[Analisi I]Dimostrazione disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

[lucia88]

Ciao a tutti!
Come ho scritto nel titolo non riesco a capire un passaggio della dimostrazione di C-S :
in particolare perchè la funzione $\rho(t)$ ha sempre il determinante minore uguale di zero $\Delta/4=(b/2)^2 -a*c$

Definizione:

Sia $V$ uno spazio vettoriale qualsiasi su R
siano $x,y in V$

Definisco $ ( . , .)$ il prodotto scalare su $V$

Allora vale la disuguaglianza di C-S: $ |(x,y)|<=(x,x)^(1/2) (y,y)^(1/2) $
che per la definizione di norma ($||x||=sqrt((x,x))=sqrt(\sum_{k=1}^n x_i^2)$) si scrive come:

$ |(x,y)|<=||x|| *||y|| $

DIMOSTRAZIONE:

1)se x,y sono i vettori nulli la disuguaglianza è ovvia

2) siano $x,y !=0$

si consideri la funzione $\rho(t)=(x+ty,x+ty)$ con $t in R$

per la prop di positività del prodotto scalare: $\rho(t)>=0$ per ogni t
date le ipotesi su x e y si ha in particolare: $\rho(t)>0$

Riscrivo la funzione sfruttando la prop di linearità: $\rho(t)= (x,x) + 2t(x,y) +t^2(y,y)$

usando la definizione di norma: $\rho(t)=||x||^2 + 2t(x,y) + t^2||y||^2$
che rispetto a t è una funzione di II grado

il coefficiente di $t^2$ è sempre positivo
il delta quarti è $\Delta/4=(x,y)^2 - (||x||*||y||)^2$

in base a cosa posso dire che è sempre minore \uguale a zero?

[ViciousGoblin]

Perché $\rho(t)$ è un polinomio di secondo grado sempre maggiore o eguale a zero.
Se fosse addirittura $\rho>0$ (come tu scrivi, ma è sbagliato ...) allora, dato che il polinomio non ha radici, il discriminante sarebbe
negativo. In effetti il caso con $\Delta=0$ è possibile se e solo se $\rho$ si annulla per qualche $t$, che corrisponde a dire che $x$
e $y$ sono allineati.