Principio di riflessione di Schwartz, analisi complessa

[aculsh]

Salve, il seguente esercizio mi sta confondendo. Sia f una funzione olomorfa sul semipiano superiore e continua sulla chiusura del semipiano superiore. Inoltre [tex]f(x)=f(-x)[/tex] per ogni x reale. Sia inoltre f limitata. Allora f è costante.
Pensavo di estendere la funzione al semipiano inferiore ottenendo così una funzione F olomorfa sui due semipiani e continua in un tutto il piano complesso. In questo caso so che la funzione F è olomorfa su tutto il piano complesso e quindi essendo limitata Liouville implicherebbe che è costante. Avevo in mente un'estensione simile al principio di riflessione di Schwartz, cioè [tex]F(z)=\overline{f(\overline{z})}[/tex] per z nel semipiano inferiore, ma affinchè questa sia continua dovrei sapere che sull'asse reale la funzione f ha valori reali.. D'altro canto se scegliessi [tex]F(z)=f(\overline{z})[/tex] non otterrei una funzione olomorfa sul semipiano inferiore.. Sto sbagliando approccio al problema? E in ogni caso non so come utilizzare l'ipotesi [tex]f(x)=f(-x)[/tex] ..
Grazie in anticipo

[aculsh]

L'estensione[tex]f(z)=f(-z)[/tex] dovrebbe funzionare.