assoluto che è:
\[
\min f = f\left( -\frac{b}{2a}\right) = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c = c - \frac{b^2}{4a}\; ;
\]
affinché risulti \(ax^2+bx+c\geq 0\) basta che \(\min f\geq 0\), e ciò equivale a \(b^2-4ac\leq 0\).